1．（3 分）下列四個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是()
A． B． C． D．
2．（3 分）下面四組線段中，成比例的是()
A． a ? 1 ， b ? 2 ， c ? 2 ， d ? 4
B． a ? 2 ， b ? 3 ， c ? 4 ， d ? 5
C． a ? 4 ， b ? 6 ， c ? 8 ， d ? 10
D． a ?
2,b ?
3, c ? 3, d ?
3
3．（3 分）下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為()
①連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，兩次都出現(xiàn) 2 點(diǎn)向上；②13 個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同；③ 某人買彩票中獎(jiǎng)；④任意買一張電影票，座位號(hào)是 2 的倍數(shù)．
A．1 個(gè)B．2 個(gè)C．3 個(gè)D．4 個(gè)
4．（3 分）已知?O 的半徑為 6， A 為線段 PO 的中點(diǎn)，當(dāng)OP ? 12 時(shí)，點(diǎn) A 與?O 的位置關(guān)系為()
A．點(diǎn) A 在?O 上B．點(diǎn) A 在?O 外
C．點(diǎn) A 在?O 內(nèi)D．點(diǎn) A 與?O 位置不確定
5．（3 分）如圖，?O 的直徑CD 垂直弦 AB 于點(diǎn) E ，且CE ? 4 ，OB ? 8 ，則 AB 的長(zhǎng)為()
3
3
A． 4B．4C．6D． 8
6．（3 分）若 A(?4, y ) ，B(?3, y ) ，C(1, y ) 為二次函數(shù) y ? x2 ? 4x ?1的圖象上的三點(diǎn)，則 y ，
1231
y2 ， y3 的大小關(guān)系是()
y1 ? y2 ? y3
y2 ? y1 ? y3
y3 ? y1 ? y2
y1 ? y3 ? y2
7．（3 分）根據(jù)下列表格對(duì)應(yīng)值：
判斷關(guān)于 x 的方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的一個(gè)解 x 的范圍是()
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
ax2 ? bx ? c
?0.12
?0.03
?0.01
0.06
0.18
A． 2.1 ? x ? 2.2
B． 2.2 ? x ? 2.3
C． 2.3 ? x ? 2.4
D． 2.4 ? x ? 2.5
8．（3 分）如圖，正比例函數(shù) y ? k x 與反比例函數(shù) y ? k2 的圖象相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，其中
112x
點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 1．當(dāng) y1 ? y2 時(shí)， x 的取值范圍是()
A． x ? ?1 或 x ? 1
C． ?1 ? x ? 0 或0 ? x ? 1
B． ?1 ? x ? 0 或 x ? 1
D． x ? ?1 或0 ? x ? 1
9．（3 分）如圖，在鈍角三角形 ABC 中， AB ? 6cm ， AC ? 12cm ，動(dòng)點(diǎn) D 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AB以1cm / s 的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) E 從點(diǎn) C 出發(fā)沿CA 以 2cm / s 的速度向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)以 A ， D ， E 為頂點(diǎn)的三角形與?ABC 相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是( )
A． 3s 或 4.8sB． 3sC． 4.5sD． 4.5s 或 4.8s
10．（3 分）如圖，F(xiàn) 為正方形 ABCD 的邊CD 上一動(dòng)點(diǎn)，AB ? 2 ，連接 BF ，過(guò) A 作 AH ? BF
交 BC 于 H ，交 BF 于G ，連接CG ，當(dāng)CG 為最小值時(shí)， CH 的長(zhǎng)為()
2
2 2
5
B．
C． 3 ?D． 3 ?
5
5
二、選擇題（每小題 3 分，共 6 小題，滿分 18 分）
11．（3 分）若關(guān)于 x 的一元二次方程 kx2 ? 4x ? 1 ? 0 有實(shí)數(shù)根，則 k 的取值范圍是 ．
12．（3 分）函數(shù) y ? (m ?1)x|m|?2 是反比例函數(shù)，則 m 的值為 ．
13．（3 分）如圖所示，四邊形 ABCD 內(nèi)接于?O ， E 為 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， ?AOC ? 100? ，則?CBE ?．
14．（3 分）如圖所示，將?ABC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) n 度到?ADE 的位置， D 在 BC 邊上，若
?B ? 60? ，則 n ?度．
15．（3 分）飛機(jī)著陸后滑行的距離 s （單位： m) 關(guān)于滑行的時(shí)間t （單位： s) 的函數(shù)解析式是 s ? 60t ? 1.5t 2 ，飛機(jī)著陸后滑行米才能停下來(lái)．
16．（3 分）拋物線 y ? ax2 ? bx ? c 的對(duì)稱軸是直線 x ? ?1 ，且過(guò)點(diǎn)(1, 0) ．頂點(diǎn)位于第二象限，其部分圖象如圖所示，給出以下判斷：① ab ? 0 且c ? 0 ；② 4a ? 2b ? c ? 0 ；③ 8a ? c ? 0 ；
④ c ? 3a ? 3b ；⑤直線 y ? 2x ? 2 與拋物線 y ? ax2 ? bx ? c 兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x ， x ，
12
則 x1 ? x2 ? x1 x2 ? ?5 ．其中結(jié)論正確的是．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 102 分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（8 分）解方程： x2 ? 2x ．
18．（8 分）如圖，點(diǎn)C 、D 在線段 AB 上，?PCD 是等邊三角形，且?ACP∽?PDB ，求?APB
的度數(shù)．
19．（10 分）如圖，點(diǎn)O ， B 的坐標(biāo)分別是(0, 0) ， (3, 0) ．將?OAB 繞點(diǎn)O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? ，得到△ OA1B1 ．
畫出平面直角坐標(biāo)系和三角形△ OA1B1 ；
求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn) B 走過(guò)的路徑的長(zhǎng)．
20．（10 分）二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo) x ，縱坐標(biāo) y 的對(duì)應(yīng)值如表：
求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
在圖中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；
當(dāng)函數(shù)值 y ? 0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的 x 的取值范圍是．
x
?
?4
?3
?2
?1
0
1
2
?
y
?
5
0
?3
?4
?3
0
5
?
步數(shù)
頻數(shù)
頻率
0?x ? 4000
8
0.16
4000?x ? 8000
15
0.3
8000?x ? 12000
12
a
12000?x ? 16000
b
0.2
16000?x ? 20000
3
0.06
20000?x ? 24000
2
0.04
21．（12 分）隨著“微信運(yùn)動(dòng)”被越來(lái)越多的人關(guān)注和喜愛，某數(shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)調(diào)查了我區(qū) 50 名教師某日“微信運(yùn)動(dòng)”中的步數(shù)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理，繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）:
請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
寫出 a ， b 的值并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
我市約有 5000 名教師，用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)日行走步數(shù)超過(guò) 12000 步（包含 12000
步）的教師有多少名？
若在 50 名被調(diào)查的教師中，選取日行走步數(shù)超過(guò) 16000 步（包含 16000 步）的兩名教
師與大家分享心得，用樹形圖或列表法求被選取的兩名教師恰好都在 20000 步（包含 20000
步）以上的概率．
22．（12 分）疫情肆虐，萬(wàn)眾一心．由于醫(yī)療物資極度匱乏，許多工廠都積極宣布生產(chǎn)醫(yī)療物資以應(yīng)對(duì)疫情．某工廠及時(shí)引進(jìn)了 1 條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，開工第一天生產(chǎn) 300 萬(wàn)個(gè)，
第三天生產(chǎn) 432 萬(wàn)個(gè)，若每天生產(chǎn)口罩的個(gè)數(shù)增長(zhǎng)的百分率相同，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
每天增長(zhǎng)的百分率是多少？
經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是 900 萬(wàn)個(gè)/ 天，如果每增加 1 條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少 30 萬(wàn)個(gè)/ 天．現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩 3900 萬(wàn)個(gè)，在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？
23．（12 分）如圖，一次函數(shù) y ? ?x ? b 與反比例函數(shù) y ? ? k (x ? 0) 的圖象交于點(diǎn) A(m, 4) 和
x
B(4,1) ．
求b 、 k 、 m 的值；
根據(jù)圖象直接寫出?x ? b ? ? k (x ? 0) 的解集；
x
點(diǎn) P 是線段 AB 上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PD ? x 軸于點(diǎn) D ，連接OP ，若?POD 的面積為 S ，求 S 的最大值和最小值．
24．（15 分）如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于?O ，AC 為直徑，AC 和 BD 交于點(diǎn) E ，AB ? BC ．
求?ADB 的度數(shù)；
過(guò) B 作 AD 的平行線，交 AC 于 F ，試判斷線段 EA ， CF ， EF 之間滿足的等量關(guān)系， 并說(shuō)明理由；
在（2）條件下過(guò) E ， F 分別作 AB ， BC 的垂線，垂足分別為G ， H ，連接GH ，交
BO 于 M ，若 AG ? 3 ， S四邊形AGMO : S四邊形CHMO ? 8 : 9 ，求?O 的半徑．
25．（15 分）已知拋物線 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 與 x 軸交于 A(?1, 0) 、 B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn)
C(0, ?3a) ．
求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；
若 a ? 1 ， 點(diǎn) M 和點(diǎn) N 在拋物線上，且 M 的橫坐標(biāo)為 4， 點(diǎn) N 在第二象限，若
2
?AMN ? 2?OAM ，求點(diǎn) N 的坐標(biāo)；
（3）P 是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線 PA 、PB 分別交 y 軸于點(diǎn) M 、N ，判斷CM 與CN 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
2021-2022 學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)鐵一中學(xué)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題 3 分，共 10 小題，滿分 30 分）
1．（3 分）下列四個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是()
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各圖形分析判斷即可得解．
【解答】解： A 、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B 、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意； C 、該圖形是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意； D 、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意； 故選： C ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn) 180 度后與原圖形重合．
2．（3 分）下面四組線段中，成比例的是()
A． a ? 1 ， b ? 2 ， c ? 2 ， d ? 4
B． a ? 2 ， b ? 3 ， c ? 4 ， d ? 5
C． a ? 4 ， b ? 6 ， c ? 8 ， d ? 10
D． a ?
2,b ?
3, c ? 3, d ?
3
【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對(duì) 選項(xiàng)一一分析，排除錯(cuò)誤答案．
【解答】解： A 、1? 4 ? 2 ? 2 ，故選項(xiàng)符合題意；
B 、 2 ? 5 ? 3 ? 4 ，故選項(xiàng)不符合題意；
C 、 4 ?10 ? 6 ? 8 ，故選項(xiàng)不符合題意；
3
C 、 2 ? 3 ? 3 ?，故選項(xiàng)不符合題意；
故選： A ．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時(shí)候，最小的和最大 的相乘，另外兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等．同時(shí)注意單位要統(tǒng)一．
3．（3 分）下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為()
①連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，兩次都出現(xiàn) 2 點(diǎn)向上；②13 個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同；③ 某人買彩票中獎(jiǎng)；④任意買一張電影票，座位號(hào)是 2 的倍數(shù)．
個(gè)B．2 個(gè)C．3 個(gè)D．4 個(gè)
【分析】事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件 稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．
【解答】解：①連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，兩次都出現(xiàn) 2 點(diǎn)向上，是隨機(jī)事件；
②13 個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同，是必然事件；
③某人買彩票中獎(jiǎng)，是隨機(jī)事件；
④任意買一張電影票，座位號(hào)是 2 的倍數(shù)，是隨機(jī)事件． 故選： C ．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了隨機(jī)事件，在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨 機(jī)事件．
4．（3 分）已知?O 的半徑為 6， A 為線段 PO 的中點(diǎn)，當(dāng)OP ? 12 時(shí)，點(diǎn) A 與?O 的位置關(guān)
系為()
A．點(diǎn) A 在?O 上B．點(diǎn) A 在?O 外
C．點(diǎn) A 在?O 內(nèi)D．點(diǎn) A 與?O 位置不確定
【分析】利用OP ? 12 ， A 為線段 PO 的中點(diǎn)，則OA ? 6 ，因而點(diǎn) A 在?O 上．
【解答】解：? A 為線段 PO 的中點(diǎn)， OP ? 12 ，
?OA ? 1 OP ? 6 ，
2
?OA 與圓的半徑相等，
?點(diǎn) A 在?O 上． 故選： A ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為 d ，則當(dāng) d ? R 時(shí)， 點(diǎn)在圓上；當(dāng) d ? R 時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng) d ? R 時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．
5．（3 分）如圖，?O 的直徑CD 垂直弦 AB 于點(diǎn) E ，且CE ? 4 ，OB ? 8 ，則 AB 的長(zhǎng)為()
3
3
A． 4B．4C．6D． 8
【分析】根據(jù)勾股定理求出 BE ，再根據(jù)垂徑定理解答即可．
【解答】解：?OC ? OB ? 8 ， CE ? 4 ，
82 ? 42
3
?OE ? OC ? CE ? 8 ? 4 ? 4 ，
OB2 ? OE2
在Rt?OBE 中， BE ?
?CD ? AB ，
?? 4，
3
? AB ? 2BE ? 8，
故選： D ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關(guān)鍵．
6．（3 分）若 A(?4, y ) ，B(?3, y ) ，C(1, y ) 為二次函數(shù) y ? x2 ? 4x ?1的圖象上的三點(diǎn)，則 y ，
1231
y2 ， y3 的大小關(guān)系是()
y1 ? y2 ? y3
y2 ? y1 ? y3
y3 ? y1 ? y2
y1 ? y3 ? y2
【分析】分別計(jì)算出自變量為?4 ， ?3 和 1 所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值的大小即可．
【解答】解：?當(dāng) x ? ?4 時(shí)， y1 ? x ? 4x ?1 ? 16 ?16 ?1 ? ?1；
2
2
當(dāng) x ? ?3 時(shí)， y ? x2 ? 4x ?1 ? 9 ?12 ?1 ? ?4 ；
當(dāng) x ? 1 時(shí)， y3 ? x ? 4x ?1 ? 1 ? 4 ?1 ? 4 ；
2
? y2 ? y1 ? y3 ， 故選： B ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．
7．（3 分）根據(jù)下列表格對(duì)應(yīng)值：
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
判斷關(guān)于 x 的方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的一個(gè)解 x 的范圍是()
ax2 ? bx ? c
?0.12
?0.03
?0.01
0.06
0.18
A． 2.1 ? x ? 2.2
B． 2.2 ? x ? 2.3
C． 2.3 ? x ? 2.4
D． 2.4 ? x ? 2.5
【分析】從表格中的數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng) x ? 2.3 時(shí)， y ? ?0.01 ；當(dāng) x ? 2.4 時(shí)， y ? 0.06 ，函
數(shù)值由負(fù)數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，此過(guò)程中存在方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的一個(gè)根．
【解答】解：?當(dāng) x ? 2.3 時(shí)， y ? ?0.01 ；當(dāng) x ? 2.4 時(shí)， y ? 0.06 ，
?關(guān)于 x 的方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的一個(gè)解 x 的范圍是 2.3 ? x ? 2.4 ， 故選： C ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算一元二次方程的近似值，對(duì)題目的正確估算是建立在對(duì)二次函數(shù)圖 象和一元二次方程關(guān)系正確理解的基礎(chǔ)上的．
8．（3 分）如圖，正比例函數(shù) y ? k x 與反比例函數(shù) y ? k2 的圖象相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，其中
112x
點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 1．當(dāng) y1 ? y2 時(shí)， x 的取值范圍是()
A． x ? ?1 或 x ? 1
C． ?1 ? x ? 0 或0 ? x ? 1
B． ?1 ? x ? 0 或 x ? 1
D． x ? ?1 或0 ? x ? 1
【分析】直接利用正比例函數(shù)的性質(zhì)得出 B 點(diǎn)橫坐標(biāo)，再利用函數(shù)圖象得出 x 的取值范圍．
【解答】解：?正比例函 y ? k x 與反比例函數(shù) y ? k2 的圖象相交于 A 、B 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A
112x
的橫坐標(biāo)為 1．
? B 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為： ?1 ，
故當(dāng) y1 ? y2 時(shí)， x 的取值范圍是： x ? ?1 或0 ? x ? 1．
故選： D ．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，正確得出 B 點(diǎn)橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
9．（3 分）如圖，在鈍角三角形 ABC 中， AB ? 6cm ， AC ? 12cm ，動(dòng)點(diǎn) D 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AB以1cm / s 的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) E 從點(diǎn) C 出發(fā)沿CA 以 2cm / s 的速度向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)以 A ， D ， E 為頂點(diǎn)的三角形與?ABC 相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是( )
A． 3s 或 4.8sB． 3sC． 4.5sD． 4.5s 或 4.8s
【分析】如果以點(diǎn) A 、 D 、 E 為頂點(diǎn)的三角形與?ABC 相似，由于 A 與 A 對(duì)應(yīng)，那么分兩種情況：① D 與 B 對(duì)應(yīng)；② D 與C 對(duì)應(yīng)．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別作答．
【解答】解：如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t 秒時(shí)，以點(diǎn) A 、D 、 E 為頂點(diǎn)的三角形與?ABC
相似，
則 AD ? t(cm) ， CE ? 2t(cm) ， AE ? AC ? CE ? (12 ? 2t )(cm) ，
①當(dāng) D 與 B 對(duì)應(yīng)時(shí)，有?ADE∽?ABC ，
? AD : AB ? AE : AC ，
?t : 6 ? (12 ? 2t) :12 ，
?t ? 3 ；
②當(dāng) D 與C 對(duì)應(yīng)時(shí)，有?ADE∽?ACB ，
? AD : AC ? AE : AB ，
?t :12 ? (12 ? 2t) : 6 ，
?t ? 4.8 ，
?當(dāng)以點(diǎn) A 、 D 、 E 為頂點(diǎn)的三角形與?ABC 相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是 3 秒或 4.8 秒， 故選： A ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵． 10．（3 分）如圖，F(xiàn) 為正方形 ABCD 的邊CD 上一動(dòng)點(diǎn)，AB ? 2 ，連接 BF ，過(guò) A 作 AH ? BF交 BC 于 H ，交 BF 于G ，連接CG ，當(dāng)CG 為最小值時(shí)， CH 的長(zhǎng)為()
2
A．B．
C． 3 ?D． 3 ?
2 2
5
5
5
【分析】如圖 1 中，取 AB 的中點(diǎn)O ，連接OG ，OC ．首先證明O ，G ，C 共線時(shí)，CG 的值最?。ㄈ鐖D 2 中），證明CF ? CG ? BH 即可解決問(wèn)題（圖 2 中）．
【解答】解：如圖 1 中，取 AB 的中點(diǎn)O ，連接OG ， OC ．
?四邊形 ABCD 是正方形，
??ABC ? 90? ，
? AB ? 2 ，
?OB ? OA ? 1 ，
OB2 ? BC2
12 ? 22
5
?OC ???，
? AH ? BF ，
??AGB ? 90? ，
? AO ? OB ，
?OG ? 1 AB ? 1 ，
2
?CG?OC ? OG ，
5
?當(dāng)O ， G ， C 共線時(shí)， CG 的值最小，最小值?? 1 （如圖 2 中），
? OB ? OG ? 1 ，
??OBG ? ?OGB ，
? AB / /CD ，
??OBG ? ?CFG ，
??OGB ? ?CGF ，
??CGF ? ?CFG ，
5
?CF ? CG ?? 1 ，
??ABH ? ?BCF ? ?AGB ? 90? ，
??BAH ? ?ABG ? 90? ， ?ABG ? ?CBF ? 90? ，
??BAH ? ?CBF ，
? AB ? BC ，
??ABH ? ?BCF (ASA) ，
5
? BH ? CF ?? 1 ，
5
?CH ? BC ? BH ? 2 ? ( 5 ? 1) ? 3 ?， 故選： C ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，
等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決 問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
二、選擇題（每小題 3 分，共 6 小題，滿分 18 分）
11．（3 分）若關(guān)于 x 的一元二次方程 kx2 ? 4x ? 1 ? 0 有實(shí)數(shù)根，則 k 的取值范圍是 k?? 4
且 k ? 0 ．
【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式△ ?0 ，即可得出關(guān)于 k 的一元一次不等式組， 解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：?關(guān)于 x 的一元二次方程 kx2 ? 4x ? 1 ? 0 有實(shí)數(shù)根，
? k ? 0 且△ ? 42 ? 4k?0 ，
解得： k?? 4 且 k ? 0 ．
故答案為： k?? 4 且 k ? 0 ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，牢記“當(dāng)△?0 時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
12．（3 分）函數(shù) y ? (m ?1)x|m|?2 是反比例函數(shù)，則 m 的值為 ?1 ．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義．即 y ? k (k ? 0) ，只需令|m|?2 ? ?1 ， m ? 1 ? 0 即可．
x
【解答】解：由題意得： |m|?2 ? ?1 且， m ? 1 ? 0 ； 解得 m ? ?1 ，又 m ? 1 ；
? m ? ?1 ． 故填 m ? ?1 ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點(diǎn)是將一般式 y ? k (k ? 0) 轉(zhuǎn)化為 y ? kx?1(k ? 0)
x
的形式．
13．（3 分）如圖所示，四邊形 ABCD 內(nèi)接于?O ， E 為 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， ?AOC ? 100? ，則?CBE ? 50? ．
【分析】根據(jù)圓周角定理求出?ADC ，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出?ABC ，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念計(jì)算，得到答案．
【解答】解：??AOC ? 100? ，
??ADC ? 1 ?AOC ? 50? ，
2
?四邊形 ABCD 內(nèi)接于?O ，
??ABC ? 180? ? ?ADC ? 180? ? 50? ? 130? ，
??CBE ? 180? ? 130? ? 50? ， 故答案為： 50? ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是 解題的關(guān)鍵．
14．（3 分）如圖所示，將?ABC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) n 度到?ADE 的位置， D 在 BC 邊上，若
?B ? 60? ，則 n ? 60度．
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AB ? AD ，可證?ABD 是等邊三角形，從而得出 n ? 60? ．
【解答】解：?將?ABC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) n 度到?ADE 的位置，
? AB ? AD ，
??B ? 60? ，
??ABD 是等邊三角形，
??BAD ? 60? ，
? n ? 60? ，
故答案為：60．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后 對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
15．（3 分）飛機(jī)著陸后滑行的距離 s （單位： m) 關(guān)于滑行的時(shí)間t （單位： s) 的函數(shù)解析
式是 s ? 60t ? 1.5t 2 ，飛機(jī)著陸后滑行 600米才能停下來(lái)．
【分析】將函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式求出 s 的最大值即可得．
【解答】解：? s ? ? 3 t 2 ? 60t ? ? 3 (t ? 20)2 ? 600 ，
22
?當(dāng)t ? 20 時(shí)， s 取得最大值 600，即飛機(jī)著陸后滑行 600 米才能停下來(lái)， 故答案為：600．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意得出飛機(jī)滑行的距離即為 s 的最大值是解題的關(guān)鍵．
16．（3 分）拋物線 y ? ax2 ? bx ? c 的對(duì)稱軸是直線 x ? ?1 ，且過(guò)點(diǎn)(1, 0) ．頂點(diǎn)位于第二象限，其部分圖象如圖所示，給出以下判斷：① ab ? 0 且c ? 0 ；② 4a ? 2b ? c ? 0 ；③ 8a ? c ? 0 ；
④ c ? 3a ? 3b ；⑤直線 y ? 2x ? 2 與拋物線 y ? ax2 ? bx ? c 兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x ， x ，
12
則 x1 ? x2 ? x1 x2 ? ?5 ．其中結(jié)論正確的是 ②④⑤ ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可．
【解答】解：?拋物線對(duì)稱軸 x ? ?1 ，經(jīng)過(guò)(1, 0) ，
?? b
2a
? ?1 ， a ? b ? c ? 0 ，
?b ? 2a ， c ? ?3a ，
? a ? 0 ，
?b ? 0 ， c ? 0 ，
? ab ? 0 且c ? 0 ，故①錯(cuò)誤，
?拋物線對(duì)稱軸 x ? ?1 ，經(jīng)過(guò)(1, 0) ，
?(?2, 0) 和(0, 0) 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
? x ? ?2 時(shí)， y ? 0 ，
? 4a ? 2b ? c ? 0 ，故②正確，
?拋物線與 x 軸交于(?3, 0) ，
? x ? ?4 時(shí)， y ? 0 ，
?16a ? 4b ? c ? 0 ，
? b ? 2a ，
?16a ? 8a ? c ? 0 ，即8a ? c ? 0 ，故③錯(cuò)誤，
? c ? ?3a ? 3a ? 6a ， b ? 2a ，
?c ? 3a ? 3b ，故④正確，
?直線 y ? 2x ? 2 與拋物線 y ? ax2 ? bx ? c 兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x ， x ，
12
?方程 ax2 ? (b ? 2)x ? c ? 2 ? 0 的兩個(gè)根分別為 x ， x ，
? x ? x
? ? b ? 2 ， x ? x
12
? c ? 2 ，
12a12a
? x ? x ? x x
? ? b ? 2 ? c ? 2 ? ? 2a ? 2 ? ?3a ? 2 ? ?5 ，故⑤正確，

121 2
aaaa
故答案為②④⑤．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，解題的關(guān)鍵是靈活 運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 102 分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（8 分）解方程： x2 ? 2x ．
【分析】原方程有公因式 x ，先提取公因式，然后再分解因式求解．
【解答】解：? x2 ? 2x ，
? x2 ? 2x ? 0 ，
? x(x ? 2) ? 0 ，
? x ? 0 或 x ? 2 ? 0 ，
? x1 ? 0 ， x2 ? 2 ．
【點(diǎn)評(píng)】考查了解一元二次方程 ? 因式分解法，只有當(dāng)方程的一邊能夠分解成兩個(gè)一次因式， 而另一邊是 0 的時(shí)候，才能應(yīng)用因式分解法解一元二次方程．分解因式時(shí)，要根據(jù)情況靈活運(yùn)用學(xué)過(guò)的因式分解的幾種方法．
18．（8 分）如圖，點(diǎn)C 、D 在線段 AB 上，?PCD 是等邊三角形，且?ACP∽?PDB ，求?APB
的度數(shù)．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到 ?PCD ? 60? ， 根據(jù)相似三角形的判定定理證明
?ACP∽?ABP ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到答案．
【解答】解：??PCD 是等邊三角形，
??PCD ? 60? ，
??ACP ? 120? ，
??ACP∽?PDB ，
??APC ? ?B ，又?A ? ?A ，
??ACP∽?ABP ，
??APB ? ?ACP ? 120? ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)
鍵．
19．（10 分）如圖，點(diǎn)O ， B 的坐標(biāo)分別是(0, 0) ， (3, 0) ．將?OAB 繞點(diǎn)O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? ，得到△ OA1B1 ．
畫出平面直角坐標(biāo)系和三角形△ OA1B1 ；
求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn) B 走過(guò)的路徑的長(zhǎng)．
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出 A ， B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A1 ， B1 即可；
（2）利用弧長(zhǎng)公式求解即可．
【解答】解：（1）如圖，三角形△ OA1B1 即為所求；
（2）? OB ? 3 ，
?點(diǎn) B 走過(guò)的路徑的長(zhǎng)? 90?? 3 ? 3? ．
1802
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖? 旋轉(zhuǎn)變換，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)， 記住弧長(zhǎng)公式l ? n?r ．
180
20．（10 分）二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo) x ，縱坐標(biāo) y 的對(duì)應(yīng)值如表：
求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
在圖中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；
x
?
?4
?3
?2
?1
0
1
2
?
y
?
5
0
?3
?4
?3
0
5
?
當(dāng)函數(shù)值 y ? 0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的 x 的取值范圍是?3 ? x ? 1 ．
【分析】（1）利用表中數(shù)據(jù)和拋物線的對(duì)稱性可得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1, ?4) ，則可設(shè)頂點(diǎn)式 y ? a(x ? 1)2 ? 4 ，然后把點(diǎn)(0, 3) 代入求出 a 即可；
利用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象；
觀察函數(shù)圖象即可求解．
【解答】解：（1）由題意可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (?1, ?4) ，設(shè)二次函數(shù)的解析式為： y ? a(x ? 1)2 ? 4 ，
把點(diǎn)(0, ?3) 代入 y ? a(x ? 1)2 ? 4 得 a ? 1 ，
?拋物線解析式為 y ? (x ? 1)2 ? 4 ；
如圖所示：
觀察函數(shù)圖象知， y ? 0 時(shí)， x 的取值范圍是?3 ? x ? 1 ， 故答案為： ?3 ? x ? 1 ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系
式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．?dāng)?shù)形結(jié)合
是解題的關(guān)鍵．
步數(shù)
頻數(shù)
頻率
0?x ? 4000
8
0.16
4000?x ? 8000
15
0.3
8000?x ? 12000
12
a
12000?x ? 16000
b
0.2
16000?x ? 20000
3
0.06
20000?x ? 24000
2
0.04
21．（12 分）隨著“微信運(yùn)動(dòng)”被越來(lái)越多的人關(guān)注和喜愛，某數(shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)調(diào)查了我區(qū) 50 名教師某日“微信運(yùn)動(dòng)”中的步數(shù)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理，繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）:
請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
寫出 a ， b 的值并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
我市約有 5000 名教師，用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)日行走步數(shù)超過(guò) 12000 步（包含 12000
步）的教師有多少名？
若在 50 名被調(diào)查的教師中，選取日行走步數(shù)超過(guò) 16000 步（包含 16000 步）的兩名教
師與大家分享心得，用樹形圖或列表法求被選取的兩名教師恰好都在 20000 步（包含 20000
步）以上的概率．
【分析】（1）根據(jù)頻率 ? 頻數(shù)? 總數(shù)可得 a 、b 的值；
用總?cè)藬?shù)乘以樣本中第 4、5、6 組的頻率之和即可得；
步數(shù)超過(guò) 16000 步（包含 16000 步）的三名教師用 A 、 B 、C 表示，步數(shù)超過(guò) 20000
步（包含 20000 步）的兩名教師用 a 、b 表示，畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計(jì)算可得．
【解答】解：（1） a ? 12 ? 50 ? 0.24 ， b ? 50 ? 0.2 ? 10 ，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：
（2） 5000 ? (0.2 ? 0.06 ? 0.04) ? 1500 ，
答：估計(jì)日行走步數(shù)超過(guò) 12000 步（包含 12000 步）的教師有 1500 名；
（3）步數(shù)超過(guò) 16000 步（包含 16000 步）的三名教師用 A 、 B 、C 表示，步數(shù)超過(guò) 20000
步（包含 20000 步）的兩名教師用 a 、b 表示， 畫樹狀圖為：
共有 20 種等可能的結(jié)果數(shù)，其中被選取的兩名教師恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以
上的結(jié)果數(shù)為 2，
所以被選取的兩名教師恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的概率?
2 ? 1 ．
2010
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出 n ， 再?gòu)闹羞x出符合事件 A 或 B 的結(jié)果數(shù)目 m ，然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件 A 或事件 B 的概 率．也考查了統(tǒng)計(jì)圖．
22．（12 分）疫情肆虐，萬(wàn)眾一心．由于醫(yī)療物資極度匱乏，許多工廠都積極宣布生產(chǎn)醫(yī)療物資以應(yīng)對(duì)疫情．某工廠及時(shí)引進(jìn)了 1 條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，開工第一天生產(chǎn) 300 萬(wàn)個(gè)，
第三天生產(chǎn) 432 萬(wàn)個(gè)，若每天生產(chǎn)口罩的個(gè)數(shù)增長(zhǎng)的百分率相同，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
每天增長(zhǎng)的百分率是多少？
經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是 900 萬(wàn)個(gè)/ 天，如果每增加 1 條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少 30 萬(wàn)個(gè)/ 天．現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩 3900 萬(wàn)個(gè)，在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？
【分析】（1）設(shè)每天增長(zhǎng)的百分率是 x ，利用第三天的產(chǎn)量? 第一天的產(chǎn)量?(1 ? 每天增長(zhǎng)
的百分率） 2 ，即可得出關(guān)于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)應(yīng)該增加 y 條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為(900 ? 30 y) 萬(wàn)個(gè)/ 天，根據(jù)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩 3900 萬(wàn)個(gè)，即可得出關(guān)于 y 的一元二次方程，解之即可得出 y 值，再結(jié)合要節(jié)省投入，即可得出應(yīng)該增加 4 條生產(chǎn)線．
【解答】解：（1）設(shè)每天增長(zhǎng)的百分率是 x ，依題意得： 300(1 ? x)2 ? 432 ，
解得： x1 ? 0.2 ? 20% ， x2 ? ?2.2 （不合題意，舍去）．
答：每天增長(zhǎng)的百分率是 20% ．
（2）設(shè)應(yīng)該增加 y 條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為(900 ? 30 y) 萬(wàn)個(gè)/ 天， 依題意得： (900 ? 30 y)(1 ? y) ? 3900 ，
整理得： y2 ? 29 y ? 100 ? 0 ， 解得： y1 ? 4 ， y2 ? 25 ．
又?要節(jié)省投入，
? y ? 4 ．
答：應(yīng)該增加 4 條生產(chǎn)線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的 關(guān)鍵．
23．（12 分）如圖，一次函數(shù) y ? ?x ? b 與反比例函數(shù) y ? ? k (x ? 0) 的圖象交于點(diǎn) A(m, 4) 和
x
B(4,1) ．
求b 、 k 、 m 的值；
根據(jù)圖象直接寫出?x ? b ? ? k (x ? 0) 的解集；
x
點(diǎn) P 是線段 AB 上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PD ? x 軸于點(diǎn) D ，連接OP ，若?POD 的面積為 S ，求 S 的最大值和最小值．
【分析】（1）將 B(4,1) 代入 y ? ?x ? b 得b ? 5 ，即得一次函數(shù)的解析式為 y ? ?x ? 5 ，將 B(4,1)
代入 y ? ? k 得 k ? ?4 ，即得反比例函數(shù)的解析式為 y ? 4 ；
xx
（2）求出 A(1, 4) ，由圖可得， ? k ? ?x ? b 得解集為： 0 ? x ? 1或 x ? 4 ；
x
（ 3 ） 由 點(diǎn) P 是 線 段 AB 上 一 點(diǎn) ， 可 設(shè) 設(shè)
P(n, ?n ? 5)
， 且 1?n?4
， 可 得
S ? 1 OD ? PD ? ? 1 (n ? 5 )2 ? 25 ，即得當(dāng) n ? 5 時(shí)， S 有最大值 25 ，且最大值是 2，當(dāng) n ? 1
222828
或 n ? 4 時(shí)， S 有最小值，且最小值是 2．
【解答】解：（1）將 B(4,1) 代入 y ? ?x ? b 得：
1 ? ?4 ? b ，解得b ? 5 ，
?一次函數(shù)的解析式為 y ? ?x ? 5 ，
將 B(4,1) 代入 y ? ? k 得：
x
1 ? ? k ，解得 k ? ?4 ，
4
?反比例函數(shù)的解析式為 y ? 4 ；
x
將 A(m, 4) 代入 y ? ?x ? 5 得：
4 ? ?m ? 5 ，解得 m ? 1，
? A(1, 4) ，
?b ? 5 ， k ? ?4 ， m ? 1．
由圖可得， ? k ? ?x ? b 得解集為： 0 ? x ? 1或 x ? 4 ；
x
?點(diǎn) P 是線段 AB 上一點(diǎn)，設(shè) P(n, ?n ? 5) ，
?1?n?4 ，
? S ? 1 OD ? PD ? 1 ? n(?n ? 5) ? ? 1 (n2 ? 5n) ? ? 1 (n ? 5 )2 ? 25 ，
222228
?? 1 ? 0 ，且1?n?4 ，
2
?當(dāng) n ? 5 時(shí)， S 有最大值，且最大值是 25 ，
28
?當(dāng) n ? 1 或 n ? 4 時(shí)， S 有最小值，且最小值是 2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、不等式解集、三角 形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含 n 的代數(shù)式表示 S ．
24．（15 分）如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于?O ，AC 為直徑，AC 和 BD 交于點(diǎn) E ，AB ? BC ．
求?ADB 的度數(shù)；
過(guò) B 作 AD 的平行線，交 AC 于 F ，試判斷線段 EA ， CF ， EF 之間滿足的等量關(guān)系， 并說(shuō)明理由；
在（2）條件下過(guò) E ， F 分別作 AB ， BC 的垂線，垂足分別為G ， H ，連接GH ，交
BO 于 M ，若 AG ? 3 ， S四邊形AGMO : S四邊形CHMO ? 8 : 9 ，求?O 的半徑．
【分析】（1）由直徑所對(duì)的圓周角為直角及等腰三角形的性質(zhì)和互余關(guān)系可得答案；
線段 EA ，CF ，EF 之間滿足的等量關(guān)系為：EA2 ? CF 2 ? EF 2 ．如圖 2，設(shè)?ABE ? ?，
?CBF ? ? ， 先證明?? ?? 45? ， 再過(guò) B 作 BN ? BE ， 使 BN ? BE ， 連接 NC ， 判定
?AEB ? ?CNB(SAS ) 、 ?BFE ? ?BFN (SAS ) ， 然 后 在 Rt?NFC 中 ， 由 勾 股 定 理 得 ：
CF 2 ? CN 2 ? NF 2 ，將相關(guān)線段代入即可得出結(jié)論；
ABC矩形BGKH
如圖 3，延長(zhǎng)GE ，HF 交于 K ，由（2）知 EA2 ? CF 2 ? EF 2 ，變形推得 S?? S，
S?BGM ? S四邊形COMH ，S?BMH ? S四邊形AGMO ，結(jié)合已知條件 S四邊形AGMO : S四邊形CHMO ? 8 : 9 ，設(shè) BG ? 9k ，
BH ? 8k ，則 CH ? 3 ? k ，求得 AE 的長(zhǎng)，用含 k 的式子表示出 CF 和 EF ，將它們代入
EA2 ? CF 2 ? EF 2 ，解得 k 的值，則可求得答案．
【解答】解：（1）如圖 1，
? AC 為直徑，
??ABC ? 90? ，
??ACB ? ?BAC ? 90? ，
? AB ? BC ，
??ACB ? ?BAC ? 45? ，
??ADB ? ?ACB ? 45? ；
線段 EA ， CF ， EF 之間滿足的等量關(guān)系為： EA2 ? CF 2 ? EF 2 ．理由如下： 如圖 2，設(shè)?ABE ? ?， ?CBF ? ?，
? AD / / BF ，
??EBF ? ?ADB ? 45? ， 又?ABC ? 90? ，
??? ?? 45? ，
過(guò) B 作 BN ? BE ，使 BN ? BE ，連接 NC ，
? AB ? CB ， ?ABE ? ?CBN ， BE ? BN ，
??AEB ? ?CNB (SAS ) ，
? AE ? CN ， ?BCN ? ?BAE ? 45? ，
??FCN ? 90? ．
??FBN ? ?? ?? ?FBE ， BE ? BN ， BF ? BF ，
??BFE ? ?BFN (SAS ) ，
? EF ? FN ，
?在Rt?NFC 中， CF 2 ? CN 2 ? NF 2 ，
? EA2 ? CF 2 ? EF 2 ；
如圖 3，延長(zhǎng)GE ， HF 交于 K ，
由（2）知 EA2 ? CF 2 ? EF 2 ，
? 1 EA2 ? 1 CF 2 ? 1 EF 2 ，
222
? S?AGE ? S?CFH ? S?EFK ，
? S?AGE ? S?CFH ? S五邊形BGEFH ? S?EFK ? S五邊形BGEFH ，
即 S?ABC ? S矩形BGKH ，
? 1 S
2
?ABC
? 1 S
2
矩形BGKH ，
? S?GBH ? S?ABO ? S?CBO ，
? S?BGM ? S四邊形COMH ， S?BMH ? S四邊形AGMO ，
? S四邊形AGMO : S四邊形CHMO ? 8 : 9 ，
? S?BMH : S?BGM ? 8 : 9 ，
? BM 平分?GBH ，
? BG : BH ? 9 : 8 ，
設(shè) BG ? 9k ， BH ? 8k ，
?CH ? 3 ? k ，
? AG ? 3 ，
2
? AE ? 3，
?CF ?
2(k ? 3) ， EF ?
2(8k ? 3) ，
? EA2 ? CF 2 ? EF 2 ，
? (3 2)2 ?[ 2(k ? 3)]2 ? [ 2(8k ? 3)]2 ，
整理得： 7k 2 ? 6k ?1 ? 0 ，
解得： k ? ? 1 （舍去）， k ? 1 ．
172
? AB ? 12 ，
? AO ?
2 AB ? 6，
2
2
2
??O 的半徑為6．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓的綜合題，考查了圓的相關(guān)性質(zhì)及定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、多 邊形的面積公式、勾股定理及解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的 關(guān)鍵．
25．（15 分）已知拋物線 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 與 x 軸交于 A(?1, 0) 、 B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn)
C(0, ?3a) ．
求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；
若 a ? 1 ， 點(diǎn) M 和點(diǎn) N 在拋物線上，且 M 的橫坐標(biāo)為 4， 點(diǎn) N 在第二象限，若
2
?AMN ? 2?OAM ，求點(diǎn) N 的坐標(biāo)；
（3）P 是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線 PA 、PB 分別交 y 軸于點(diǎn) M 、N ，判斷CM 與CN 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
?c ? ?3a
【分析】（ 1 ） 由 A(?1, 0) 、 C(0, ?3a) 在拋物線 y ? ax2 ? bx ? c 上， 可得 ?b ? ?2a ， 即有
?
y ? ax2 ? 2ax ? 3a ，令 y ? 0 ，得 ax2 ? 2ax ? 3a ? 0 ，而 a ? 0 ，可得 B(3, 0) ；
（2）連接 AM 交 y 軸于 D ，過(guò) M 作 ME / / x 軸交 y 軸于 E ，在 y 軸上取 F ，使 EF ? ED ，
作直線 MF 交拋物線于 N ， 根據(jù) ?EMA ? ?OAM
， EM 是 DF 的垂直平分線， 可證
?AMN ? 2?AME ? 2?OAM ，而 a ? 1 時(shí)，拋物線為 y ? 1 x2 ? x ? 3 ，知 M (4, 5 ) ，直線 AM
2222
D(0, )
F (0, )
的解析式為 y ? 1 x ? 1 ，可求出1 ，從而求出 EF ? DE ? 2 ，9 ，即可得直線 MF
2222
? y ? ? 1 x ? 9
為 y ? ? 1 x ? 9 ，最后由 ?22得 N (?3, 6) ；
?
?
22? y ?
?
1 x2 ? x ? 3
22
（ 3 ） 結(jié) 論 ：
CN ? 3CM
， 設(shè) P(m, am2 ? 2am ? 3a)
， 可 得 直 線 PA 解 析 式 為
y ? (am ? 3a)x ? am ? 3a ，從而得到 M (0, am ? 3a) ，即有 CM ? am ，同理可得 CN ? 3am ， 故CN ? 3CM ．
【解答】解：（1）? A(?1, 0) 、C(0, ?3a) 在拋物線 y ? ax2 ? bx ? c 上，
? ?0 ? a ? b ? c ，可得?b ? ?2a ，
?
?
??3a ? c?c ? ?3a
? y ? ax2 ? 2ax ? 3a ，
令 y ? 0 ，得 ax2 ? 2ax ? 3a ? 0 ，而 a ? 0 ， 解得 x ? ?1 或 x ? 3 ，
? B(3, 0) ；
連接 AM 交 y 軸于 D ，過(guò) M 作 ME / / x 軸交 y 軸于 E ，在 y 軸上取 F ，使 EF ? ED ， 作直線 MF 交拋物線于 N ，如圖：
由作圖可知： ?EMA ? ?OAM ，直線 EM 是 DF 的垂直平分線，
??FME ? ?DME ，
??AMN ? 2?AME ? 2?OAM ，
而 a ? 1 時(shí)，拋物線為 y ? 1 x2 ? x ? 3 ，
222
? M 的橫坐標(biāo)為 4，
5
? M (4, ) ，
2
由 A(?1, 0) ， M (4, 5 ) 得直線 AM 的解析式為 y ? 1 x ? 1 ，
222
令 x ? 0 得 y ? 1 ，
2
1
? D(0, ) ，
2
? ME / / x 軸，
5
? E(0, ) ，
2
? EF ? DE ? 2 ，
9
? F (0, ) ，
2
M (4, )
設(shè)直線 MF 為 y ? kx ? 9 ，將5 代入得： 5 ? 4k ? 9 ，
2222
? k ? ? 1 ，
2
?直線 MF 為 y ? ? 1 x ? 9 ，
22
? y ? ? 1 x ? 9
?x ? 4
由
?22
?13
?x ? ?3?
得：或
? y ? 6? y ? 5
（舍去），
?
? y ?
?
x2 ? x ??
22
??2
? N (?3, 6) ；
CN ? 3CM ，理由如下： 設(shè) P(m, am2 ? 2am ? 3a) ，如圖：
設(shè)直線 PA 解析式為 y ? sx ? t ，
?am2 ? 2am ? 3a ? ms ? t
則?0 ? ?s ? t
?
，解得?s ? am ? 3a ，
?
?t ? am ? 3a
?直線 PA 解析式為 y ? (am ? 3a)x ? am ? 3a ， 令 x ? 0 得 y ? am ? 3a ，
? M (0, am ? 3a) ， 而C(0, ?3a) ，
?CM ? am ，
設(shè)直線 PB 解析式為 y ? s?x ? t? ，
?0 ? 3s? ? t??s? ? am ? a
則?am2 ? 2am ? 3a ? s ?m ? t ? ，解得?t? ? ?3am ? 3a ，
??
?直線 PB 解析式為 y ? (am ? a)x ? 3am ? 3a ， 令 x ? 0 得 y ? ?3am ? 3a ，
? N (0, ?3am ? 3a) ， 而C(0, ?3a) ，
?CN ? 3am ，
?CN ? 3CM ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征、數(shù)形結(jié) 合等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及相關(guān)線段的長(zhǎng)度．

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