考試時長：120分鐘 滿分：150分
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．
1. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)并集定義計算可得.
【詳解】因為，，
所以.
故選：D
2. 如圖，角的頂點在原點，始邊在軸的非負半軸上，它的終邊與單位圓相交于點，且點的橫坐標為，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計算可得.
【詳解】因為角的終邊與單位圓相交于點，且點的橫坐標為，
所以.
故選：B
3. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由推不出，故充分性不成立；
由推得出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
4. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計算可得.
【詳解】因為，
所以.
故選：A
5. 函數(shù)在區(qū)間上是單調遞減的，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函數(shù)的性質求解參數(shù)范圍即可.
【詳解】由題意,的圖象開口向上，對稱軸為直線，
因為在區(qū)間上單調遞減，所以，
解得.
故選：C.
6. 下列比較大小中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)換底公式及對數(shù)函數(shù)的性質判斷A，根據(jù)冪函數(shù)的性質判斷B、D，根據(jù)中間量判斷C.
【詳解】對于A：因為，，
又，所以，所以，故A錯誤；
對于B：因為在上單調遞減，，所以，故B錯誤；
對于C：因為，，所以，故C錯誤；
對于D：因為，又在上單調遞增，
所以，即，故D正確；
故選：D
7. 已知，，，，則下列一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關系及指數(shù)冪的運算性質計算可得.
【詳解】因為，，所以，，
又，所以，
又，所以，所以.
故選：C
8. 已知，，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由將切化弦，再通分，結合兩角差的正弦公式求出，再由兩角差的余弦公式求出，即可得解.
【詳解】因為，，
所以，
所以，
又，所以，
所以.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是由所給條件推導出、的值.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列命題是真命題的有（ ）
A. 若，，則B. 若且，則
C. 若，，則D. 若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】利用特殊值判斷A、D，利用不等式的性質判斷B、C.
【詳解】對于A：如，，，，滿足，，
但是，故A錯誤；
對于B：因為，所以，又，所以，
所以，故B正確；
對于C：因為，所以，則，又，所以，故C正確；
對于D：若，則，故D錯誤.
故選：BC.
10. 下列關于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A. 要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位
B. 函數(shù)的圖象關于點中心對稱
C. 若，則
D. 函數(shù)在區(qū)間內單調遞增
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移變換判斷A，根據(jù)正弦函數(shù)的性質判斷B、D，利用誘導公式判斷C.
【詳解】對于A：將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到，故A錯誤；
對于B：因為，所以函數(shù)的圖象關于點中心對稱，故B正確；
對于C：因為，所以，
所以，故C正確；
對于D：由，所以，
因為在上單調遞增，所以函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，故D正確；
故選：BCD
11. 若是定義在R上的函數(shù)，當時，，且對任意x，，恒成立，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 是偶函數(shù)
C. 的圖象關于對稱
D. 若，則恒成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】令可求出判斷A，可得函數(shù)的奇偶性判斷B，函數(shù)的奇偶性，得到函數(shù)的對稱性，即可判斷C，利用單調性的定義判斷D.
【詳解】已知，
令，可得，解得，故A正確；
再令，得，
即，因為不恒成立，所以，
所以為奇函數(shù)，故B錯誤；
因為為奇函數(shù)，所以關于原點對稱，則的圖象關于對稱，故C正確；
因為當時，，所以當時，，則；
設任意的，，且，
則，
所以，
因為，，且，
所以，，，，，
所以，即，
所以在上單調遞增，則在上單調遞增，
又，且當時，，當時，，
所以是R上的增函數(shù)，則當時，恒成立，故D正確．
故選：ACD
【點睛】關鍵點點睛：對于抽象函數(shù)求函數(shù)值一般采用賦值法，抽象函數(shù)的單調性的證明通常是利用定義法.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 函數(shù)的定義域是______．
【答案】
【解析】
【詳解】 ，即定義域為
點睛：常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求
(1)分式函數(shù)中分母不等于零．
(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.
(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cs x的定義域均為R.
(6)y＝lgax(a>0且a≠1)的定義域為(0，＋∞)．
13. 當時，的最小值是___________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用換元法，令將所給的代數(shù)式進行變形，然后利用均值不等式即可求得最小值.
【詳解】由，可得.
可令，即，則，
當且僅當，時，等號成立.
故答案：．
14. 對于函數(shù)，若在其定義域內存在，使得成立，則稱函數(shù)具有性質．下列四個函數(shù)中具有性質的有______．（填序號）
① ② ③ ④．
【答案】②③④
【解析】
【分析】假設函數(shù)具有性質，即判斷是否有解，構造函數(shù)，結合零點存在性定理判斷即可.
【詳解】對于①：假設具有性質，則在上存在，使得，
即，因為，所以，故方程無解，
即不具有性質，故①錯誤；
對于②：假設具有性質，則在上存在，使得，
即在時有解，
設，，顯然為定義域上的連續(xù)函數(shù)，
又，，即在上有零點，
所以具有性質，故②正確；
對于③：假設具有性質，則存在，使得，
即有解，
令，顯然為連續(xù)函數(shù)，
又，，所以上存在零點，
所以具有性質，故③正確；
對于④：假設具有性質，則存在，使得，
即有解，
令，顯然為連續(xù)函數(shù)，又，
，
所以在上存在零點，所以具有性質，故④正確.
故答案為：②③④.
【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是將問題轉化為方程是否有解，結合零點存在性定理判斷即可.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合，．
（1）當時，求；
（2）若，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先解一元二次不等式，即可求出集合，再根據(jù)并集的定義計算可得；
（2）首先求出，再根據(jù)，即可求出的取值范圍.
【小問1詳解】
由，即，解得，
所以，
當時，，
所以；
【小問2詳解】
因為，所以，
又，，
所以，所以實數(shù)m的取值范圍為.
16. 已知函數(shù)．
（1）求的最大值；
（2）若，且直線與的圖象在上有交點，求m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質計算可得；
（2）首先利用二倍角公式化簡得到，再求出函數(shù)在上的值域，即可求出參數(shù)的取值范圍.
小問1詳解】
因為，
因為，所以，
當，即時取得最大值且；
【小問2詳解】
因為
，
當，則，所以，則，
又直線與的圖象在上有交點，所以；
17. 為了美化城市，某部門計劃在一處綠化帶做一個“福地懷化”字樣的園圃，如圖所示，該園圃的形狀是扇形挖去半徑為其一半的扇形后得到的扇環(huán)，園圃的外圍周長為50m，其中圓心角小于，的長不超過10m．設（單位：m），園圃的面積為（單位：）．

（1）寫出關于x的函數(shù)表達式，并求出該函數(shù)的定義域；
（2）當x為多少時，園圃的面積最大，求出y的最大值及此時與的長．
【答案】（1）答案見解析
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）利用扇形的弧長公式和面積公式求解解析式即可.
（2）利用二次函數(shù)的性質求解最值即可.
【小問1詳解】
在扇形中，由題意得，，
由扇形面積公式得扇形的面積為，
扇形的面積為，
故，由弧長公式得的長度為，
長度為，而園圃的外圍周長為50m，
故，解得，
因為圓心角小于，所以，
解得，而，故，
故，該函數(shù)的定義域為.
【小問2詳解】
由二次函數(shù)性質得在內單調遞增，
當時，的最大值為，
的長度為，
的長度為.
18. 已知函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）求的最小值；
（3）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質求出參數(shù)的值，再代入檢驗即可；
（2）利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值；
（3）依題意可得不等式對任意恒成立，令，即可得到不等式對任意恒成立，參變分離可得對任意恒成立，結合對勾函數(shù)的性質求出，即可得解.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，
因為為偶函數(shù)，所以，
即，解得，
此時函數(shù)的定義域為，
且，
所以為偶函數(shù)，符合題意，
所以；
【小問2詳解】
由（1）可得，
因為，，所以，當且僅當，即時等號成立；
所以，
即的最小值為，當時取得最小值；
【小問3詳解】
由（1）可得，
則，
由不等式對任意恒成立，
即不等式對任意恒成立，
令，則，
所以不等式對任意恒成立，
所以對任意恒成立，
因為函數(shù)在上單調遞增，
所以當時取得最小值，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.
19. 若定義在上的函數(shù)滿足：存在非零實數(shù)，對，都有，則稱函數(shù)是可分解函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)是否為可分解函數(shù)，如果是，求出一個的值；如果不是，請說明理由；
（2）若是可分解函數(shù)，且存在，使得對，都有，求，；
（3）對于函數(shù)，是否存在，，使得是可分解函數(shù)？若存在，求出，；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）存在，使函數(shù)是可分解函數(shù)（答案不唯一）
（2），
（3）存在，，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)即可得解；
（2）依題意可得，令求出，再推導出且，即可求出；
（3）依題意可得，由求出，再由求出，再代入檢驗即可.
【小問1詳解】
函數(shù)是可分解函數(shù)，
因為，，
且，
所以，即對，都有，
所以存在，使函數(shù)是可分解函數(shù)（答案不唯一）；
【小問2詳解】
因為是可分解函數(shù)，所以，
令，可得，所以；
又，所以且，
所以，
若，則當時，，不符合題意；
所以；
【小問3詳解】
因為是可分解函數(shù)，所以且，
即，即，又，所以，所以；
又，否則且，
則，
則當時，，與矛盾；
所以，又，所以，所以或；
當，即時，，
此時，
而，
則，不符合題意，故舍去；
當，即時，，
此時，
而，
則，符合題意；
綜上可得，存在，，使得函數(shù)是可分解函數(shù).
【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是理解可分解函數(shù)的定義，再結合三角函數(shù)的性質計算即可.

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