1．（3 分）在 22 ，0， ? ， ?0.5 ，
10
，3.161161116 六個實數(shù)中，無理數(shù)有()
72
個B．2 個C．3 個D．4 個
2．（3 分）在下列所給出坐標的點中，在第二象限的是()
A． (3, 6)B． (?1, ?3)
C． (?3, 2)
D． (5, ?3)
31
3．（3 分）估計? 2 的值應在( )
和 3 之間B．3 和 4 之間C．4 和 5 之間D．5 和 6 之間
4．（3 分）如圖，下列條件中不能判定 AB / /CD 的是()
A． ?1 ? ?4 ? 180?B． ?4 ? ?6C． ?5 ? ?6 ? 180?D． ?3 ? ?5
5．（3 分）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，共分三卷，在卷下中記載了這樣一個問題：“今有甲、乙二人，持錢各不知數(shù)．甲得乙中半，可滿四十八．乙得甲太半，亦滿四十八．問甲、乙二人持錢各幾何？”
譯文大致為：“甲、乙兩人帶著錢，不知道是多少．若甲得到乙錢數(shù)的 1 ，則甲的錢數(shù)為 48．若乙得到甲
2
錢數(shù)的 2 ，則乙的錢數(shù)也為 48．問甲、乙各有多少錢？”設甲持錢 x ，乙持錢 y ，則根據(jù)題意可以列出方
3
程組為()
?1 x ? y ? 48
?x ? 1 y ? 48
?x ? 1 y ? 48
?x ? 1 y ? 48
?
? 2
?
?x ?
?
2 y ? 48
3
?
? 2
?
?? 3
2
x ? y ? 48
?
? 2
?
?? 3
2
x ? y ? 48
?
?
?
?x ?
?
2
1 y ? 48
3
6．（3 分）若 a ? b ，則下列不等式不正確的是()
A． ?5a ? ?5b
B． a ? b
55
C． 5a ? 5b
D． a ? 5 ? b ? 5
7．（3 分）若 4 的平方根是 x ， ?27 的立方根是 y ，則2x ? y 的值為()
A．7B．11C． ?1 或 7D．11 或?5
8．（3 分）已知第二象限的點 E(a ? 3, a ? 1) 到 y 軸的距離等于 1，則 a 的值為()
A．4B．0C．2D． ?2
9．（3 分）如圖， AD / / EF / / BC ，且 EG / / AC ．那么圖中與?1 相等的角（不包括?1) 的個數(shù)是( )
A．2B．4C．5D．6
10．（3 分）已知方程組?a1 x ? b1 y ? c1
的解是?x ? 3 ，則方程組?3a1x ? 2b1 y ? 5c1
的解是( )
?a x ? b y ? c
? y ? 4
???
? 222?
?3a2 x
2b2 y
5c2
?x ? 1
?x ? 3
?x ? 10
?x ? 5
?
?
?
? y ? 2
? y ? 4
C． ?10
??
y ?
?3
D． ? y ? 10
7
二、填空題（共 6 小題，每題 3 分，共 18 分）
11．（3 分）
的小數(shù)部分為 ．
12．（3 分）命題“同位角相等”是 ．（填“真命題”或“假命題” ) ．
13．（3 分）若不等式(a ? 3)x ? a ? 3 的解集是 x ? 1 ，則 a 的取值范圍是 ．
14．（3 分）如圖，已知直線 AB / /CD ， ?BEF 的平分線交CD 于點G ，若?1 ? 48? ，則?2 ? ．
15．（3 分）如圖，在平面直角坐標系中， A(1, 0) ， B(0, ?2) ，將線段 AB 先向上平移 2 個單位長度，再向
右平移 3 個單位長度，得到線段 DC ，點 A 與點 D 為對應點．點 P 為 y 軸上一點，且 S
? 1 S，
則滿足要求點 P 的坐標為 ．
?ACP
4 四邊形ABCD
16．（3 分）如圖，一個蒲公英種子從平面直角坐標系的原點O 出發(fā)，向正東走 3 米到達點 A1 ，再向正北方向走 6 米到達點 A2 ，再向正西方向走 9 米到達點 A3 ，再向正南方向走 12 米到達點 A4 ，再向正東方向走15 米到達點 A5 ，以此規(guī)律走下去，當種子到達點 A2023 時，它在坐標系中坐標為 ．
三、解答題（共 9 個小題，共 102 分）
1 ? 5
9
5
17．（8 分）計算：
25
3 ?8
（1）??
；（2） |
? 2 | ?(3 ? 7 5) ．
?
18．（10 分）（1）解方程組： ?2x ? y ? 8．
??
?3x2 y 11
（2）解不等式 x ? 2 ? 7 ? x ，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
23
19．（10 分）如圖， ?1 ? ?D ， ?C ? 44? ，求?B 的度數(shù)．
20．（10 分）如圖，有一個面積為 400cm2 的正方形．
正方形的邊長是多少？
若沿此正方形邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為 5: 4 ，且面積為
360cm2 ？若能，試求出剪出的長方形紙片的長與寬；若不能，試說明．
21．（12 分）如圖所示，若 A(3, 4) ，按要求回答下列問題：
在圖中建立正確的平面直角坐標系．
將?ABC 向右平移 3 個單位，再向下平移 1 個單位得△ A1B1C1 ，在圖中畫出△ A1B1C1 ，并寫出 B1 點坐標．
求?ABC 的面積．
?4x ? y ? 1 ? a
22．（12 分）已知關于 x 、 y 的方程組?x ? y ? 2a
?
的解還滿足 x ? y ? 1 ，求 a 的值．
23．（12 分）某工廠接受了 20 天內(nèi)生產(chǎn) 1200 臺GH 型電子產(chǎn)品的總?cè)蝿眨阎颗_GH 型產(chǎn)品由 4 個G 型裝置和3 個 H 型裝置配套組成．工廠現(xiàn)有80 名工人，每個工人每天能加工6 個G 型裝置或3 個 H 型裝置．工廠將所有工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置，并要求每天加工的G 、H 型裝置數(shù)量正好全部配套組成GH 型產(chǎn)品．
按照這樣的生產(chǎn)方式，工廠每天能配套組成多少套GH 型電子產(chǎn)品？請列出二元一次方程組解答此問題．
為了在規(guī)定期限內(nèi)完成總?cè)蝿?，工廠決定補充一些新工人，這些新工人只能獨立進行G 型裝置的加工，且每人每天只能加工 4 個G 型裝置．設原來每天安排 x 名工人生產(chǎn)G 型裝置，后來補充 m 名新工人， 求 x 的值（用含 m 的代數(shù)式表示）．
24．（14 分）如圖， AD / / BC ， ?BAD 的平分線交 BC 于點G ， ?BCD ? 90? ．
試說明： ?BAG ? ?BGA ；
如圖 1，點 F 在 AG 的反向延長線上，連接CF 交 AD 于點 E ，若?BAG ? ?F ? 45? ，求證：CF 平分
?BCD ．
如圖 2，線段 AG 上有點 P ，滿足?ABP ? 3?PBG ，過點C 作CH / / AG ．若在直線 AG 上取一點 M ，
使?PBM ? ?DCH ，求 ?ABM
?GBM
的值．
25．（14 分）如圖，在平面直角坐標系中，AB / /CD / / x 軸，BC / / DE / / y 軸，且 AB ? CD ? 5cm ，OA ? 7cm ，
DE ? 4cm ，動點 P 從點 A 出發(fā)，沿 ABC 路線向點C 運動；動點Q 從點O 出發(fā)，沿OED 路線向點 D 運動，
P ， Q 兩點同時出發(fā)，其中一點到達終點時，運動停止，連接 PO ， PQ ，其中 PQ 不垂直于 x 軸．
直接寫出 B ， D 兩點的坐標；
點 P ， Q 開始運動后， ?AOP ， ?OPQ ， ?PQE 三者之間存在何種數(shù)量關系，請說明理由；
若動點 P ， Q 分別以每秒1cm 和每秒2cm 的速度運動，則運動時間為多少秒時，三角形OPQ 的面積為 25cm2 ．
2023-2024 學年廣東省廣州市越秀區(qū)鐵一中學七年級（下）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（共 10 小題，每題 3 分，共 30 分）
1．（3 分）在 22 ，0， ? ， ?0.5 ，
10
，3.161161116 六個實數(shù)中，無理數(shù)有( )
72
個B．2 個C．3 個D．4 個
10
【解答】解：在 22 ，0， ? ， ?0.5 ，，3.161161116 六個實數(shù)中，無理數(shù)有 ? ，
10
，共 2 個．
722
故選： B ．
2．（3 分）在下列所給出坐標的點中，在第二象限的是( )
A． (3, 6)B． (?1, ?3)
C． (?3, 2)
D． (5, ?3)
【解答】解： A ． (3, 6) 在第一象限，故 A 不符合題意；
B ． (?1, ?3) 在第三象限，故 B 不符合題意；
C ． (?3, 2) 在第二象限，故C 符合題意； D ． (5, ?3) 在第四象限，故 D 不符合題意． 故選： C ．
31
3．（3 分）估計? 2 的值應在( )
和 3 之間B．3 和 4 之間C．4 和 5 之間D．5 和 6 之間
31
【解答】解：?5 ?? 6 ，
31
?3 ?? 2 ? 4 ， 故選： B ．
4．（3 分）如圖，下列條件中不能判定 AB / /CD 的是( )
A． ?1 ? ?4 ? 180?B． ?4 ? ?6C． ?5 ? ?6 ? 180?D． ?3 ? ?5
【解答】解： A 、?1 ? ?4 ? 180? ， ?4 ? ?5 ? 180? ，則?1 ? ?5 ，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”可以判定 AB / /CD ，不符合題意；
B 、若?4 ? ?6 時，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”可以判定 AB / /CD ，不符合題意；
C 、?5 ? ?6 ? 180? ，?4 ? ?5 ? 180? ，則?4 ? ?6 ，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”可以判定 AB / /CD ， 不符合題意；
D 、?3 與?5 是對頂角，根據(jù)?3 ? ?5 不能判定 AB / /CD ，符合題意． 故選： D ．
5．（3 分）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，共分三卷，在卷下中記載了這樣一個問題：“今有甲、乙二人，持錢各不知數(shù)．甲得乙中半，可滿四十八．乙得甲太半，亦滿四十八．問甲、乙二人持錢各幾何？”
譯文大致為：“甲、乙兩人帶著錢，不知道是多少．若甲得到乙錢數(shù)的 1 ，則甲的錢數(shù)為 48．若乙得到甲
2
錢數(shù)的 2 ，則乙的錢數(shù)也為 48．問甲、乙各有多少錢？”設甲持錢 x ，乙持錢 y ，則根據(jù)題意可以列出方
3
程組為( )
?1 x ? y ? 48
?x ? 1 y ? 48
?x ? 1 y ? 48
?x ? 1 y ? 48
?
? 2
?
?x ?
?
2 y ? 48
3
?
? 2
?
?? 3
2
x ? y ? 48
?
? 2
?
?? 3
2
x ? y ? 48
?
?
?
?x ?
?
2
1 y ? 48
3
?x ? 1 y ? 48
? 2
【解答】解：由題意得： ?
?
?? 3
2，
x ? y ? 48
故選： B ．
6．（3 分）若 a ? b ，則下列不等式不正確的是( )
A． ?5a ? ?5b
B． a ? b
55
C． 5a ? 5b
D． a ? 5 ? b ? 5
【解答】解： A ．? a ? b ，
??5a ? ?5b ，故本選項符合題意；
B ．? a ? b ，
? a ? b ，故本選項不符合題意；
55
C ．? a ? b ，
?5a ? 5b ，故本選項不符合題意；
D ．? a ? b ，
? a ? 5 ? b ? 5 ，故本選項不符合題意； 故選： A ．
7．（3 分）若 4 的平方根是 x ， ?27 的立方根是 y ，則2x ? y 的值為( )
A．7B．11C． ?1 或 7D．11 或?5
【解答】解：? 4 的平方根是 x ， ?27 的立方根是 y ，
? x ? ?2 ， y ? ?3 ，
? 2x ? y ? ?2 ? 2 ? (?3) ? ?1 或 2x ? y ? 2 ? 2 ? (?3) ? 7 ， 故選： C ．
8．（3 分）已知第二象限的點 E(a ? 3, a ? 1) 到 y 軸的距離等于 1，則 a 的值為( )
A．4B．0C．2D． ?2
【解答】解：?第二象限的點 E(a ? 3, a ? 1) 到 y 軸的距離等于 1，
? a ? 3 ? ?1 ， 解得 a ? 2 ． 故選： C ．
9．（3 分）如圖， AD / / EF / / BC ，且 EG / / AC ．那么圖中與?1 相等的角（不包括?1) 的個數(shù)是( )
A．2B．4C．5D．6
【解答】解：? EG / / AC ，
??1 ? ?FEG ? ?FHC ，
? EF / / BC ，
??1 ? ?ACB ， ?FEG ? ?BGE ，
? AD / / EF ，
??1 ? ?DAC ，
?與?1 相等的角有： ?GEF ， ?FHC ， ?BCA ， ?BGE ， ?DAC ，共 5 個． 故選： C ．
10．（3 分）已知方程組?a1 x ? b1 y ? c1
的解是?x ? 3 ，則方程組?3a1x ? 2b1 y ? 5c1
的解是( )
?a x ? b y ? c
? y ? 4
???
? 222?
?3a2 x
2b2 y
5c2
?x ? 1
?x ? 3
?x ? 10
?x ? 5
?
?
? y ? 2
? y ? 4
?
??
y ?
?
10D． ? y ? 10 3
?
?a ?3 x ? b ? 2 y ? c
?3a1x ? 2b1 y ? 5c1
? 1 51 51
【解答】解：方程組???可以變形為：方程組?3，
?3a2 x2b2 y5c2
?a ? x ? b ? 2 y ? c
設 3 x ? m ， 2 y ? n ，則方程組可變?yōu)?a1m ? b1n ? c1 ，
?? 2 52 52
55?a m ? b n ? c
? 222
? m ? 3 ， n ? 4 ，
?
即 3 x ? 3 ， 2 y ? 4 ，解得?x ? 5 ．
55
故選： D ．
? y ? 10
7
二、填空題（共 6 小題，每題 3 分，共 18 分）
11．（3 分）
7
的小數(shù)部分為
? 2 ．
【解答】解；? 4 ? 7 ? 9 ，
7
? 2 ?? 3 ，
7
7
7
?的小數(shù)部分為? 2 ，
故答案為
? 2 ．
12．（3 分）命題“同位角相等”是 假命題 ．（填“真命題”或“假命題” ) ．
【解答】解：根據(jù)平行線的性質(zhì)知：兩直線平行，同位角相等， 故原命題錯誤，是假命題，
故答案為：假命題．
13．（3 分）若不等式(a ? 3)x ? a ? 3 的解集是 x ? 1 ，則 a 的取值范圍是 a ? ?3 ．
【解答】解：?不等式(a ? 3)x ? a ? 3 的解集是 x ? 1 ，
? a ? 3 ? 0 ，
? a ? ?3 ，
故答案為： a ? ?3 ．
14．（3 分）如圖，已知直線 AB / /CD ， ?BEF 的平分線交CD 于點G ，若?1 ? 48? ，則?2 ? 24? ．
【解答】解：?直線 AB / /CD ， ?1 ? 48? ，
??BEF ? ?1 ? 48? ，
又??BEF 的平分線交CD 于點G ，
??2 ? 1 ?BEF ? 1 ? 48? ? 24? ．
22
故答案為： 24? ．
15．（3 分）如圖，在平面直角坐標系中， A(1, 0) ， B(0, ?2) ，將線段 AB 先向上平移 2 個單位長度，再向
右平移 3 個單位長度，得到線段 DC ，點 A 與點 D 為對應點．點 P 為 y 軸上一點，且 S
? 1 S，
則滿足要求點 P 的坐標為 (0,1) 或(0, ?1) ．
【解答】解：? A(1, 0) ， B(0, ?2) ，
?OA ? 1 ， OB ? 2 ，
又?將線段 AB 先向上平移 2 個單位長度，再向右平移 3 個單位長度，得到線段 DC ，
?點C(3, 0) ， D(4, 2) ，
?ACP
4 四邊形ABCD
? S四邊形ABCD
? 2S
?ABC
? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 ，
2
? S? 1 S，
?ACP4 四邊形ABCD
? S?ACP ? 1，
?點 P 在 y 軸上，
? 1 ? 2? | y |? 1 ， 2
? y ? ?1 ，
?點 P 的坐標為(0,1) 或(0, ?1) ， 故答案為： (0,1) 或(0, ?1) ．
16．（3 分）如圖，一個蒲公英種子從平面直角坐標系的原點O 出發(fā)，向正東走 3 米到達點 A1 ，再向正北方向走 6 米到達點 A2 ，再向正西方向走 9 米到達點 A3 ，再向正南方向走 12 米到達點 A4 ，再向正東方向走15 米到達點 A5 ，以此規(guī)律走下去，當種子到達點 A2023 時，它在坐標系中坐標為 (?3036, 3036) ．
【解答】解：根據(jù)題意可知： OA1 ? 3 ， A1 A2 ? 6 ， A2 A3 ? 9 ， A3 A4 ? 12 ， A4 A5 ? 15 ， A5 A6 ? 18 ，
點 A1 的坐標為(3, 0) ；
點 A2 的坐標為(3, 0 ? 6) ，即(3, 6) ；
點 A3 的坐標為(3 ? 9, 6) ，即(?6, 6) ；
點 A4 的坐標為(?6, 6 ? 12) ，即(?6, ?6) ； 點 A5 的坐標為(?6 ? 15, ?6) ，即(9, ?6) ；
依此類推，可得點 A6 的坐標為(9, ?6 ? 18) ，即(9,12) ．A7 (?12,12) ，A8 (?12, ?12) ，A9 (15, ?12) ，A10 (15,18)?? ；
歸納可得： A
(?3 ? 2023 ? 1,3 ? 2023 ? 1 ，
202322)
即 A2023 (?3036, 3036) ；
故答案為(?3036, 3036) ．
三、解答題（共 9 個小題，共 102 分）
1 ? 5
9
5
17．（8 分）計算：
25
3 ?8
（1）??
；（2） |
? 2 | ?(3 ? 7 5) ．
4
9
【解答】解：（1）原式 ? 5 ? 2 ?? 3 ? 2 ? 7 ；
33
5
5
5
（2）原式?? 2 ? 3 ? 7? 8? 5 ．
?
18．（10 分）（1）解方程組： ?2x ? y ? 8．
??
?3x2 y 11
（2）解不等式 x ? 2 ? 7 ? x ，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
23
?2x ? y ? 8①
【解答】解：（1） ?，
?3x ? 2 y ? 11②
由①得： y ? 2x ? 8 ③，
把③代入②得： 3x ? 2(2x ? 8) ? 11 ， 解得： x ? 5 ，
把 x ? 5 代入③得： y ? 2 ? 5 ? 8 ? 2 ，
?x ? 5
?
?原方程組的解： ? y ? 2 ；
（2） x ? 2 ? 7 ? x ，
23
3(x ? 2)?2(7 ? x) ，
3x ? 6?14 ? 2x ，
3x ? 2x?14 ? 6 ，
5x?20 ，
x?4 ，
?該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：
19．（10 分）如圖， ?1 ? ?D ， ?C ? 44? ，求?B 的度數(shù)．
【解答】解：? ?1 ? ?D ，
? AB / /CD ，
??B ? 180? ? ?C ? 180? ? 44? ? 136? ．
20．（10 分）如圖，有一個面積為 400cm2 的正方形．
正方形的邊長是多少？
若沿此正方形邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為 5: 4 ，且面積為
360cm2 ？若能，試求出剪出的長方形紙片的長與寬；若不能，試說明．
【解答】解：（1）?正方形的面積為 400cm2 ，
400
?正方形的邊長是? 20(cm) ；
（2）設長方形紙片的長為5xcm ，寬為 4xcm ， 則5x ? 4x ? 360 ，
2
解得： x ? 3
2
則5x ? 15
，
20 ，
所以沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，不能使剪出的長方形紙片的長寬之比為 5: 4 ，且面積為
360cm2 ．
21．（12 分）如圖所示，若 A(3, 4) ，按要求回答下列問題：
在圖中建立正確的平面直角坐標系．
將?ABC 向右平移 3 個單位，再向下平移 1 個單位得△ A1B1C1 ，在圖中畫出△ A1B1C1 ，并寫出 B1 點坐標．
求?ABC 的面積．
【解答】解：（1）如圖所示：
（2）如圖所示：
B1 點坐標為(3, ?1) ；
（3） ?ABC 的面積? 4 ? 4 ? 1 ? (3 ? 4 ? 1? 2 ? 2 ? 4) ? 5 ．
2
??? ?4xy 1 a
22．（12 分）已知關于 x 、 y 的方程組?x ? y ? 2a
?
的解還滿足 x ? y ? 1 ，求 a 的值．
?x ? y ? 2a①
?
【解答】解： ?4x ? y ? 1 ? a② ，
② ? ①，得 x ? a ? 1 ，
5
①?4 ? ②，得 y ? 1 ? 9a ，
5
? x ? y ? 1 ，
? a ? 1 ? 1 ? 9a ? 1 ，解得 a ? ? 3 ．
558
23．（12 分）某工廠接受了 20 天內(nèi)生產(chǎn) 1200 臺GH 型電子產(chǎn)品的總?cè)蝿眨阎颗_GH 型產(chǎn)品由 4 個G 型裝置和3 個 H 型裝置配套組成．工廠現(xiàn)有80 名工人，每個工人每天能加工6 個G 型裝置或3 個 H 型裝置．工廠將所有工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置，并要求每天加工的G 、H 型裝置數(shù)量正好全部配套組成GH 型產(chǎn)品．
按照這樣的生產(chǎn)方式，工廠每天能配套組成多少套GH 型電子產(chǎn)品？請列出二元一次方程組解答此問題．
為了在規(guī)定期限內(nèi)完成總?cè)蝿?，工廠決定補充一些新工人，這些新工人只能獨立進行G 型裝置的加工，且每人每天只能加工 4 個G 型裝置．設原來每天安排 x 名工人生產(chǎn)G 型裝置，后來補充 m 名新工人， 求 x 的值（用含 m 的代數(shù)式表示）．
【解答】解：（1）設有 x 名工人加工G 型裝置，則有(80 ? x) 名工人加工 H 型裝置，
根據(jù)題意， 6x ? 3(80 ? x) ，
43
解得 x ? 32 ，
則80 ? 32 ? 48 （套) ，
答：每天能組裝 48 套GH 型電子產(chǎn)品；
（2）設招聘 a 名新工人加工G 型裝置，仍設 x 名工人加工G 型裝置， (80 ? x) 名工人加工 H 型裝置， 根據(jù)題意， 6x ? 4a ? 3(80 ? x) ，

43
整理可得， x ? 160 ? 2a ，
5
另外，注意到80 ? x?1200 ，即 x?20 ，
20
于是160 ? 2a ?20 ，
5
解得： a?30 ，
答：至少應招聘 30 名新工人，
24．（14 分）如圖， AD / / BC ， ?BAD 的平分線交 BC 于點G ， ?BCD ? 90? ．
試說明： ?BAG ? ?BGA ；
如圖 1，點 F 在 AG 的反向延長線上，連接CF 交 AD 于點 E ，若?BAG ? ?F ? 45? ，求證：CF 平分
?BCD ．
如圖 2，線段 AG 上有點 P ，滿足?ABP ? 3?PBG ，過點C 作CH / / AG ．若在直線 AG 上取一點 M ，
使?PBM ? ?DCH ，求 ?ABM
?GBM
的值．
【解答】（1）證明：? AD / / BC ，
??GAD ? ?BGA ，
? AG 平分?BAD ，
??BAG ? ?GAD
??BAG ? ?BGA ；
解：??BGA ? ?F ? ?BCF ，
??BGA ? ?F ? ?BCF ，
??BAG ? ?BGA ，
???BAG ? ?F ? ?BCF ，
??BAG ? ?F ? 45? ，
??BCF ? 45? ，
??BCD ? 90? ，
?CF 平分?BCD ；
解：有兩種情況：
①當 M 在 BP 的下方時，如圖 5， 設?ABC ? 4x ，
??ABP ? 3?PBG ，
??ABP ? 3x ， ?PBG ? x ，
? AG / /CH ，
??BCH ? ?AGB ? 180? ? 4x ? 90? ? 2x ，
2
??BCD ? 90? ，
??DCH ? ?PBM ? 90? ? (90? ? 2x) ? 2x ，
??ABM ? ?ABP ? ?PBM ? 3x ? 2x ? 5x ，
?GBM ? 2x ? x ? x ，
??ABM : ?GBM ? 5x : x ? 5 ；
②當 M 在 BP 的上方時，如圖 6，
同理得： ?ABM ? ?ABP ? ?PBM ? 3x ? 2x ? x ，
?GBM ? 2x ? x ? 3x ，
??ABM : ?GBM ? x : 3x ? 1 ．
3
綜上， ?ABM
?GBM
的值是 5
或 1 ．
3

25．（14 分）如圖，在平面直角坐標系中，AB / /CD / / x 軸，BC / / DE / / y 軸，且 AB ? CD ? 5cm ，OA ? 7cm ，
DE ? 4cm ，動點 P 從點 A 出發(fā)，沿 ABC 路線向點C 運動；動點Q 從點O 出發(fā)，沿OED 路線向點 D 運動，
P ， Q 兩點同時出發(fā)，其中一點到達終點時，運動停止，連接 PO ， PQ ，其中 PQ 不垂直于 x 軸．
直接寫出 B ， D 兩點的坐標；
點 P ， Q 開始運動后， ?AOP ， ?OPQ ， ?PQE 三者之間存在何種數(shù)量關系，請說明理由；
若動點 P ， Q 分別以每秒1cm 和每秒2cm 的速度運動，則運動時間為多少秒時，三角形OPQ 的面積為 25cm2 ．
【解答】解：（1）? AB / /CD / / x 軸， BC / / DE / / y 軸，且 AB ? CD ? 5cm ， OA ? 7cm ， DE ? 4cm ，
? B(5, 7) ， C(5, 4) ， AB ? CD ? 10(cm) ，
? D(10, 4) ；
?PQE ? ?AOP ? ?OPQ ? 90? 或?PQE ? ?OPQ ? ?AOP ? 180? ，理由如下： 分情況討論：①當點 P 在 AB 上， Q 在OE 上時，如圖 1 所示：
? AB / /CD / / x 軸，
??PQE ? ?APQ ? ?APO ? ?OPQ ? 90? ? ?AOP ? ?OPQ ，
??PQE ? ?AOP ? ?OPQ ? 90? ；
②當點 P 在 BC 上， Q 在OE 上時，如圖 2 所示：
過 P 作 PM / /OE ，則 PM / / AB ，
??PQE ? ?MPQ ? ?MPO ? ?OPQ ? 90? ? ?AOP ? ?OPQ ，
??PQE ? ?AOP ? ?OPQ ? 90? ；
③當點 P 在 AB 上， Q 在 DE 上時，如圖 3 所示：
過Q 作QN / /OE ，則QN ? DE ， QN / / AB ，
??PQN ? ?BPQ ，
??PQE ? 90? ? PQN ? 90? ? ?BPQ ? 90? ? 180? ? ?APO ? ?OPQ ? 270? ? (90? ? ?AOP) ? ?OPQ ? 180? ? ?AOP ? ?OPQ ，
??PQE ? ?OPQ ? ?AOP ? 180? ；
④當點 P 在 BC 上， Q 在 DE 上時，如圖 4 所示：
? BC / / DE / / y 軸，
??AOP ? ?BPO ? 180? ， ?PQE ? ?BPQ ，
??BPO ? 180? ? ?AOP ，
??PQE ? ?BPQ ? 360? ? ?BPO ? ?OPQ ? 360? ? (180? ? ?AOP) ? ?OPQ ? 180? ? ?AOP ? ?OPQ ，
??PQE ? ?OPQ ? ?AOP ? 180? ；
綜上所述， ?AOP ， ?OPQ ， ?PQE 三者之間存在的數(shù)量關系為 ?PQE ? ?AOP ? ?OPQ ? 90? 或
?PQE ? ?OPQ ? ?AOP ? 180? ；
設點 P 、Q 的運動時間為t 秒，分兩種情況：
① 0 ? t ? 5 時，點 P 在 AB 上， Q 在OE 上，如圖 1 所示：
則OQ ? 2t cm ，
由題意得： ?OPQ 的面積? 1 ? 2t ? 7 ? 25 ，
2
解得： t ? 25 ；
7
② 5?t?7 時，點 P 在 BC 上， Q 在 DE 上，
過 P 作OE 的平行線交 ED 的延長線于G ，如圖 5 所示：
則 BP ? (t ? 5)cm ， QE ? (2t ? 10)cm ，
?OA ? 7cm ， DE ? 4cm ，
?GE ? OA ? BP ? 7 ? (t ? 5) ? (12 ? t)cm ，
?GQ ? GE ? QE ? 12 ? t ? (2t ? 10) ? (22 ? 3t)cm ，
??OPQ 的面積? 梯形 POEG 的面積??OEQ 的面積??PQG 的面積? 25 ，
? 1 ? (5 ? 10) ? (12 ? t) ? 1 ?10 ? (2t ? 10) ? 1 ? 5 ? (22 ? 3t) ? 25 ，
222
解得： t ? 6 ；
綜上所述，運動時間為 25 秒或 6 秒時，三角形OPQ 的面積為25cm2 ．
7

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