1. 復(fù)數(shù)，則等于（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】結(jié)合題意可得：，
所以.
故選：D.
2. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】，解得，
由于是的真子集，
故是的必要不充分條件.
故選：B
3. 已知是奇函數(shù)，則（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】由題意得，即，
所以，故，
所以，解得.
故選：C
4. 第33屆夏季奧運會預(yù)計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運會將新增2個競賽項目和3個表演項目．現(xiàn)有三個場地A，B，C分別承擔(dān)這5個新增項目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（ ）
A. 150種B. 300種C. 720種D. 1008種
【答案】A
【解析】若三個場地分別承擔(dān)個項目，則有種安排，
若三個場地分別承擔(dān)個項目，則有種安排，
綜上，不同的安排方法有種.
故選：A
5. 設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，即，，即，
因為，所以，即，
且，則，
所以.
故選：D
6. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，A為C的右頂點，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于P，Q兩點，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由題意得，以為直徑的圓的方程為，，
漸近線方程為，
聯(lián)立，解得，
不妨令，
故，
因為，所以，
所以，解得，
故離心率.

故選：C
7. 已知等差數(shù)列中，，設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前17項和為（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】由題意知
，
當(dāng)時，，即關(guān)于點成中心對稱，
由于等差數(shù)列中，，故，
故，
，
故數(shù)列的前17項和為
，
故選：C
8. 已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，，則直線與平面夾角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖，由題意可知，，
中，根據(jù)余弦定理可知，則，
過點作平面，，連結(jié)，，連結(jié)，

因為平面，平面，所以
，且平面
所以平面，平面，
所以，又因為，所以，
同理，
中，，則，
根據(jù)等面積公式，，所以，，
又，所以，
則，
直線與平面夾角的夾角為，.
故選：B
二、多項選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.
9. 關(guān)于下列命題中，說法正確的是（ ）
A. 若事件A、B相互獨立，則
B. 數(shù)據(jù)63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位數(shù)為78
C 已知，，則
D. 已知，若，則
【答案】AC
【解析】對于A，若事件A、B相互獨立，則,
而，A正確；
對于B，數(shù)據(jù)63，67，69，70，74，78，85，89，90，95已為從小到大排列，共10個數(shù)，
又，故第45百分位數(shù)為第5個數(shù)74，B錯誤；
對于C，由于，，
故，則，
故，C正確；
對于D，由于，，
故，故，
故，D錯誤，
故選：AC
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的一個周期為2B. 的定義域是
C. 的圖象關(guān)于點對稱D. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】ACD
【解析】對于A，由可知其最小正周期，故A正確；
對于B，由可知，
故B錯誤；
對于C，由可知，
此時的圖象關(guān)于點對稱，故C正確；
對于D，由可知，
又在上遞增，顯然，故D正確.
故選：ACD
11. 如圖，正方體的棱長為2，P是直線上的一個動點，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A. 的最小值為
B. 的最小值為
C. 三棱錐的體積為
D. 以點B為球心，為半徑的球面與面在正方體內(nèi)的交線長為
【答案】ABD
【解析】對于A，為邊長為的等邊三角形，的最小值即該等邊三角形的高，為，故A正確；

對于B，如圖，將等邊繞旋轉(zhuǎn)到與平面共面，
顯然，故B正確；
對于C，當(dāng)P在D上時，，故C錯誤；
對于D，設(shè)點B到平面的距離為d,
，
，
，，
以點B為球心，為半徑的球面與面在正方體內(nèi)的交線是以中心為圓心，以為半徑的圓，

如圖，圓有一部分在正方體外，，由A得，
，所以，，
所以有圓周在正方體內(nèi)部，其長度為，故D對.
故選：ABD.
12. 已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于、兩點，與其準(zhǔn)線交于點，為的中點，且，點是拋物線上間不同于其頂點的任意一點，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，拋物線在、兩點處的切線交于點，則下列說法正確的是（ ）
A. 拋物線焦點的坐標(biāo)為
B. 過點作拋物線的切線，則切點坐標(biāo)為
C. 在中，若，，則的最大值為
D.
【答案】CD
【解析】對于A選項，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)點，因為為線段的中點，則，
由拋物線的定義可得，解得，則，A錯；
對于B選項，由A選項可知，拋物線的方程為，點，
若切線的斜率不存在，則該直線與拋物線相交，且只有一個交點，不合乎題意，
所以，切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，
聯(lián)立可得，則，解得，
所以，切點橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，故切點坐標(biāo)為，B錯；
對于C選項，過點作與直線垂直，垂足點為點，
由拋物線的定義可得，，
由圖可知，當(dāng)直線與拋物線相切時，銳角取最大值，
此時，取最大值，

由B選項可知，銳角的最大值為，故的最大值為，C對；
對于D選項，設(shè)點、，
若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，
所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，，
由韋達定理可得，，對函數(shù)求導(dǎo)得，
所以，直線的方程為，即，
同理可知，直線的方程為，
因為，則，
聯(lián)立可得，即點，
則，而，
所以，，則，
所以，，
由可得，所以，，D對
故選：CD.
三、填空題：本題共4小題.
13. 已知向量，，若，則____________.
【答案】
【解析】因為，，所以，
因為，所以，
解得.
故答案為：.
14. 的展開式中的系數(shù)為______.
【答案】
【解析】
【分析】展開式的通項為，
令，得，
所以展開式中的系數(shù)為.
故答案為：
15. 過原點的動直線l與圓交于不同的兩點A，B.記線段的中點為P，則當(dāng)直線l繞原點轉(zhuǎn)動時，動點P的軌跡長度為____________.
【答案】
【解析】由題意可知圓的圓心為，半徑為，
根據(jù)圓的性質(zhì)可知，則為直角三角形，即P在以為直徑的圓上，
設(shè)中點為E，該圓半徑為，易知，
又線段的中點為P，則P在圓的內(nèi)部，如圖所示其軌跡即.
因為，易得，則，
所以的弧長為.
故答案為：
16. 設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，則的范圍為____________.
【答案】
【解析】由，可得，
因為是函數(shù)的兩個極值點，
所以是的兩根，當(dāng)時，方程不成立，
故是的兩根，即與的圖象有兩個交點，
令則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.
則圖象如下圖所示，

由圖象可知：且
因為，所以，
當(dāng)時，不妨令，
則，即，化簡得，即，
當(dāng)時，，
若，則，即的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.
（1）求角B的大?。?br>（2）若，D為邊上的一點，，且______________，求的面積．①是的平分線；②D為線段的中點.（從①，②兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上并作答）.
解：（1）由正弦定理知，，
，
代入上式得，
，，，
，.
（2）若選①：由平分得：，
，
即.
在中，由余弦定理得，
，
聯(lián)立，得，
解得，
若選②：得，
，
得，
在中，由余弦定理得，
，
聯(lián)立，得，
18. 已知遞增的等比數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列.
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項和.
解：（1）設(shè)公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，
所以，
解得或（舍去），
所以.
（2）根據(jù)題意得
.
19. 如圖，在圓柱體中，，，劣弧的長為，AB為圓O的直徑．

（1）在弧上是否存在點C（C，在平面同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；
（2）求二面角的余弦值．
解：（1）存在，當(dāng)為圓柱的母線時，．證明如下：
連接BC，AC，，因為為圓柱的母線，所以平面ABC，
又因為平面ABC，所以．
因為AB為圓O的直徑，所以．
又，平面，所以平面，
因為平面，所以．
（2）以為原點，OA，分別為y，z軸，垂直于y，z軸的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，
因為劣弧的長為，所以，，
則，．
設(shè)平面的法向量，
則，
令，解得，，所以．
因為x軸垂直平面，所以平面的一個法向量．
所以，
又二面角的平面角為銳角，
故二面角的余弦值為．
20. 某學(xué)校進行趣味投籃比賽，設(shè)置了A，B兩種投籃方案.方案A：罰球線投籃，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分線外投籃，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙兩位員工參加比賽，選擇方案A投中的概率都為，選擇方案B投中的概率都為，每人有且只有一次投籃機會，投中與否互不影響.
（1）若甲選擇方案A投籃，乙選擇方案B投籃，記他們的得分之和為X，，求X的分布列；
（2）若甲、乙兩位員工都選擇方案A或都選擇方案B投籃，問：他們都選擇哪種方案投籃，得分之和的均值較大？
解：（1）依題意，甲投中的概率為，乙投中的概率為，
于是得，解得，
X的所有可能值為0，2，3，5，
，，
，，
所以X的分布列為：
（2）設(shè)甲、乙都選擇方案A投籃，投中次數(shù)為，都選擇方案B投籃，投中次數(shù)為，
則，，
則兩人都選擇方案A投籃得分和的均值為，
都選擇方案B投籃得分和的均值為，
則，
，
若，即，解得；
若，即，解得；
若，即，解得.
所以當(dāng)時，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A投籃，得分之和的均值較大；
當(dāng)時，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A或都選擇方案B投籃，得分之和的均值相等；
當(dāng)時，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案B投籃，得分之和的均值較大.
21. 已知橢圓的焦距為，左、右頂點分別為，上頂點為B，且．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過且斜率為k的直線l與橢圓C在第一象限相交于點Q，與直線相交于點P，與y軸相交于點M，且．求k的值．
解：（1）由題意得，解得，
又，故，即，
又，解得，，
故橢圓方程為；
（2）直線l的方程為，，
與聯(lián)立得，
設(shè)，則，解得，
因為點Q在第一象限，所以，解得，
直線方程為，與聯(lián)立得，故，
中，令得，故，
因為，所以，
整理得，
即，化簡得，
解得或，其中不滿足，舍去，滿足要求，
故.
22. 已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.
（1）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點的個數(shù)；
（2）若，且在上的最小值為，證明：當(dāng)時，.
解：（1）由題意，得的定義域為，.
顯然當(dāng)時，恒成立，無零點
當(dāng)時，取，
則，即單調(diào)遞增，
又，，
所以導(dǎo)函數(shù)存在唯一零點.
故當(dāng)時，存在唯一零點，當(dāng)時，無零點.
證明：（2）由（1）知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以.
因為，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，
所以，所以.
又，所以，所以.
根據(jù)題意，要證，即證，只需證.
令，則.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增.
又，，
所以有唯一的零點.
當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增，
所以.
又因，所以，所以，
故.0
2
3
5

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