1．（3 分）下列方程中，是一元一次方程的是()
x ? 2 y ? 6
B． x2 ? 9 ? 8x
C． 2x ? 3 ? 9
D． x ? 1 ? 1
x
2．（3 分）《故事里的中國》在CCTV1 播出，首播當(dāng)天有關(guān)該節(jié)目的微博總閱讀量約 870000000 人，數(shù)據(jù)
870000000 用科學(xué)記數(shù)法表示是( )
A． 0.87 ?109
B． 8.7 ?108
C． 8.7 ?107
D． 87 ?107
3．（3 分）在2? ， ? 1 ， ?(? 5) ，0， ?(?2) ， ?(?1)3 中，負(fù)數(shù)有()
72
個B．2 個C．3 個D．4 個
? xy2
4．（3 分）單項(xiàng)式?的系數(shù)與次數(shù)分別是()
3
A． ? 1 ，2B． ? 1 ，3C． ? ? ，2D． ? ? ，3
3333
5．（3 分）下列解一元一次方程的過程正確的是()
A．方程 x ? 2(3 ? x) ? 1去括號得 x ? 6 ? 2x ? 1
B．方程3x ? 2 ? 2x ? 2 移項(xiàng)得3x ? 2x ? ?2 ? 2
C．方程 2x ? 1 ? 1 ? x 去分母得2x ? 1 ? 1 ? 3x
3
D．方程 0.1x ? 2 ? 0.2x ? 0.1 ? 1分母化為整數(shù)得 x ? 2 ? 2x ? 1 ? 1
0.20.525
6．（3 分）已知? 3 ma?1n2 與 2 m3nb 是同類項(xiàng)，那么(1 ? a)b 的值是()
43
A．9B． ?9
7．（3 分）下列等式變形錯誤的是()
D． ?6
若 a ? b ，則
a
1 ? x2
?b
1 ? x2
若 a ? b ，則3a ? 3b
若 a2 ? b2 ，則a ? b
若 a ? b ，則 a ? b
mm
8．（3 分） a ， b 是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把a(bǔ) ， ?a ， b ， ?b 按照從小到大的順序排列，正確的是( )
a ? ?b ? b ? ?a
a ? b ? ?b ? ?a
a ? ?b ? ?a ? b
?b ? a ? b ? ?a
9．（3 分）如果方程2x ? 2 和方程 a ? x ? a ? 2x ? 1 的解相同，那么a 的值為( )
23
A．1B．5C．0D． ?5
10．（3 分）十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家歐拉最先用記號 f (x) 的形式來表示關(guān)于 x 的多項(xiàng)式，把 x 等于某數(shù)n 時的多項(xiàng)式的值用 f (n) 來表示．例如 x ? 1 時，多項(xiàng)式 f (x) ? 2x2 ? x ? 3 的值可以記為 f（1），即 f（1）? 4 ．我們定義 f (x) ? ax3 ? 3x2 ? 2bx ? 5 ．若 f （3） ? 18 ，則 f (?3) 的值為( )
A． ?18
B． ?22
C．26D．32
二、填空題（本題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分.）
11．（3 分）如果向西走 30 米記作?30 米，那么?20 米表示 ．
12．（3 分）用四舍五入法將 3.1415926 取近似數(shù)并精確到千分位，得到的值為 ．
13．（3 分）數(shù)軸上點(diǎn) A 表示的數(shù)是?2.5 ，點(diǎn) B 與點(diǎn) A 相距 3.5 個單位，則點(diǎn) B 表示的數(shù)是 ．
14．（3 分）已知代數(shù)式 x4 ? ax3 ? 3x2 ? 5x3 ? 7x2 ? bx2 ? 6x ? 2 合并同類項(xiàng)后不含 x3 ， x2 項(xiàng)，則 2a ? 3b 的值 ．
15．（3 分）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有 2 個圓圈，第②個圖案中有 5 個圓圈，第③個圖案中有 8 個圓圈，第④個圖案中有 11 個圓圈， ，按此規(guī)律排列下去，則第n 個圖案中圓圈的個數(shù)為 ．
16．（3 分）如圖：四邊形 ABCD 和四邊形 ECGF 都是正方形，其邊長分別為 x 、y（點(diǎn) B 、C 、G 和點(diǎn)C 、
D 、 E 分別在一條直線上）則圖中陰影部分的面積為： （用含 x 、 y 的代數(shù)式表示，且按 x 降冪
排列）
三、解答題（本題共 9 小題，共 102 分.）
17．（16 分）計算．
（1） 3 1 ? 2 3 ? 5 3 ? 8 2 ；（2） (?32) ? ( 3 ? 5 ? 1 ) ；
45451684
（3） ?12022 ? 4 ? (? 2)2 ；（4） (?2)3 ?[? | ?7 | ?(1 ? 2 ? 0.6) ? (?3)]．
933
18．（6 分）化簡．
（1） a ? 6a ? 3b ? (a ? 2b) ；（2） 5(m2n ? 3mn2 ) ? 2(m2n ? 7mn2 ) ．
19．（8 分）解下列方程．
（1） 8 ? 3(3x ? 2) ? 6 ；（2） 2x ? 1 ? 1 ? x ? 5x ? 3 ．
46
20．（10 分）某原料倉庫一天的原料進(jìn)出記錄如下表（運(yùn)進(jìn)用正數(shù)表示，運(yùn)出用負(fù)數(shù)表示）
這天倉庫的原料比原來增加了還是減少了？請說明理由；
根據(jù)實(shí)際情況，現(xiàn)有兩種方案：方案一：運(yùn)進(jìn)原料費(fèi)用 5 元/t ，運(yùn)出原料費(fèi)用 8 元/t ；
方案二：不管運(yùn)進(jìn)還是運(yùn)出原料費(fèi)用都是 6 元/t ．從節(jié)約運(yùn)費(fèi)的角度考慮，選哪一種方案比較合適？
在（2）的條件下，設(shè)運(yùn)進(jìn)原料共 a 噸，運(yùn)出原料共b 噸， a ， b 之間滿足怎樣的關(guān)系時，兩種方案的運(yùn)費(fèi)相同？
21．（10 分）某同學(xué)做一道數(shù)學(xué)題，“已知兩個多項(xiàng)式 A 、 B ， B ? 2x2 ? 3x ? 4 ，試求 A ? 2B ”．這位同學(xué)把“ A ? 2B ”誤看成“ A ? 2B ”，結(jié)果求出的答案為5x2 ? 8x ? 10 ．
請你替這位同學(xué)求出“ A ? 2B ”的正確答案；
若 x 是最大的負(fù)整數(shù)，求 A ? 2B 的值．
22．（12 分）（1）已知| a ? 1|? 9 ， | b ? 2 |? 6 ，且| a ? b |? b ? a ，求a ? b 的值．
（2）若a ? b ? 2 ， a ? c ? 1 ，求(2a ? b ? c)2 ? (b ? c)2 的值．
進(jìn)出數(shù)量/t
?3
4
?1
2
?5
進(jìn)出次數(shù)
2
1
3
3
2
23．（12 分）（1）①觀察一列數(shù) 1，2，3，4，5， ，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差是 1；根據(jù)此規(guī)律，如果an (n 為正整數(shù)）表示這個數(shù)列的第n 項(xiàng)，那么 a18 ? ， an ? ；
②如果欲求1 ? 2 ? 3 ? 4 ??? n 的值，可令
S ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ??? n??①
將①式右邊順序倒置，得 S ? n ??? 4 ? 3 ? 2 ? 1??②
由②加上①式，得2S ? ；
? S ? ；
由結(jié)論求1 ? 2 ? 3 ? 4 ??? 55 ? ；
（2）為了求1 ? 3 ? 32 ? 33 ??? 32018 的值，可令 M ? 1 ? 3 ? 32 ? 33 ??? 32018 ，則3M ? 3 ? 32 ? 33 ??? 32019 ，
32019 ? 1
23201832019 ? 1
因此3M ? M ? 32019 ? 1 ，所以 M ?，即1 ? 3 ? 3
2
? 3 ??? 3
?．仿照以上推理，計算：
2
1 ? 5 ? 52 ? 53 ??? 551 ．
24．（14 分）若a 、b 互為相反數(shù)， b 、 c 互為倒數(shù)，并且m 的立方等于它本身．
試求 2a ? 2b ? ac 值；
m ? 2
（2）若a ? 1，且 m ? 0 ， S ?| 2a ? 3b | ?2| b ? m | ? | b ? 1 | ，試求 4(2a ? S ) ? 2(2a ? S ) ? (2a ? S ) 的值；
2
（3）若m ? 0 ，則| x ? m | ? | x ? m | ? | x ? 2023 | 的最小值為 ．
25．（14 分）已知a 、b 滿足：(a ? 8)2 ? | b ? 4 |? 0 ， c ? a ? 2b ．且有理數(shù)a 、b 、c 在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為 A 、 B 、C ．
（1）則a ? ， b ? ， c ? ；
點(diǎn) P 從點(diǎn)C 出發(fā)，以每秒 1 個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時點(diǎn)Q 從點(diǎn) B 出發(fā)，以每秒 2 個單位長度的速度向左運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn) Q 到達(dá)點(diǎn) A 時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動．求點(diǎn) P 、 Q 在運(yùn)動過程中，當(dāng) t 為何值時AP ? 3CQ ？
點(diǎn) D 是直線 AB 上一點(diǎn)，若| AD ? BD |? 2CD ，則 AB : BD 的值為 ．
2023-2024 學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)鐵一中學(xué)七年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)正確.）
1．（3 分）下列方程中，是一元一次方程的是( )
x ? 2 y ? 6
B． x2 ? 9 ? 8x
C． 2x ? 3 ? 9
D． x ? 1 ? 1
x
【解答】解： A 、有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，故不合題意；
B 、未知數(shù)的最高次數(shù)為 2，不是一元一次方程，故不合題意；
C 、是一元一次方程，故符合題意；
D 、分母中含有未知數(shù)，不是一元一次方程，故不合題意； 故選： C ．
2．（3 分）《故事里的中國》在CCTV1 播出，首播當(dāng)天有關(guān)該節(jié)目的微博總閱讀量約 870000000 人，數(shù)據(jù)
870000000 用科學(xué)記數(shù)法表示是( )
A． 0.87 ?109
B． 8.7 ?108
C． 8.7 ?107
D． 87 ?107
【解答】解： 870000000 ? 8.7 ?108 ， 故選： B ．
3．（3 分）在2? ， ? 1 ， ?(? 5) ，0， ?(?2) ， ?(?1)3 中，負(fù)數(shù)有( )
72
個B．2 個C．3 個D．4 個
【解答】解： ?(? 5) ? ? 5 ， ?(?2) ? 2 ， ?(?1)3 ? ?(?1) ? 1，
22
負(fù)數(shù)有： ? 1 ， ?(?1)3 ，共 2 個，
7
故選： B ．
? xy2
4．（3 分）單項(xiàng)式?的系數(shù)與次數(shù)分別是( )
3
A． ? 1 ，2B． ? 1 ，3C． ? ? ，2D． ? ? ，3
3333
? xy2?
【解答】解：單項(xiàng)式?的系數(shù)是?，次數(shù)是1 ? 2 ? 3 ，
33
故選： D ．
5．（3 分）下列解一元一次方程的過程正確的是( )
A．方程 x ? 2(3 ? x) ? 1去括號得 x ? 6 ? 2x ? 1
B．方程3x ? 2 ? 2x ? 2 移項(xiàng)得3x ? 2x ? ?2 ? 2
C．方程 2x ? 1 ? 1 ? x 去分母得2x ? 1 ? 1 ? 3x
3
D．方程 0.1x ? 2 ? 0.2x ? 0.1 ? 1分母化為整數(shù)得 x ? 2 ? 2x ? 1 ? 1
0.20.525
【解答】解： A 、方程 x ? 2(3 ? x) ? 1去括號得 x ? 6 ? 2x ? 1 ，正確，該選項(xiàng)符合題意；
B 、方程3x ? 2 ? 2x ? 2 移項(xiàng)得3x ? 2x ? ?2 ? 2 ，原過程錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；
C 、方程 2x ? 1 ? 1 ? x 去分母得2x ? 1 ? 3 ? 3x ，原過程錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；
3
D 、方程 0.1x ? 2 ? 0.2x ? 0.1 ? 1分母化為整數(shù)得 x ? 20 ? 2x ? 1 ? 1 ，原過程錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；
0.20.525
故選： A ．
6．（3 分）已知? 3 ma?1n2 與 2 m3nb 是同類項(xiàng)，那么(1 ? a)b 的值是( )
43
A．9B． ?9
【解答】解：? ? 3 ma?1n2 與 2 m3nb 是同類項(xiàng)，
D． ?6
43
? a ? 1 ? 3 ， b ? 2 ，
? a ? 4 ， b ? 2 ，
?(1 ? a)b
? (1 ? 4)2
? (?3)2
? 9 ，
故選： A ．
7．（3 分）下列等式變形錯誤的是( )
若 a ? b ，則
a
1 ? x2
?b
1 ? x2
若 a ? b ，則3a ? 3b
若 a2 ? b2 ，則a ? b
若 a ? b ，則 a ? b
mm
【解答】解： A ．若 a ? b ，而1 ? x2 ? 0 ，則
a
1 ? x2
?b
1 ? x2
，所以 A 選項(xiàng)不符合題意；
B ．若a ? b ，則3a ? 3b ，所以 B 選項(xiàng)不符合題意；
C ．若a2 ? b2 ，則 a ? b 或 a ? ?b ，所以C 選項(xiàng)符合題意；
D ．若 a ? b ，則 a ? b ，所以 D 選項(xiàng)不符合題意．
mm
故選： C ．
8．（3 分） a ， b 是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把a(bǔ) ， ?a ， b ， ?b 按照從小到大的順序排列，正確的是( )
a ? ?b ? b ? ?a
a ? b ? ?b ? ?a
a ? ?b ? ?a ? b
?b ? a ? b ? ?a
【解答】解：?由圖可知， a ? 0 ? b ， | b |?| a | ，
?0 ? b ? ?a ， a ? ?b ? 0 ，
? a ? ?b ? b ? ?a ． 故選： A ．
9．（3 分）如果方程2x ? 2 和方程 a ? x ? a ? 2x ? 1 的解相同，那么a 的值為( )
23
A．1B．5C．0D． ?5
【解答】解：解方程2x ? 2 ，得
x ? 1 ，
?方程2x ? 2 和方程 a ? x ? a ? 2x ? 1 的解相同，
23
?將 x ? 1 代入方程 a ? x ? a ? 2x ? 1 中，得
23
a ? 1 ? a ? 2 ? 1， 23
3(a ? 1) ? 2(a ? 2) ? 6 ，
3a ? 3 ? 2a ? 4 ? 6 ， 解得a ? ?5 ，
故選： D ．
10．（3 分）十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家歐拉最先用記號 f (x) 的形式來表示關(guān)于 x 的多項(xiàng)式，把 x 等于某數(shù)n 時的多項(xiàng)式的值用 f (n) 來表示．例如 x ? 1 時，多項(xiàng)式 f (x) ? 2x2 ? x ? 3 的值可以記為 f（1），即 f（1）? 4 ．我們定義 f (x) ? ax3 ? 3x2 ? 2bx ? 5 ．若 f （3） ? 18 ，則 f (?3) 的值為( )
A． ?18
B． ?22
C．26D．32
【解答】解：? f (x) ? ax3 ? 3x2 ? 2bx ? 5 ，
? f （3） ? 27a ? 6b ? 5 ? 18 ，得： 27a ? 6b ? ?4 ，
? f (?3) ? ?27a ? 3 ? 9 ? 2b ? (?3) ? 5 ? ?(27a ? 6b) ? 22 ? 4 ? 22 ? 26 ， 故選： C ．
二、填空題（本題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分.）
11．（3 分）如果向西走 30 米記作?30 米，那么?20 米表示 向東走 20 米 ．
【解答】解：如果向西走 30 米記作?30 米，那么?20 表示向東走 20 米． 故答案為：向東走 20 米．
12．（3 分）用四舍五入法將 3.1415926 取近似數(shù)并精確到千分位，得到的值為 3.142 ．
【解答】解：3.1415926 精確到千分位為 3.142． 故答案為 3.142．
13．（3 分）數(shù)軸上點(diǎn) A 表示的數(shù)是?2.5 ，點(diǎn) B 與點(diǎn) A 相距 3.5 個單位，則點(diǎn) B 表示的數(shù)是 1 或?6 ．
【解答】解：根據(jù)圖形得：點(diǎn) B 表示的數(shù)是 1 或?6 ． 故答案為：1 或?6
14．（3 分）已知代數(shù)式 x4 ? ax3 ? 3x2 ? 5x3 ? 7x2 ? bx2 ? 6x ? 2 合并同類項(xiàng)后不含 x3 ， x2 項(xiàng)，則 2a ? 3b 的值
?22 ．
【解答】解： x4 ? ax3 ? 3x2 ? 5x3 ? 7x2 ? bx2 ? 6x ? 2 ? x4 ? (a ? 5)x3 ? (3 ? 7 ? b)x2 ? 6x ? 2 ， 由 x4 ? ax3 ? 3x2 ? 5x3 ? 7x2 ? bx2 ? 6x ? 2 ，合并同類項(xiàng)后不含 x3 和 x2 項(xiàng)，得
a ? 5 ? 0 ， 3 ? 7 ? b ? 0 ． 解得a ? ?5 ， b ? ?4 ．
? 2a ? 3b ? 2 ? (?5) ? 3 ? (?4) ? ?22 ． 故答案為： ?22 ．
15．（3 分）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有 2 個圓圈，第②個圖案中有 5 個圓圈，
第③個圖案中有 8 個圓圈，第④個圖案中有 11 個圓圈， ，按此規(guī)律排列下去，則第n 個圖案中圓圈的個數(shù)為 3n ? 1 ．
【解答】解：第①個圖案中有 2 個圓圈， 第②個圖案中有2 ? 3 ?1 ? 5 個圓圈，
第③個圖案中有2 ? 3 ? 2 ? 8 個圓圈， 第④個圖案中有2 ? 3 ? 3 ? 11個圓圈，
，
則第n 個圖案中圓圈的個數(shù)為： 2 ? 3 ? (n ? 1) ? 3n ? 1， 故答案為： 3n ? 1 ．
16．（3 分）如圖：四邊形 ABCD 和四邊形 ECGF 都是正方形，其邊長分別為 x 、y（點(diǎn) B 、C 、G 和點(diǎn)C 、
D 、 E 分別在一條直線上）則圖中陰影部分的面積為： 示，且按 x 降冪排列）
1 x2 ? 1 xy ? 1 y2 （用含 x 、 y 的代數(shù)式表
222
【解答】解：由題意可得，
22
(x ? y) yx2
1 211 2
圖中陰影部分的面積為： x ? y
???x ?xy ?y ，
故答案為： 1 x2 ? 1 xy ? 1 y2 ．
222
22222
三、解答題（本題共 9 小題，共 102 分.）
17．（16 分）計算．
（1） 3 1 ? 2 3 ? 5 3 ? 8 2 ；（2） (?32) ? ( 3 ? 5 ? 1 ) ；
45451684
（3） ?12022 ? 4 ? (? 2)2 ；（4） (?2)3 ?[? | ?7 | ?(1 ? 2 ? 0.6) ? (?3)]．
933
【解答】解：（1） 3 1 ? 2 3 ? 5 3 ? 8 2
4545
? (3 1 ? 5 3) ? (2 3 ? 8 2)
4455
? 9 ? 11
? ?2 ；
（2） (?32) ? ( 3 ? 5 ? 1 )
1684
? (?32) ? 3 ? (?32) ? 5 ? (?32) ? 1
1684
? (?6) ? 20 ? (?8)
? 6 ；
（3） ?12022 ? 4 ? (? 2)2
93
? ?1? 9 ? 4
49
? ?1；
（4） (?2)3 ?[? | ?7 | ?(1 ? 2 ? 0.6) ? (?3)]
3
? ?8 ?[?7 ? (1 ? 2 ? 3) ? (? 1)]
353
? ?8 ?[?7 ? (1 ? 2) ? (? 1)]
53
? ?8 ?[?7 ? 3 ? (? 1)]
53
? ?8 ? (?7 ? 1)
5
? ?8 ? 7 ? 1
5
? ? 4 ．
5
18．（6 分）化簡．
（1） a ? 6a ? 3b ? (a ? 2b) ；（2） 5(m2n ? 3mn2 ) ? 2(m2n ? 7mn2 ) ．
【解答】解：（1）原式? a ? 6a ? 3b ? a ? 2b
? 6a ? 5b ；
（2）原式? 5m2n ? 15mn2 ? 2m2n ? 14mn2
? 3m2n ? mn2 ．
19．（8 分）解下列方程．
（1） 8 ? 3(3x ? 2) ? 6 ；（2） 2x ? 1 ? 1 ? x ? 5x ? 3 ．
46
【解答】解：（1）去括號得： 8 ? 9x ? 6 ? 6 ，移項(xiàng)合并得： ?9x ? 4 ，
解得： x ? ? 4 ；
9
（2）去分母得： 3(2x ? 1) ? 12 ? 12x ? 2(5x ? 3) ， 去括號得： 6x ? 3 ? 12 ? 12x ? 10x ? 6 ，
移項(xiàng)合并得： 4x ? 15 ，
解得： x ? 15 ．
4
20．（10 分）某原料倉庫一天的原料進(jìn)出記錄如下表（運(yùn)進(jìn)用正數(shù)表示，運(yùn)出用負(fù)數(shù)表示）
這天倉庫的原料比原來增加了還是減少了？請說明理由；
根據(jù)實(shí)際情況，現(xiàn)有兩種方案：方案一：運(yùn)進(jìn)原料費(fèi)用 5 元/t ，運(yùn)出原料費(fèi)用 8 元/t ；
方案二：不管運(yùn)進(jìn)還是運(yùn)出原料費(fèi)用都是 6 元/t ．從節(jié)約運(yùn)費(fèi)的角度考慮，選哪一種方案比較合適？
在（2）的條件下，設(shè)運(yùn)進(jìn)原料共 a 噸，運(yùn)出原料共b 噸， a ， b 之間滿足怎樣的關(guān)系時，兩種方案的運(yùn)費(fèi)相同？
【解答】解：（1） ?3 ? 2 ? 4 ?1 ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 5 ? 2
? ?6 ? 4 ? 3 ? 6 ? 10
? ?9 ．
答：倉庫的原料比原來減少 9 噸．
（2）方案一： (4 ? 6) ? 5 ? (6 ? 3 ? 10) ? 8
? 50 ? 152
? 202 （元) ．
方案二： (6 ? 4 ? 3 ? 6 ? 10) ? 6
? 29 ? 6
? 174 （元)
因?yàn)?74 ? 202 ，
所以選方案二運(yùn)費(fèi)少．
（3）根據(jù)題意得： 5a ? 8b ? 6(a ? b) ，
a ? 2b ．
答：當(dāng)a ? 2b 時，兩種方案運(yùn)費(fèi)相同．
21．（10 分）某同學(xué)做一道數(shù)學(xué)題，“已知兩個多項(xiàng)式 A 、 B ， B ? 2x2 ? 3x ? 4 ，試求 A ? 2B ”．這位同學(xué)把“ A ? 2B ”誤看成“ A ? 2B ”，結(jié)果求出的答案為5x2 ? 8x ? 10 ．
請你替這位同學(xué)求出“ A ? 2B ”的正確答案；
若 x 是最大的負(fù)整數(shù)，求 A ? 2B 的值．
【解答】解：（1）? B ? 2x2 ? 3x ? 4 ， A ? 2B ? 5x2 ? 8x ? 10 ，
? 2B
? 2(2x2 ? 3x ? 4)
? 4x2 ? 6x ? 8
A ? (5x2 ? 8x ? 10) ? (4x2 ? 6x ? 8)
進(jìn)出數(shù)量/t
?3
4
?1
2
?5
進(jìn)出次數(shù)
2
1
3
3
2
? 5x2 ? 8x ? 10 ? 4x2 ? 6x ? 8
? x2 ? 2x ? 2 ，
? A ? 2B
? (x2 ? 2x ? 2) ? (4x2 ? 6x ? 8)
? x2 ? 2x ? 2 ? 4x2 ? 6x ? 8
? ?3x2 ? 4x ? 6 ．
（2）? x 是最大的負(fù)整數(shù)，
? x ? ?1，
? A ? 2B ? ?3 ? (?1)2 ? 4 ? (?1) ? 6
? ?3 ?1 ? 4 ? (?1) ? 6
? ?3 ? 4 ? 6
? 7 ．
22．（12 分）（1）已知| a ? 1|? 9 ， | b ? 2 |? 6 ，且| a ? b |? b ? a ，求a ? b 的值．
（2）若a ? b ? 2 ， a ? c ? 1 ，求(2a ? b ? c)2 ? (b ? c)2 的值．
【解答】解：（1）?| a ? 1|? 9 ， | b ? 2 |? 6 ，
? a ? ?8 或 10， b ? ?8 或 4，
?| a ? b |? b ? a ，
? a ? b?0 ，
? a ? ?8 ， b ? ?8 或 4，
當(dāng) a ? ?8 ， b ? ?8 時， a ? b ? ?8 ? (?8) ? ?16 ． 當(dāng) a ? ?8 ， b ? 4 時， a ? b ? ?8 ? 4 ? ?4 ．
綜上所述， a ? b 的值為?16 或?4 ．
（2）? a ? b ? 2 ， a ? c ? 1 ，
? 2a ? b ? c ? (a ? b) ? (a ? c) ? 3 ，
b ? c ? (a ? c) ? (a ? b) ? ?1 ，
?(2a ? b ? c)2 ? (b ? c)2 ? 32 ? (?1)2 ? 10 ．
23．（12 分）（1）①觀察一列數(shù) 1，2，3，4，5， ，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差是 1；根據(jù)此規(guī)律，如果an (n 為正整數(shù)）表示這個數(shù)列的第n 項(xiàng)，那么 a18 ? 18 ， an ? ；
②如果欲求1 ? 2 ? 3 ? 4 ??? n 的值，可令
S ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ??? n??①
將①式右邊順序倒置，得 S ? n ??? 4 ? 3 ? 2 ? 1??②
由②加上①式，得2S ? ；
? S ? ；
由結(jié)論求1 ? 2 ? 3 ? 4 ??? 55 ? ；
（2）為了求1 ? 3 ? 32 ? 33 ??? 32018 的值，可令 M ? 1 ? 3 ? 32 ? 33 ??? 32018 ，則3M ? 3 ? 32 ? 33 ??? 32019 ，
32019 ? 1
23201832019 ? 1
因此3M ? M ? 32019 ? 1 ，所以 M ?，即1 ? 3 ? 3
2
? 3 ??? 3
?．仿照以上推理，計算：
2
1 ? 5 ? 52 ? 53 ??? 551 ．
【解答】解：（1）①由題知，
a18 ? 18 ， an ? n ． 故答案為：18， n ．
②由題知，
2S ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? ??? ?n ? 1? ? n ?n ? 1? ．
?
n個
所以 S ? n(n ? 1) ．
2
將 n ? 55 代入得，
n(n ? 1) ? 55 ? (55 ? 1) ? 1540 ，
22
即1 ? 2 ? 3 ? 4 ??? 55 ? 1540 ．
故答案為： n(n ? 1) ， n(n ? 1) ，1540．
2
（2）令 S ? 1 ? 5 ? 52 ? 53 ??? 551 ①， 兩邊乘以 5 得，
5S ? 5 ? 52 ? 53 ??? 552 ②，
② ? ①得，
4S ? 552 ? 1 ，
552 ? 1
則 S ?．
4
2351552 ? 1
即1 ? 5 ? 5
? 5 ??? 5 ?．
4
24．（14 分）若a 、b 互為相反數(shù)， b 、 c 互為倒數(shù)，并且m 的立方等于它本身．
試求 2a ? 2b ? ac 值；
m ? 2
（2）若a ? 1，且 m ? 0 ， S ?| 2a ? 3b | ?2| b ? m | ? | b ? 1 | ，試求 4(2a ? S ) ? 2(2a ? S ) ? (2a ? S ) 的值；
2
（3）若m ? 0 ，則| x ? m | ? | x ? m | ? | x ? 2023 | 的最小值為 2024 ．
【解答】解：（1）? a 、b 互為相反數(shù)， b 、 c 互為倒數(shù)，
? a ? b ? 0 ， bc ? 1 ，
? ac ? ?1，
?原式? 2(a ? b) ? ac ? 0 ? 1 ? ?1 ；
m ? 2
（2）? a ? 1 ， a ? b ? 0 ，
?b ? ?a ? ?1，
? 2a ? 3b ? 2a ? 3(?a) ? 5a ? 0 ， b ? 1 ? 0 ，
2
? m 的立方等于它本身，
? m ? ?1 或 0 或l ，
? m ? 0 ，
? m ? ?1 ，
?b ? m ? b ? 1 ? 0 ，
? S ? 2a ? 3b ? 2b ? 2 ? b? | x ? m | ? | x ? m | ? | x ? 2023 |? 2a ? 5 ，
2
? 2a ? S ? ? 5 ，
2
? 4(2a ? S ) ? 2(2a ? S ) ? (2a ? S )
? 5(2a ? S )
? 5 ? (? 5)
2
? ? 25 ；
2
（3）由（2）得m ? ?1或 0 或l ，
? m ? 0 ，
? m ? ?1 或 1，
則| x ? m | ? | x ? m | ? | x ? 2023 |?| x ? 1| ? | x ? 1| ? | x ? 2023 | ， 當(dāng) x? ? 1時，
原式? ?x ? 1 ? 1 ? x ? 2023 ? x ? 2023 ? 3x?2026 ；
當(dāng)?1 ? x ? 1 時，
原式? x ? 1 ? 1 ? x ? 2023 ? x ? 2025 ? x ，
2024 ? 2025 ? x ? 2026 ；
當(dāng)1?x ? 2023 時，
原式? x ? 1 ? x ? 1 ? 2023 ? x ? 2023 ? x ，
2024?2023 ? x ? 4046 ；
當(dāng) x?2023 時，
原式? x ? 1 ? x ? 1 ? x ? 2023 ? 3x ? 2023 ，
3x ? 2023?4046 ；
綜上，原式的最小值為：2024， 故答案為：2024．
25．（14 分）已知a 、b 滿足：(a ? 8)2 ? | b ? 4 |? 0 ， c ? a ? 2b ．且有理數(shù)a 、b 、c 在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為 A 、 B 、C ．
（1）則a ? ?8 ， b ? ， c ? ；
點(diǎn) P 從點(diǎn)C 出發(fā)，以每秒 1 個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時點(diǎn)Q 從點(diǎn) B 出發(fā)，以每秒 2 個單位長度的速度向左運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn) Q 到達(dá)點(diǎn) A 時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動．求點(diǎn) P 、 Q 在運(yùn)動過程中，當(dāng) t 為何值時AP ? 3CQ ？
點(diǎn) D 是直線 AB 上一點(diǎn)，若| AD ? BD |? 2CD ，則 AB : BD 的值為 ．
【解答】解：（1）? (a ? 8)2 ? | b ? 4 |? 0 ， (a ? 8)2?0 ， | b ? 4|?0 ，
? a ? 8 ? 0 ， b ? 4 ? 0 ，
? a ? ?8 ， b ? 4 ，
? c ? a ? 2b ，
?c ? ?8 ? 2 ? 4 ? 0 ，
故答案為： ?8 ，4，0；
設(shè) P 表示的數(shù)是?t ， Q 表示的數(shù)是4 ? 2t ，
? AP ? 3CQ ，
??t ? (?8) ? 3 | 4 ? 2t | ，
解得t ? 4 或t ? 20 ，
57
?當(dāng)t 為 4 或 20 時， AP ? 3CQ ；
57
設(shè) D 表示的數(shù)是 x ，
①當(dāng) x? ? 8 時，
?| AD ? BD |? 2CD ，
?(4 ? x) ? (?8 ? x) ? 2(?x) ，
解得： x ? ?6 （不符合題意，舍去）；
②當(dāng)?8 ? x ? 4 時，
?| AD ? BD |? 2CD ，
?| x ? (?8) ? (4 ? x) |? 2 | x | ， 解得 x ? ?1 ，
? AB ? 12 ， BD ? 5 ，
? AB : BD ? 12 : 5 ；
③當(dāng) x ? 4 時，
?| AD ? BD |? 2CD ，
?| x ? 8 ? (x ? 4) |? 2x ．
? 2x ? 12 ，
? x ? 6 ．
? AB ? 12 ， BD ? 2 ，
? AB : BD ? 6 ．
綜上， AB : BD 的值為12 或 6．
5
故答案為： 12 或 6．
5

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