1. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知集合，，那么（ ）
A. B. C. D.
3. 函數(shù)的零點(diǎn)是（ ）
A. B. 1，2C. D.
4. “”是“”（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
5. 已知集合，若，則實數(shù)的值為（ ）
A. 2B. C. 2或D. 4
6. 對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
7. 在整數(shù)集中，被5除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，則下面選項正確的為（ ）
A.
B.
C. 若，則
D. 整數(shù)屬于同一“類”的充分不必要條件是“”
8. 在數(shù)學(xué)中，對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在實數(shù)，使得，我們就稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù)，實數(shù)為該函數(shù)的不動點(diǎn).已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個不同的不動點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知集合，若，則的值可能是（ ）
A. -4B. -2C. 0D. 2
10. 對于實數(shù)，下列命題為假命題的有（ ）
A 若，則.
B. 若，則.
C. 若則.
D. 若，則.
11. 已知集合有且僅有兩個子集，則下面正確的是（ ）
A.
B.
C. 若不等式的解集為，則
D. 若不等式的解集為，且，則
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是______.
13. 研究問題：“已知關(guān)于x的不等式的解集為，解關(guān)于x的不等式”，有如下解決方案：
解：由，令，則，
所以不等式的解集為.
參考上述解法，已知關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為_____________.
14. 已知正數(shù)滿足，則的最小值是_______.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)全集R，集合，．
（1）分別求，；
（2）已知，若，求實數(shù)a的取值范圍．
16. （1）已知且，求使不等式恒成立實數(shù)的取值范圍.
（2）已知，且，求的最小值.
17. 已知集合，且.
（1）若“命題，”是真命題，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
18. 2022年8月9日，美國總統(tǒng)拜登簽署《2022年芯片與科學(xué)法案》．對中國的半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)來說，短期內(nèi)可能會受到“芯片法案”負(fù)面影響，但它不是決定性的，因為它將激發(fā)中國自主創(chuàng)新的更強(qiáng)爆發(fā)力和持久動力．某企業(yè)原有400名技術(shù)人員，年人均投入萬元，現(xiàn)為加大對研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬元．
（1）若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人？
（2）為了激勵研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時滿足以下兩個條件：①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入；②技術(shù)人員的年人均投入始終不減少．請問是否存在這樣的實數(shù)，滿足以上兩個條件，若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．
19. 已知集合非空數(shù)集，定義.
（1）若集合，直接寫出集合，
（2）若集合，且，求證：；
（3）若集合，記為集合中元素的個數(shù)，求的最大值.
2024-2025學(xué)年湖南省邵東市高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)含有一個量詞命題的否定形式即可得出結(jié)論.
【詳解】易知命題“”的否定是“”.
故選：B
2. 已知集合，，那么（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】
求出集合、，利用交集的定義可求得集合.
【詳解】，，因此，.
故選：C.
本題考查交集的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
3. 函數(shù)的零點(diǎn)是（ ）
A. B. 1，2C. D.
【正確答案】D
【分析】利用零點(diǎn)定義解方程可得結(jié)論.
【詳解】令，解得，
由零點(diǎn)定義可得函數(shù)的零點(diǎn)是.
故選：D
4. “”是“”（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】利用充分、必要條件的概念計算即可.
【詳解】由可以得出，滿足充分性，
而可得，不滿足必要性，即A正確.
故選：A
5. 已知集合，若，則實數(shù)的值為（ ）
A. 2B. C. 2或D. 4
【正確答案】B
【分析】根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系，分類討論、、，即可求解.
【詳解】由，
若，則，不符合集合元素的互異性；
若，則或（舍），，此時符合集合元素的特性；
若，即，則不符合集合元素的互異性.
故.
故選：B.
6. 對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】分類討論，利用判別式小于0，即可得到結(jié)論
【詳解】當(dāng)，即時，，恒成立；
當(dāng)時，，解之得，
綜上可得
故選：D
7. 在整數(shù)集中，被5除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，則下面選項正確的為（ ）
A.
B.
C 若，則
D. 整數(shù)屬于同一“類”的充分不必要條件是“”
【正確答案】C
【分析】根據(jù)“類”的定義可直接判斷AB均錯誤，根據(jù)可得，即C正確，整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”，即D錯誤.
【詳解】對于A，易知，能被整除，因此可得，即A錯誤；
對于B，可得，因此可得，可得B錯誤；
對于C，由可設(shè)，
所以，即，所以C正確；
對于D，整數(shù)屬于同一“類”，則余數(shù)相同，作差余數(shù)為0，即，可知充分性成立；
若，則除以5之后余數(shù)相同，故整數(shù)屬于同一“類”，
因此整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”，即D錯誤.
故選：C
8. 在數(shù)學(xué)中，對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在實數(shù)，使得，我們就稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù)，實數(shù)為該函數(shù)的不動點(diǎn).已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個不同的不動點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)不動點(diǎn)的定義列出方程，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點(diǎn)問題，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布列不等式求解即可.
【詳解】根據(jù)題意可得：在上恰有兩個解，
即在區(qū)間上恰有兩個零點(diǎn)，
所以或，
解得或.
故選：C.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知集合，若，則的值可能是（ ）
A. -4B. -2C. 0D. 2
【正確答案】BC
【分析】利用集合相等，解出對應(yīng)參數(shù)的值，然后利用元素的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】因為，所以或解得或則或.
故選：BC
10. 對于實數(shù)，下列命題為假命題的有（ ）
A. 若，則.
B. 若，則.
C. 若則.
D. 若，則.
【正確答案】ABD
【分析】利用特殊值可判斷AB均為假命題，再由作差法以及不等式性質(zhì)可得C為真命題，D為假命題.
【詳解】對于A，不妨取，則，即A為假命題；
對于B，若，當(dāng)時，滿足，即B為假命題；
對于C，由可得，易知，
所以，可得C為真命題；
對于D，由可得，
所以，因為的符號不確定，所以不一定正確，即D為假命題；
故選：ABD
11. 已知集合有且僅有兩個子集，則下面正確的是（ ）
A.
B.
C. 若不等式的解集為，則
D. 若不等式的解集為，且，則
【正確答案】CD
【分析】利用一元二次不等式的解法與一元二次方程之間的關(guān)系以及韋達(dá)定理進(jìn)行求解.
【詳解】由題意，集合有且僅有兩個子集，則只有一個根，
所以，所以，所以A錯誤；
對于B：，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以B錯誤；
對于C：若不等式的解集為，由韋達(dá)定理知，所以C正確；
對于D：若不等式的解集為，即的解集為，
由韋達(dá)定理知：，
則，解得，所以D正確.
故選：CD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)，建立不等關(guān)系即可求得實數(shù)a的取值范圍．
【詳解】已知集合，，
若，則，
實數(shù)a的取值范圍是．
故
13. 研究問題：“已知關(guān)于x的不等式的解集為，解關(guān)于x的不等式”，有如下解決方案：
解：由，令，則，
所以不等式的解集為.
參考上述解法，已知關(guān)于x不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為_____________.
【正確答案】
【分析】參考題中所給解法，通過變形將不等式中的變?yōu)榈男问?，再令，解不等式即?
【詳解】由得，，
令，因為，所以.
所以不等式的解集為.
故答案為.
14. 已知正數(shù)滿足，則的最小值是_______.
【正確答案】
【分析】
首先設(shè)，，則，，，利用基本不等式得到，從而得到，再解不等式即可得到答案.
【詳解】設(shè)，，則，，.
則.
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
所以，解得，
所以的最小值為.
故
本題主要考查基本不等式求最值，同時考查學(xué)生分析問題的能力，屬于中檔題.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)全集為R，集合，．
（1）分別求，；
（2）已知，若，求實數(shù)a的取值范圍．
【正確答案】（1）或
（2）
【分析】（1）根據(jù)集合交并補(bǔ)的定義即可求解，
（2）根據(jù)，即可列關(guān)系式求解.
【小問1詳解】
因為，，則，
可得或，
所以或
【小問2詳解】
因為，可知，且，
可得，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍為
16. （1）已知且，求使不等式恒成立的實數(shù)的取值范圍.
（2）已知，且，求的最小值.
【正確答案】（1）；（2）10.
【分析】（1）利用基本不等式結(jié)合“乘1法”求出的最小值即可得m的取值范圍；
（2）將化為的形式，由于，結(jié)合基本不等式即可求得最小值.
【詳解】（1）由得，
則.
當(dāng)且僅當(dāng)即時取到最小值9.
所以若恒成立，則.
（2）由，得，
所以x?1>0,y?4>0，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合即時，等號成立.
故的最小值為10.
17. 已知集合，且.
（1）若“命題，”是真命題，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由命題是真命題，可知，又，可得的取值范圍；
（2）由是的充分不必要條件,得是的真子集，又，可得的取值范圍.
【小問1詳解】
因為，所以
命題是真命題，可知，
因為，，
，,
故的取值范圍是.
【小問2詳解】
若是的充分不必要條件,得是的真子集，，
，解得，
故的取值范圍是.
18. 2022年8月9日，美國總統(tǒng)拜登簽署《2022年芯片與科學(xué)法案》．對中國的半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)來說，短期內(nèi)可能會受到“芯片法案”負(fù)面影響，但它不是決定性的，因為它將激發(fā)中國自主創(chuàng)新的更強(qiáng)爆發(fā)力和持久動力．某企業(yè)原有400名技術(shù)人員，年人均投入萬元，現(xiàn)為加大對研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬元．
（1）若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人？
（2）為了激勵研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時滿足以下兩個條件：①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入；②技術(shù)人員的年人均投入始終不減少．請問是否存在這樣的實數(shù)，滿足以上兩個條件，若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．
【正確答案】（1）125.
（2）存在，.
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，解得，結(jié)合條件，可求得，由此可知調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為125人；
（2）由條件①得，由條件②得，假設(shè)存在同時滿足以上兩個條件，則上述不等式恒成立，進(jìn)而求得，即，故確定存在，且.
【小問1詳解】
依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入為萬元，
則，整理得，
解得，
因為且，所以，故，
所以要使這名研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為125人.
【小問2詳解】
由條件①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入，得，
上式兩邊同除以得，整理得；
由條件②由技術(shù)人員年人均投入不減少，得，解得；
假設(shè)存在這樣的實數(shù), 使得技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后，滿足以上兩個條件，
即恒成立，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立, 所以，
又因為，當(dāng)時，取得最大值，所以，
所以，即，
即存在這樣的滿足條件，其范圍為.
19. 已知集合為非空數(shù)集，定義.
（1）若集合，直接寫出集合，
（2）若集合，且，求證：；
（3）若集合，記為集合中元素的個數(shù)，求的最大值.
【正確答案】（1）
（2）證明見解析； （3）
【分析】（1）根據(jù)題目定義，直接計算集合；
（2）根據(jù)兩集合相等即可找到的關(guān)系；
（3）通過假設(shè)集合，其中，求出相應(yīng)的，通過建立不等關(guān)系，進(jìn)而求出相應(yīng)的值．
【小問1詳解】
由，根據(jù)定義：，
所以.
【小問2詳解】
由于集合，且，
所以也只有四個元素，即，
因為，，
所以，，
所以，即.
【小問3詳解】
設(shè)，其中，
不妨設(shè)，
則，
所以，
因為，
又因為，所以，
中最小的元素為0，最大的元素為，，
所以，
實際上當(dāng)時滿足題意，
證明如下：
設(shè)，
則，，
依題意有，解得，
故的最小值為，于是當(dāng)時，中元素最多，
即時滿足題意，
綜上所述，集合中元素的個數(shù)的最大值為.
方法點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)是通過給出一個新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運(yùn)算，使問題得以解決.

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