1. 下列表示集合和關(guān)系的Venn圖中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，，，那么“”是“”的（ ）．
A. 充分條件B. 必要條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 已知命題：，，則為（ ）.
A. ，B. ，
C. ，或D. ，或
4. 若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知命題為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
7. 關(guān)于x的一元二次不等式，當(dāng)時(shí)，該不等式的解集為（ ）
A. B.
C D.
8. 已知長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，如果該長(zhǎng)方形的面積與邊長(zhǎng)為的正方形面積相等；該長(zhǎng)方形周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)為的正方形周長(zhǎng)相等；該長(zhǎng)方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)為的正方形對(duì)角線相等；該長(zhǎng)方形的面積和周長(zhǎng)的比與邊長(zhǎng)為的正方形面積和周長(zhǎng)的比相等，那么、、、大小關(guān)系為（ ）
A B.
C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分條件
B. 若，則的最大值為
C. 若不等式的解集為，則
D. 命題“，使得．”的否定為“，使得．”
10. 已知正數(shù)a，b滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）
A B.
C. D.
11. 對(duì)于一個(gè)非空集合，如果滿足以下四個(gè)條件：
①，
②，
③，若且，則，
④，若且，則，
就稱(chēng)集合為集合A的一個(gè)“偏序關(guān)系”，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A. 設(shè)，則滿足是集合A的一個(gè)“偏序關(guān)系”的集合共有3個(gè)
B. 設(shè)，則集合是集合A的一個(gè)“偏序關(guān)系”
C. 設(shè)，則含有四個(gè)元素且是集合A的“偏序關(guān)系”的集合共有6個(gè)
D. 是實(shí)數(shù)集R一個(gè)“偏序關(guān)系”
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 設(shè)，集合，則______
13. 已知條件，條件，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是_________.
14. 出入相補(bǔ)是指一個(gè)平面（或立體）圖形被分割成若干部分后面積（或體積）的總和保持不變，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家構(gòu)造弦圖，利用出入相補(bǔ)原理證明了勾股定理，我國(guó)清代的梅文鼎、李銳、華蘅芳、何夢(mèng)瑤等都通過(guò)出入相補(bǔ)原理創(chuàng)造了不同的面積證法證明了勾股定理.在下面兩個(gè)圖中，若，，，圖中兩個(gè)陰影三角形的周長(zhǎng)分別為，，則的最小值為_(kāi)_______.

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知，，全集．
（1）若，求，；
（2）若；求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16. （1）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：若，則：
（2）已知為正數(shù)，且滿足，證明.
17. 已知：，.
（1）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若是既不充分也不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
18. 某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價(jià)為x元，朱古力蜂果蛋糕單位為y元，現(xiàn)有兩種購(gòu)買(mǎi)方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為a個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為b個(gè)，花費(fèi)記為;
方案二：薄脆百香果蛋糕購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為b個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為a個(gè)，花費(fèi)記為．
（其中）
（1）試問(wèn)哪種購(gòu)買(mǎi)方案花費(fèi)更少？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若a，b，x，y同時(shí)滿足關(guān)系，求這兩種購(gòu)買(mǎi)方案花費(fèi)的差值S最小值（注：差值花費(fèi)較大值-花費(fèi)較小值）．
19. 已知集合，對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均屬于，則稱(chēng)集合是集合的“期待子集”.
（1）試判斷集合是否為集合的“期待子集”；（直接寫(xiě)出答案，不必說(shuō)明理由）
（2）如果一個(gè)集合中含有三個(gè)元素，同時(shí)滿足①，②，③為偶數(shù).那么稱(chēng)該集合具有性質(zhì).對(duì)于集合的非空子集，證明：集合是集合的“期待子集”的充要條件是集合具有性質(zhì).
2024-2025學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 下列表示集合和關(guān)系的Venn圖中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】依題意可求得集合，根據(jù)集合中的元素可判斷兩集合之間的關(guān)系.
【詳解】根據(jù)題意由可得，即；
解方程可得或，解得或或或，
即可得；
因此可得集合有交集，但沒(méi)有包含關(guān)系
故選：A
2. 如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，，，那么“”是“”的（ ）．
A. 充分條件B. 必要條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】舉出反例得到充分性不成立，再設(shè)，得到，，故，必要性成立，得到答案.
【詳解】不妨設(shè)，滿足，
但，不滿足，充分性不成立，
若，不妨設(shè)，則，，
故，必要性成立，
故“”是“”的必要條件.
故選：B
3. 已知命題：，，則為（ ）.
A. ，B. ，
C. ，或D. ，或
【正確答案】D
【分析】利用全稱(chēng)命題的否定求解即可.
【詳解】由全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題知：
原命題的否定為，或.
故選：D
4. 若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】由基本不等式得到，求出答案.
【詳解】正實(shí)數(shù)x，y滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，即，即，兩邊平方, 結(jié)合，解的.
故選：D.
5. 已知命題為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式的解集為，根據(jù)一元二次不等式解集的形式求參數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)槊}為真命題，所以不等式的解集為.
所以：若，則不等式可化為，不等式解集不是；
若，則根據(jù)一元二次不等式解集的形式可知.
綜上可知：
故選：D
6. 若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及題中條件即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>又，，
所以
所以，
故，
故選：C
7. 關(guān)于x的一元二次不等式，當(dāng)時(shí)，該不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】由，知，原不等式等價(jià)于，再確定相應(yīng)二次方程的根的大小得不等式的解集.
【詳解】由，則，原不等式等價(jià)于不等式的解集，
又由，則方程的兩根分別為，
當(dāng)時(shí)，，故原不等式的解集為.
故選：B
8. 已知長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，如果該長(zhǎng)方形的面積與邊長(zhǎng)為的正方形面積相等；該長(zhǎng)方形周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)為的正方形周長(zhǎng)相等；該長(zhǎng)方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)為的正方形對(duì)角線相等；該長(zhǎng)方形的面積和周長(zhǎng)的比與邊長(zhǎng)為的正方形面積和周長(zhǎng)的比相等，那么、、、大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】先求出，，，，然后利用基本不等式比較大小即可.
【詳解】由題意可得，①，②，③，④，且，
由基本不等式的關(guān)系可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由①②得，，所以⑤，
因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由②③得，，所以⑥，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由①④得，，所以⑦，綜合⑤⑥⑦可得，.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分條件
B. 若，則的最大值為
C. 若不等式的解集為，則
D. 命題“，使得．”的否定為“，使得．”
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷A，消元，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)判斷B，根據(jù)一元二次不等式的解集與二次方程的關(guān)系求的關(guān)系，由此判斷的正負(fù)，判斷C，根據(jù)含量詞的命題的否定方法判斷D.
【詳解】對(duì)于A，取，，則，但，
取，，則，但，
所以“”是“”的既不充分也不必要條件，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以?br>所以的最大值為，B錯(cuò)誤；
因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br>所以，且為方程的根，
所以，，
所以，，
所以，C正確；
命題“，使得．”的否定為“，使得．”D錯(cuò)誤；
故選：ABD.
10. 已知正數(shù)a，b滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. B.
C. D.
【正確答案】ACD
【分析】由已知條件結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論檢驗(yàn)選項(xiàng)A,C,D，舉出反例檢驗(yàn)選項(xiàng)B，即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立，故A正確;
對(duì)于B，當(dāng)時(shí),，顯然錯(cuò)誤;
對(duì)于C，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確;
對(duì)于D，由可得,即,
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確.
故選：ACD.
11. 對(duì)于一個(gè)非空集合，如果滿足以下四個(gè)條件：
①，
②，
③，若且，則，
④，若且，則，
就稱(chēng)集合為集合A的一個(gè)“偏序關(guān)系”，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A. 設(shè)，則滿足是集合A的一個(gè)“偏序關(guān)系”的集合共有3個(gè)
B. 設(shè)，則集合是集合A的一個(gè)“偏序關(guān)系”
C. 設(shè)，則含有四個(gè)元素且是集合A的“偏序關(guān)系”的集合共有6個(gè)
D. 是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)“偏序關(guān)系”
【正確答案】ACD
【分析】A選項(xiàng)，分析出，分析③可知，和只能二選一，或兩者均不能在中，從而得到足是集合A的一個(gè)“偏序關(guān)系”的集合共有3個(gè)；B選項(xiàng)，且，但，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，分析出，再添加一個(gè)元素即可，從而得到答案；D選項(xiàng)，通過(guò)分析均滿足四個(gè)條件，D正確.
【詳解】A選項(xiàng)，，則，
通過(guò)分析②可知，，分析③可知，和只能二選一，或兩者均不能在中，
取，或，或，
故滿足是集合A的一個(gè)“偏序關(guān)系”的集合共有3個(gè)，A正確；
B選項(xiàng)，集合，且，但，故②不成立，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，通過(guò)分析②可知，，
結(jié)合③和④，可再添加一個(gè)元素，即中任選一個(gè)，
即取，或，
或，或，
或，或，
共6個(gè)，C正確；
D選項(xiàng)，是R的子集，滿足①，
且當(dāng)時(shí)，，滿足②，
當(dāng)時(shí)，滿足③，
，若且，則，所以，
則，滿足④，
故是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)“偏序關(guān)系，D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 設(shè)，集合，則______
【正確答案】0
【分析】根據(jù)可知，故.
【詳解】由可知，
又，故.
故0
13. 已知條件，條件，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是_________.
【正確答案】.
【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義及命題的否定形式計(jì)算參數(shù)范圍即可.
【詳解】由題設(shè)得或，設(shè){或}，
同理可得，設(shè)，
因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，因此.
故答案為.
14. 出入相補(bǔ)是指一個(gè)平面（或立體）圖形被分割成若干部分后面積（或體積）的總和保持不變，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家構(gòu)造弦圖，利用出入相補(bǔ)原理證明了勾股定理，我國(guó)清代的梅文鼎、李銳、華蘅芳、何夢(mèng)瑤等都通過(guò)出入相補(bǔ)原理創(chuàng)造了不同的面積證法證明了勾股定理.在下面兩個(gè)圖中，若，，，圖中兩個(gè)陰影三角形的周長(zhǎng)分別為，，則的最小值為_(kāi)_______.

【正確答案】
【分析】根據(jù)圖形中的相似關(guān)系先表示出，然后利用基本不等式求解出最小值.
【詳解】如圖1，易知，且，

所以，所以；
如圖2，易知，且，

所以，所以，
所以,
又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
所以最小值為，
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知，，全集．
（1）若，求，；
（2）若；求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1），，
（2）
【分析】（1）由條件根據(jù)集合運(yùn)算法則求，即可；
（2）由條件可得，根據(jù)集合包含關(guān)系列不等式可求的取值范圍．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以?br>又，
所以，，
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋曰颍?br>又，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，接的，
當(dāng)時(shí)，由，可得或，
所以或，
綜上或.
所以的取值范圍或.
16. （1）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：若，則：
（2）已知為正數(shù)，且滿足，證明.
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先對(duì)和平方化簡(jiǎn)，然后結(jié)合已知條件可證得結(jié)論，
（2）利用基本不等式結(jié)合可證得結(jié)論
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋瑒t為正數(shù)，
所以，
因此.
（2）因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
又，故有.
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
17. 已知：，.
（1）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若是的既不充分也不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）解不等式化簡(jiǎn)命題，由充分不必要條件列出不等式求解；
（2）根據(jù)命題的關(guān)系，可得對(duì)應(yīng)集合互不包含，列出不等式求解.
【小問(wèn)1詳解】
由，可得，則：，
又由，可得，則：，
若q是p的充分不必要條件，可得是的真子集，
有，解可得；
【小問(wèn)2詳解】
若q是p的既不充分也不必要條件，則和互不包含，
可得或，解得或.
18. 某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價(jià)為x元，朱古力蜂果蛋糕單位為y元，現(xiàn)有兩種購(gòu)買(mǎi)方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為a個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為b個(gè)，花費(fèi)記為;
方案二：薄脆百香果蛋糕購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為b個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為a個(gè)，花費(fèi)記為．
（其中）
（1）試問(wèn)哪種購(gòu)買(mǎi)方案花費(fèi)更少？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若a，b，x，y同時(shí)滿足關(guān)系，求這兩種購(gòu)買(mǎi)方案花費(fèi)的差值S最小值（注：差值花費(fèi)較大值-花費(fèi)較小值）．
【正確答案】（1）采用方案二；理由見(jiàn)解析
（2）24
【分析】（1）列出兩種方案總費(fèi)用的表達(dá)式，作差比較，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到，利用換元法和基本不等式，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：方案一總費(fèi)用為（元）；
方案二的總費(fèi)用為（元），
由，
因?yàn)椋傻?，所以?br>即，所以，所以采用方案二，花費(fèi)更少.
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）可知，
令，則，
所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
又因?yàn)?，可得?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以差最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以兩種方案花費(fèi)的差值最小為24元.
19. 已知集合，對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均屬于，則稱(chēng)集合是集合的“期待子集”.
（1）試判斷集合是否為集合的“期待子集”；（直接寫(xiě)出答案，不必說(shuō)明理由）
（2）如果一個(gè)集合中含有三個(gè)元素，同時(shí)滿足①，②，③為偶數(shù).那么稱(chēng)該集合具有性質(zhì).對(duì)于集合的非空子集，證明：集合是集合的“期待子集”的充要條件是集合具有性質(zhì).
【正確答案】（1）是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”
（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)所給定義判斷即可.
（2）先證明必要性，再證明充分性，結(jié)合所給“期待子集”的定義及性質(zhì)的定義證明即可；
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>對(duì)于集合，令，解得，顯然，，
所以是集合的“期待子集”；
對(duì)于集合，令，則，
因?yàn)椋?，故矛盾，所以不是集合的“期待子集?br>【小問(wèn)2詳解】
先證明必要性：
當(dāng)集合是集合的“期待子集”時(shí)，由題意，存在互不相同的，使得，
不妨設(shè)，令，，，則，即條件中的①成立；
又，所以，即條件中的②成立；
因?yàn)椋?br>所以為偶數(shù)，即條件中的③成立；
所以集合滿足條件.
再證明充分性：
當(dāng)集合滿足條件時(shí)，有存在，滿足①，②，③為偶數(shù)，
記，，，
由③得，由①得，由②得，
所以，
因?yàn)?，，，所以，，均屬于?br>即集合是集合的“期待子集”
關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及集合新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，然后合理利用定義，結(jié)合相關(guān)的其它知識(shí)，分類(lèi)討論，進(jìn)行推理判斷解決.

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