1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所?
故選：A.
2. 已知復(fù)數(shù)（其中虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
故.
故選：C.
3. 在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
故選：C.
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】．
故選：B.
5. 已知集合，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由，可得，所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，
由，可得，所以，所以，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
6. 已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如圖：
在中，，
由余弦定理：,
所以，所以外接圓半徑為，即.
在直角三角形中，，，所以.
設(shè)棱錐外接球半徑為，在直角三角形中，，
解得：.所以球的表面積為：.
故選：A.
7. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上的投影為點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】由拋物線可知，焦點(diǎn)為，
設(shè)，則，則，
所以，
當(dāng)時(shí)，的最小值是.
故選：B.
8. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所?
因?yàn)椋?br>所以，即，
又，
所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即.
故選:A.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)選的得0分．）
9. 隨著科技的發(fā)展和燃油車成本的上升，人們對(duì)新能源汽車的需求逐步增加，從而推動(dòng)了廠商產(chǎn)品力的提升和新能源汽車銷量的快速增長，如圖為某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的2017-2025年中國新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模及預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，則（ ）

A. 2017-2023年中國新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模逐年增長
B. 2017-2023年中國新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模的中位數(shù)為3.4千億元
C. 逐年比較，預(yù)計(jì)2025年中國新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模的增長量最大
D. 2017-2025年中國新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模與年份的關(guān)系可以用指數(shù)型函數(shù)模型進(jìn)行擬合
【答案】ABD
【解析】對(duì)A：從2017-2023年中國新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模數(shù)據(jù)看新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模逐年增長，故A正確；
對(duì)B：數(shù)據(jù)從小到大排列為1.6，2.8，3.0，3.4，6.0，9.9，11.5，共7個(gè)數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為第4個(gè)數(shù)據(jù)3.4，故B正確；
對(duì)C：2021年增長是為，2022年增長1.6，2023年增長6.9，2024年增長4.7，
從增長量上看并不是逐年增加，故無法預(yù)計(jì)2025年的增長量最大，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：從數(shù)據(jù)上看，市場(chǎng)規(guī)模前期增長緩慢，后期增長較快，故可用指數(shù)型函數(shù)模型進(jìn)行擬合，故D正確；
故選：ABD.
10. 已知函數(shù)滿足，函數(shù)圖象上距原點(diǎn)最近的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（ ）
A. 的最小正周期為
B.
C. 為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸
D. 為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
【答案】BC
【解析】
由函數(shù)圖象上距原點(diǎn)最近的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，
可得，，，
由得，得，又，故，
故由得，
由，得，故，
故，
故，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
由得函數(shù)的對(duì)稱軸為，
當(dāng)?shù)?，故C正確；
由得函數(shù)的對(duì)稱中心為，
令得，故D錯(cuò)誤，
故選：BC.
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
B. 是函數(shù)的極值點(diǎn)
C. 過原點(diǎn)僅有一條直線與曲線相切
D. 若，則
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，
令，則.
解可得，，所以在上單調(diào)遞增；
解可得，，所以在上單調(diào)遞減.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，
所以，恒成立，即恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，由A可知，在上單調(diào)遞增，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率，
所以過的切線方程為.
又切線經(jīng)過原點(diǎn)，所以有，
整理為.
令，有，
當(dāng)時(shí)，，有；當(dāng)時(shí)，，有.
所以恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增.
又由，，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
故過原點(diǎn)僅有一條直線與曲線相切，選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，若，有，
由函數(shù)單調(diào)遞增，
有，.
令，有．
令，有
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
可得恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增.
又由，
所以時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減；
時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，
所以，故成立，選項(xiàng)D正確．
故選：ACD.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12. 若直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為______.
【答案】
【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由得，
所以切線的斜率為：，
所以曲線在處的切線方程為：，
即，
所以，所以，所以.
故答案：.
13. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且，，恰好構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則______．
【答案】5
【解析】①，
∴當(dāng)時(shí)，②，
①②得，即.
∵數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，
，即數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.
∵，，恰好構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)，
，解得，.
故答案為：5.
14. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進(jìn)，每次跳躍的長度都是5且落在整點(diǎn)處.則點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)所跳躍次數(shù)的最小值是__________.
【答案】10
【解析】每次跳躍的路徑對(duì)應(yīng)的向量為
因?yàn)榍筇S次數(shù)的最小值，則只取，
設(shè)對(duì)應(yīng)的跳躍次數(shù)分別為，其中，
可得
則，兩式相加可得，
因?yàn)?，則或，
當(dāng)時(shí)，則次數(shù)為；
當(dāng)，則次數(shù)為；
綜上所述：次數(shù)最小值為10.
故答案為：10.
四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15. 已知△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，.
（1）求csC；
（2）若，，求b.
解：（1）由已知，
由余弦定理，得，
得，所以，所以
（2）由正弦定理得，
則，又
所以，又，
所以，即
又，所以，
由，得，
所以，
由正弦定理：.
16. 習(xí)總書記在十九大報(bào)告中提出鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，廈門市政府貫徹落實(shí)實(shí)施這一戰(zhàn)略，形成了“一村一品一業(yè)”的新格局．同安區(qū)郭山村是全國科教興村計(jì)劃試點(diǎn)村，也是廈門市第一批科技示范村，全村從事以紫長茄為主的蔬菜種植受種植條件、管理水平、市場(chǎng)等因素影響，每年紫長茄的平均畝產(chǎn)量和統(tǒng)一收購價(jià)格會(huì)有波動(dòng)，畝產(chǎn)量與收購價(jià)格互不影響．根據(jù)以往資料預(yù)測(cè)，該村紫長茄今年的平均畝產(chǎn)量X（單位：噸）的分布列如下：
紫長茄今年的平均統(tǒng)一收購價(jià)格Y（單位：萬元／噸）的分布列如下：
（1）某農(nóng)戶種植三個(gè)大棚紫長茄，每個(gè)大棚1畝，每個(gè)大棚產(chǎn)量相互獨(dú)立，求這三個(gè)大棚今年總產(chǎn)量不低于34噸的概率；
（2）紫長茄今年每畝種植成本約1.5萬元，設(shè)Z表示該村紫長茄今年平均每畝的利潤（單位：萬元），求Z的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解：（1）設(shè)事件A表示一個(gè)大棚畝產(chǎn)量為12噸，事件A發(fā)生的次數(shù)為，因?yàn)槊總€(gè)大棚產(chǎn)量相互獨(dú)立，所以
這三個(gè)大棚總產(chǎn)量不低于34噸的概率
（2）設(shè)事件B表示畝產(chǎn)量為10噸，事件C表示市場(chǎng)價(jià)格為0.5萬元／噸，則，
每畝利潤Z的所有可能取值為：，
，
，
，
所以Z的分布列為
利潤Z的數(shù)學(xué)期望（萬元）．
17. 如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且D為棱AB的中點(diǎn)．
（1）證明：平面．
（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
（1）證明：由三棱柱的性質(zhì)可知．
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且是等邊三角形，所以．
因?yàn)槠矫?，且?br>所以平面．
（2）解：取的中點(diǎn)，連接．由題意可得兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則，
故．
設(shè)平面的法向量為，
則令，得．
設(shè)平面的法向量為，
則令，得．
設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，
則，
即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
18. 已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PB交直線于點(diǎn)T，連接AT交橢圓C于點(diǎn)Q，直線AP，AQ的斜率分別為，．
（i）求證：為定值；
（ii）設(shè)直線PQ：，證明：直線PQ過定點(diǎn)．
（1）解：由橢圓C過點(diǎn)得，
又離心率為，即，則，∴．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）（i）證明：設(shè)，，，由（1）知，，
顯然，，
而，則．
，
又，即，
∴為定值．
（ii）證明：由消去x，得，①
，
由①得，，又，
則
，
解得（舍）或，滿足，
因此直線PQ的方程為，∴直線PQ過定點(diǎn)．
19. 已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．定義：若存在，使得對(duì)任意的，恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．
（1）若，且為“2數(shù)列”，求．
（2）若，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)的平方和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，求的值和的通項(xiàng)公式．
（3）若，，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)和為，證明：．
（1）解：由，且為“2數(shù)列”，得，即，
則，
，
，
．
（2）解：設(shè)數(shù)列的公比為，
由，得，
即，
則．
兩式相減得，
即．
因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為2的“數(shù)列”，所以，
即，
所以，
即對(duì)任意的恒成立．
因?yàn)?，?br>則，即，
解得，．
又由，即，得，所以．
檢驗(yàn)可知符合要求，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（3）證明：因?yàn)闉椤皵?shù)列”，所以，
即對(duì)任意的恒成立，
因?yàn)?，，所以?br>再結(jié)合，，，反復(fù)利用，
可得對(duì)任意的，．
設(shè)函數(shù)，則．
由，得．
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時(shí)，，即．
又，所以．
可得，，，，
累加可得，
即，即，
所以．X
10
12
P
0.5
0.5
Y
0.5
0.6
P
0.8
0.2
Z
3.5
4.5
5.7
P
0.4
0.5
0.1

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