1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）
1. 集合用列舉法表示為（ ）
A. B. C. D.
2. 集合是指（ ）．
A. 第一象限內(nèi)的所有點
B. 第三象限內(nèi)的所有點
C. 第一象限和第三象限內(nèi)的所有點
D. 不在第二象限、第四象限內(nèi)所有點
3. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 下列函數(shù)的定義域與值域相同的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若命題“，”是假命題，則實數(shù)的最小值為（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 已知函數(shù)fx=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A.
B.
C.
D. 不等式的解集是
7. 當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（ ）
A B.
C. D.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）
9. 已知函數(shù)對任意實數(shù)，都滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A. 偶函數(shù)
B.
C.
D.
10. 若二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6，則a等于（ ）
A. B. C. D. 5
11. 下列說法正確的有（ ）
A. 不等式的解集是
B. “，”是“”成立充分條件
C. 命題：，，則：，
D. “”是“”的必要條件
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 時，的值域為__________.
13. 若不等式的解集為，則________．
14. 如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長為x（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于，則x的取值范圍為______.
四、解答題（本題共5小題，共77分）
15. 已知集合，或.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
16. 解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）．
17. 已知函數(shù)．
（1）若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式．
18. 已知正數(shù)a，b滿足．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
19. 后疫情時代，全民健康觀念發(fā)生很大改變．越來越多人注重通過攝入充足的水果，補充維生素，提高自身免疫力．鄭州某地區(qū)適應(yīng)社會需求，利用當(dāng)?shù)氐牡乩韮?yōu)勢，發(fā)展種植某種富含維生素的珍稀果樹．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：該珍稀果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與單株用肥量x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：已知肥料的成本為10元/千克，其他人工投人成本合計元．若這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該果樹的單株利潤為（單位：元）．
（1）求的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)單株施用肥料為多少千克時，該果樹的單株利潤最大，并求出最大利潤．
2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市衡陽縣高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）
1. 集合用列舉法表示為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】首先解不等式組，再用列舉法表示即可.
【詳解】由，解得，
所以.
故選：C
2. 集合是指（ ）．
A. 第一象限內(nèi)的所有點
B. 第三象限內(nèi)的所有點
C. 第一象限和第三象限內(nèi)的所有點
D. 不在第二象限、第四象限內(nèi)的所有點
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意，說明同號，包括零.得到點的意義即可解題.
【詳解】,說明同號，包括零.
則表示不在第二，四象限內(nèi)的所有點.
故選：D．
3. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】可以代入特殊值分別判斷充分性和必要性．
【詳解】因為，所以，所以，而，
當(dāng)，則；
當(dāng)時，若，則不成立，
故“”是“”的充分而不必要條件．
故選：A．
4. 下列函數(shù)的定義域與值域相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】分別求出各函數(shù)的定義域和值域，逐一判斷即可.
【詳解】函數(shù)的定義域和值域都為R，A正確；
的定義域為，值域為，B錯誤；
的定義域為R，值域為，C錯誤；
的定義域為R，值域為，D錯誤.
故選：A
5. 若命題“，”是假命題，則實數(shù)的最小值為（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】D
【分析】由題意可得命題的否定為真命題，進而可得出答案.
【詳解】因為命題“，”是假命題，
所以其否定“，”是真命題，
則，解得，
所以實數(shù)的最小值為.
故選：D.
6. 已知函數(shù)fx=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A
B.
C.
D. 不等式的解集是
【正確答案】A
【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標，結(jié)合二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系，即可求解.
【詳解】由題圖知拋物線開口向上，所以，
拋物線與軸交點縱坐標正，所以，
因，所以，
由韋達定理，
即，，對稱軸，
則.所以A錯誤，B,C正確.
不等式 可化為，
即，解得 或.
所以不等式的解集是.D正確.
故選：A.
7. 當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】對二項式系數(shù)進行分類，結(jié)合二次函數(shù)定義的性質(zhì)，列出關(guān)系式求解.
【詳解】當(dāng)x∈?1,1時，不等式恒成立，
當(dāng)時，滿足不等式恒成立；
當(dāng)時，令，則在?1,1上恒成立，
函數(shù)的圖像拋物線對稱軸為，
時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則有，解得；
時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有，解得.
綜上可知，的取值范圍是.
故選：D.
方法點睛：分類討論思想是高中數(shù)學(xué)一項重要的考查內(nèi)容，分類討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實現(xiàn)問題的求解，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)問題的分析處理能力和解決能力.
8. 已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】由根式和復(fù)合函數(shù)的定義域求解即可.
【詳解】由題可知的定義域為，
則為使有意義必須且只需，
解得，
所以的定義域為.
故選：D
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）
9. 已知函數(shù)對任意實數(shù)，都滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)
B.
C.
D.
【正確答案】ACD
【分析】對A、B、C分別利用賦值法可逐項判斷，對D利用賦值法可求出是周期函數(shù)，再根據(jù)周期函數(shù)可判斷.
【詳解】因為，
對B，令，得，因為，所以，故B錯誤；
對A，令，則，由B知，
則，所以，且定義域為，
故是偶函數(shù)，故A正確；
對C，令，則，所以，
令，則，故C正確；
對D，有，則，
所以函數(shù)周期，則，
所以，故D正確．
故選：ACD．
10. 若二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6，則a等于（ ）
A. B. C. D. 5
【正確答案】BC
【分析】對實數(shù)的取值進行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，結(jié)合可求得實數(shù)的值.
【詳解】由題意可知：，
當(dāng)時，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
所以，，解得，合乎題意；
當(dāng)時，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，解得，合乎題意.
故選：BC.
11. 下列說法正確的有（ ）
A. 不等式的解集是
B. “，”是“”成立的充分條件
C. 命題：，，則：，
D. “”是“”的必要條件
【正確答案】BD
【分析】對A：利用分式不等式得解法解出即可得；對B：利用充分條件定義判斷即可得；對C：借助全稱命題的否定即可得；對D：利用必要條件定義判斷即可得.
【詳解】對A：，
解得，即其解集為，故A錯誤；
對B：若，，則，
故“，”是“”成立的充分條件，故B正確；
對C：，的否定為，，故C錯誤；
對D：由“”可得“”，故“”是“”的必要條件，故D正確.
故選：BD.
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 時，的值域為__________.
【正確答案】
【分析】利用換元法，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解.
【詳解】因為，令，則，
則，，
可知開口向上，對稱軸為，且，
所以在內(nèi)的值域為，
即在內(nèi)的值域為.
故答案為.
13. 若不等式的解集為，則________．
【正確答案】5
【分析】由題意可知：為方程的兩根，利用韋達定理運算求解即可.
【詳解】由題意可知：為方程的兩根，
則，即，
所以.
故5.
14. 如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長為x（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于，則x的取值范圍為______.
【正確答案】
【分析】由三角形相似得，再根據(jù)面積不小于，即可求得x的取值范圍.
【詳解】設(shè)矩形另一邊的長為m，
由三角形相似得：，（）,
所以,
所以矩形草坪的面積，
解得.
故
四、解答題（本題共5小題，共77分）
15. 已知集合，或.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）或，
（2）
【分析】（1）根據(jù)集合的交并補即可得到答案；
（2）根據(jù)充分不必要條件得?，列出不等式組，解出即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，集合，
又或，則，
或；.
【小問2詳解】
若，且“”是“”的充分不必要條件，
?，則
解得，
故的取值范圍是.
16. 解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）．
【正確答案】（1）或；
（2）；
（3）或.
【分析】（1）（2）把分式不等式轉(zhuǎn)化成一元二次不等式求解即得.
（3）變形給定的不等式，再轉(zhuǎn)化成一元二次不等式組求解.
【小問1詳解】
不等式，解得或，
所以原不等式的解集為或.
【小問2詳解】
不等式，解得，
所以原不等式的解集為.
【小問3詳解】
不等式化為：，即，
則或，解得或，
所以原不等式的解集為或.
17. 已知函數(shù)．
（1）若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式．
【正確答案】（1）；
（2）答案見解析
【分析】（1）討論或兩種情況，由不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍；
（2）首先不等式整理為，討論對應(yīng)方程的兩根大小關(guān)系，解不等式.
【小問1詳解】
即為，
所以不等式對于任意x∈R恒成立，
當(dāng)時，得，顯然符合題意；
當(dāng)時，得，解得．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是．
【小問2詳解】
不等式即，
即．
又，不等式可化為，
若，即時，得或，即解集為或；
若，即時，得，即解集為；
若，即時，得或，即解集為或．
綜上可知，當(dāng)時，解集為或；
當(dāng)時，解集為；
當(dāng)時，解集為或．
18. 已知正數(shù)a，b滿足．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
【正確答案】（1）
（2）18
【分析】（1）利用常值代換法和基本不等式即可求出最小值；
（2）將已知式分解因式為，利用常數(shù)分離法將所求式化成，再運用基本不等式即可求得最小值.
【小問1詳解】
因為，，且，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時等號成立，
故的最小值為．
【小問2詳解】
因為，，且，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
故的最小值為18．
19. 后疫情時代，全民健康觀念發(fā)生很大改變．越來越多人注重通過攝入充足的水果，補充維生素，提高自身免疫力．鄭州某地區(qū)適應(yīng)社會需求，利用當(dāng)?shù)氐牡乩韮?yōu)勢，發(fā)展種植某種富含維生素的珍稀果樹．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：該珍稀果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與單株用肥量x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：已知肥料的成本為10元/千克，其他人工投人成本合計元．若這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該果樹的單株利潤為（單位：元）．
（1）求函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)單株施用肥料為多少千克時，該果樹的單株利潤最大，并求出最大利潤．
【正確答案】（1）
（2）當(dāng)施用肥料為4千克時，種植該果樹獲得的最大利潤是480元
【分析】（1）用單株產(chǎn)量乘以水果的市場售價減去肥料的成本、人工投人成本得出該果樹的單株利潤；
（2）利用配方法、基本不等式求出的最大值可得答案．
【小問1詳解】
由題可知
，
；
【小問2詳解】
由（1）得
，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
（當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立）
因為，所以當(dāng)時，，
所以當(dāng)施用肥料為4千克時，種植該果樹獲得的最大利潤是480元.

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