1. 設(shè)集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意可得．
故選：B.
2. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得，則，即，
所以.
故選：C
3. 設(shè)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故，
又函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以．
故選：A.
4. 記無窮等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為．設(shè)甲：且；乙：有最小值，則（ ）
A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件
B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件
C. 甲是乙的充要條件
D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】A
【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，數(shù)列存在前項(xiàng)小于，從第項(xiàng)開始不小于，此時(shí)有最小值，所以甲是乙的充分條件．
又當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以甲不是乙的必要條件．
綜上，甲是乙的充分條件不必要條件.
故選：A
5. 已知且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>故選：C
6. 已知向量滿足，且與的夾角為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故選：D．
7. 已知函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得．
令．
當(dāng)時(shí)，與的大致圖象如圖（1）所示，
由于兩個(gè)函數(shù)的圖象都關(guān)于直線對稱，此時(shí)如果有交點(diǎn)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，不可能只有一個(gè)；
當(dāng)時(shí)，方程無解；
當(dāng)時(shí)，與的大致圖象如圖（2）所示，要使兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
則有，即，則．
故選：C.
8. 已知四面體ABCD的頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上，若，則四面體ABCD體積的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)為AB的中點(diǎn)，為CD的中點(diǎn)，為四面體ABCD外接球的球心，
因?yàn)椋?br>所以，又，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)AB與CD垂直，且均與EF垂直時(shí)取等號．
故選：B．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知為空間內(nèi)的一條直線，為空間內(nèi)兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】BC
【解析】對于A，若，則可能或與相交，故A錯(cuò)誤；
對于B，根據(jù)面面垂直的判定定理可知B正確；
對于C，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知C正確；
對于D，若，則可能，或與相交且成“任意”的角，故D錯(cuò)誤．
故選：BC.
10. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】對于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以，故A錯(cuò)誤；
對于B，由，得，
即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故B正確；
對于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故C正確；
對于D，，
又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故D正確．
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則（ ）
A. B. 是偶函數(shù)
C. 以4為周期D.
【答案】ABD
【解析】由題意，，
對于A，令，得，則，
令，得，
則，所以，故A正確；
對于B，令，得，得，
所以是偶函數(shù)，故B正確；
對于C，由A知，，則，
所以，
則，所以函數(shù)以6為周期，故C錯(cuò)誤；
對于D，，
，
則，
又，所以，故D正確．
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知是奇函數(shù)，則的值為______．
【答案】4
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以恒成立，
即，
所以.
13. 已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則______．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>又因?yàn)樵趨^(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，
所以的最小正周期，即，
所以．
14. 對于數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，稱為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中．已知數(shù)列bn滿足，且為bn的二階差分?jǐn)?shù)列，則數(shù)列bn的前項(xiàng)和______．
【答案】
【解析】因?yàn)闉閎n的二階差分?jǐn)?shù)列，即，
由，故，
可知，即，
得，
所以，又，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
因此，，
所以①，
得②，
得，
故．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行．
（1）求；
（2）求在區(qū)間上的最大值．（參考數(shù)據(jù)：）
解：（1）由題意得．
由點(diǎn)處的切線與直線平行知，即，
所以．
（2）由（1）知．
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增．
所以在區(qū)間上最大值為和中的較大者．
因?yàn)椋?br>所以，即，
故在區(qū)間上的最大值為．
16. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求；
（2）如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，且，證明：．
解：（1），
∴由正弦定理得，整理得．
∴由余弦定理得，
又．
（2）設(shè)．
在中，由余弦定理可得，
，整理得，
即：，解得：或，
由題易知舍去，下證即可得證明.
在中，，即．
∴結(jié)合（1）有，
故，即．證畢.
17. 如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，平面平面，．
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
解：（1）平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面．
（2）如圖，過作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)．
由（1）得平面平面，
兩兩垂直，
故以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由條件可得，，
．
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，，
所以為平面的一個(gè)法向量．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為．
18. 已知是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，為等比數(shù)列，，．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）記，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，，解得?br>所以，.
設(shè)的公比為，因?yàn)?，?br>解得，所以，.
（2）因?yàn)椋?br>當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
．
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．
所以，.
（3）因?yàn)?，?br>令，
則，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，數(shù)列的最大項(xiàng)為，
因?yàn)楹愠闪?，所以，，即?shí)數(shù)的取值范圍為．
19. 帕德逼近是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)現(xiàn)的一種用有理函數(shù)逼近任意函數(shù)的方法．帕德逼近有“階”的概念，如果分子是次多項(xiàng)式，分母是次多項(xiàng)式，那么得到的就是階的帕德逼近，記作．一般地，函數(shù)在處的階帕德逼近定義為：，且滿足，．
注：．
已知函數(shù)在處的階帕德逼近為．
（1）求的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大??；
（3）證明：當(dāng)時(shí)，．
（1）解：由題意知，
，
即解得
所以．
（2）解：設(shè)，則．
記，則．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，僅當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減．
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
即當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
（3）證明：要證當(dāng)時(shí)，，需證．
設(shè)，則．
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即．
要證，只需證，需證．
記，易知在上單調(diào)遞增．
由（2）知，當(dāng)時(shí)，，即，
取，則有．
所以結(jié)論成立．

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