1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，解得，故，
又，所以.
故選：B.
2. 已知，，且，其中i是虛數(shù)單位，則（ ）
A. 10B. C. 2D.
【答案】D
【解析】由得：，
所以解得，所以.
故選:D.
3. 已知，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，故的零點，
由在上單調(diào)遞增，得，，
因此的零點，則.
故選:D.
4. 將單詞“”的7個字母填入編號從1到12的一排方格中，每個方格至多填入1個字母，且6號方格填字母“”，則得到的結(jié)果從左至右仍為單詞“”的填法有（ ）
A. 400種B. 350種C. 200種D. 150種
【答案】B
【解析】第一類第一步：從1到5號方格中選出3個，填入“c”“”“l(fā)”這3個字母，有種方法；
第二步：從7到12號方格中選出3個，填入“e”“c”“t”這3個字母，有種方法，
所以得到的結(jié)果從左至右仍為單詞“”的填法有種；
第二類第一步：從1到5號方格中選出2個，填入“c”“”這2個字母，有種方法；
第二步：從7到12號方格中選出4個，填入“l(fā)”“e”“c”“t”這4個字母，有種方法，
所以得到的結(jié)果從左至右仍為單詞“”的填法有種.
所以得到的結(jié)果從左至右仍為單詞“”的填法有種.
故選:B.
5. 天文計算的需要，促進了三角學(xué)和幾何學(xué)的發(fā)展.10世紀(jì)的科學(xué)家比魯尼的著作《馬蘇德規(guī)律》一書中記錄了在三角學(xué)方面的一些創(chuàng)造性的工作.比魯尼給出了一種測量地球半徑的方法：先用邊長帶有刻度的正方形測得一座山的高（如圖1），再于山頂T處懸一個直徑為且可以轉(zhuǎn)動的圓環(huán)（如圖2），從山頂T處觀測地平線上的一點I，測得且，由此可以算得地球的半徑（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由圖可知，，故，
解得.
故選：B.
6. 在任意四邊形中，點，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖：

由，則①，
又②，
由①+②可得，即，
故，設(shè)與夾角為，
則，解得.
故選：C.
7. 已知過點作曲線的切線有且僅有1條，則的值為（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)切點為，
由已知得，則切線斜率，
所以切線方程為，
因為直線過點，則，
化簡得，
又因為切線有且僅有1條，即，解得或2，
故選：A.
8. 已知點在拋物線：（）上，是上不同的兩點（異于點），若直線，被圓：截得的弦長都為，則直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因為點在拋物線：（）上，
所以，解得，即的方程為，
設(shè)，，所以直線的方程為，
因為直線被圓：截得的弦長為，
所以，整理得，
即，即，同理可得，
所以直線的方程為，
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，則
D. 若，，，則
【答案】BCD
【解析】，時，或，A錯誤；
若，，則，B正確；
若，，由線面垂直性質(zhì)定理知，C正確；
，，，如圖，
過m作平面交于直線l，由得，
同理過m作平面與交于直線p，得，所以，而，所以，
又，，則，所以，D正確.
故選：BCD.
10. 已知函數(shù)（），對任意，恒有，且在上單調(diào)遞增，則（ ）
A.
B. 的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
C. 奇函數(shù)
D. 在上的最大值為
【答案】ACD
【解析】由題意可知，，
因為對，恒有，
所以是函數(shù)的一個最值點，即，解得，，
當(dāng)時，，又函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
所以，，
即解得，，
當(dāng)時，，此時，符合題意，所以，，故A正確；
對于選項B：的圖象應(yīng)由向右平移個單位長度得到，故B錯誤；
對于選項C：，為奇函數(shù)，故C正確；
對于選項D：由得，所以，即函數(shù)的最大值為，故D正確；
故選：ACD.
11. 已知定義域為的函數(shù)滿足，且，，則（ ）
A. B. 為偶函數(shù)
C. D.
【答案】BCD
【解析】令，，則，所以，
令，，則，所以，
令，，則，所以，故A錯誤；
令，則，
所以，則，
令，則，所以，
所以，所以為偶函數(shù)，故B正確；
令，則，
所以，則，
所以，故C正確；
由，得，所以4為的一個周期，
由，得，，
所以，
所以，D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在正四棱臺中，，，則正四棱臺的體積為_________.
【答案】或
【解析】如圖，在正四棱臺中，，
則，.
過點作交于點E，過點作交于點F，
則，又，所以，
即正四棱臺的高，
所以正四棱臺的體積
.
故答案為：
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，在橢圓：上，且直線，的斜率之積為，則中點的軌跡方程為_________.
【答案】
【解析】因為點，在橢圓：上，所以，
兩式相加可得，即，
又因為直線，的斜率之積為，所以，可得，
所以，
設(shè)中點為，則，，
所以，即，即中點的軌跡方程為，
故答案：
14. 若，，則_________.
【答案】或
【解析】因為
，
，
所以，故，
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 數(shù)列的前項和為，，當(dāng)時，.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的表達式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的最大項的值.
（1）證明：當(dāng)時，數(shù)列的前項和為，滿足，
即，
整理可得，
因為，則，即，可得，
假設(shè)當(dāng)時，，則，
所以對任意的，，
在等式，兩邊同時除以可得，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項為，公差為2，
所以，得.
（2）解：由（1）得，
則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以，
故數(shù)列的最大項為，其值為.
16. 近些年天然氣使用逐漸普及，為了百姓能夠安全用氣，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《城市燃氣管道等老化更新改造實施方案（2022―2025年）》.某市在實施管道老化更新的過程中，從本市某社區(qū)1000個家庭中隨機抽取了100個家庭燃氣使用情況進行調(diào)查，統(tǒng)計了這100個家庭一個月的燃氣使用量（單位：），得到如下頻數(shù)分布表：
（1）若采用分層抽樣的方法從燃氣使用量在和這兩組的家庭中隨機抽取8個家庭，市政府決定從這8個家庭中抽取4個跟蹤調(diào)查其使用情況，記隨機變量表示這4個家庭中燃氣使用量在內(nèi)的家庭個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）將這一個月燃氣使用量超過22的家庭定為“超標(biāo)”家庭.若該社區(qū)這一個月燃氣使用量服從正態(tài)分布，其中近似為100個樣本家庭的平均值，估計該社區(qū)中“超標(biāo)”家庭的戶數(shù).（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）
附：若X服從正態(tài)分布，則，，.
解：（1）燃氣使用量在的家庭個數(shù)為：（個），
在的家庭個數(shù)為：（個），
則的所有可能取值有0，1，2，
，，，
則的分布列為
所以.
（2）由題意知這100個樣本家庭的平均值，
所以，
又，估計該社區(qū)中“超標(biāo)”家庭的戶數(shù)為159個.
17. 如圖，四邊形為矩形，，，以為折痕將折起，使點到達點的位置.
（1）求三棱錐外接球的表面積；
（2）當(dāng)平面平面時，證明：，并求二面角的余弦值.
（1）解：因為和均為以為斜邊的直角三角形，
所以三棱錐的外接球球心即為的中點，半徑，
所以外接球表面積.
（2）證明：當(dāng)平面平面時，
因為，平面，平面平面，
所以平面.
因為平面，所以.
以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，設(shè)P點坐標(biāo)為（），
由，，得
解得，，即P點坐標(biāo)為，
，.
設(shè)平面，
所以所以令，得，
易知為平面的一個法向量，
所以，
因為二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線E：（，）的兩條漸近線的方程分別為，，直線l是E的切線，l分別交直線，于A，B兩點（A，B分別在第一，四象限），且時，的面積為8.
（1）若E的離心率為，求E的方程；
（2）試探究：是否存在雙曲線E，使的面積恒為8？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，請說明理由.
解：（1）雙曲線E的漸近線方程分別為，，
由雙曲線E的離心率為，得，解得，
當(dāng)時，由對稱性知，直線l方程為，此時的面積為，
則，所以雙曲線E的方程為.
（2）由（1）知，當(dāng)軸時，雙曲線E的方程為，
若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程滿足條件，
當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為，直線l與x軸交于點C，
依題意，得或，則，記，.
由得，同理得，
由得，
而，由直線l與雙曲線E相切，得，
于是，即，
因此，
所以存在雙曲線E，使的面積恒為8，且E的方程為.
19. 一般地，對于給定的兩條直線：和：，把方程（（）為不全為0的實數(shù)）表示由和決定的直線系，當(dāng)與相交時，是以與的交點為中心的中心直線系，當(dāng)與平行時，該直線系稱為平行直線系.在數(shù)學(xué)中把這種具有某種共同性質(zhì)的直線的全體叫做直線系（或直線族）.記直線族（）為，直線族（）為.
（1）分別判斷點，是否在直線族中的某條直線上，說明理由；
（2）若對于給定的實數(shù)（），點不在直線族中的任何一條直線上，求的取值范圍；
（3）直線族包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上每一點處的切線都是該直線族中的某條直線，求的包絡(luò).
解：（1）將代入（），得，解得，
所以直線方程為，故點在直線族中的直線上；
將代入（），得，顯然，方程無解，
所以點不在直線族中的任何一條直線上.
（2）因為對于給定的實數(shù)（），點不在直線族中的任何一條直線上，
則關(guān)于的方程在上無解，即關(guān)于的方程在上無解，
令（），則，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，又當(dāng)時，，
故的值域為，又無解，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.
（3）由（2）可以猜測直線族的包絡(luò)為（），則，
下面證明（）為直線族的包絡(luò)，
①在曲線（）上任取一點，則，
此時的切線方程為，即為，故曲線在每一點處的切線為中的直線；
②在中任取一條直線，由①知，在曲線（）上存在一點，使得在該點處的切線為，
由①②知，（）為直線族的包絡(luò).燃氣使用量(單位：)
頻數(shù)
6
14
18
30
16
12
4
0
1
2

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