新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)+提升訓(xùn)練專題5.3 平面向量與其它知識的綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【811】．（2016·四川·高考真題·★★★★）
在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足==,===–2，動點P，M滿足=1，=，則的最大值是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【詳解】
試題分析：甴已知易得.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則設(shè)由已知，得，又
，它表示圓上的點與點的距離的平方的，，故選B.
【考點】平面向量的數(shù)量積運算，向量的夾角，解析幾何中與圓有關(guān)的最值問題
【名師點睛】本題考查平面向量的夾角與向量的模，由于結(jié)論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個參數(shù)表示出來，解題時首先對條件進(jìn)行化簡變形，本題中得出，且，因此我們采用解析法，即建立直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，同時動點的軌跡是圓，則，因此可用圓的性質(zhì)得出最值．因此本題又考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
【812】．（2018·全國·專題練習(xí)·★★★★）
在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若= +，則+的最大值為
A．3B．2C．D．2
【答案】A
【解析】
【詳解】
如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè),
易得圓的半徑，即圓C的方程是，
，若滿足，
則，，所以，
設(shè)，即，點在圓上，
所以圓心到直線的距離，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.
【名師點睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算.
（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.
【813】．（2013·湖南·高考真題·★★★）
已知是單位向量，.若向量滿足（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【詳解】
因為，，做出圖形可知，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反且時，取到最大值；最大值為；當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同且時，取到最小值；最小值為.
【814】．（2015·湖南·高考真題·★★★）
已知點A,B,C在圓上運動，且ABBC，若點P的坐標(biāo)為（2，0），則的最大值為
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解析】
【詳解】
由題意，AC為直徑，所以 ,當(dāng)且僅當(dāng)點B為（-1，0）時，取得最大值7，故選B.
考點：直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運算性質(zhì)
【名師點睛】與圓有關(guān)的最值問題是命題的熱點內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想. 由平面幾何知識知，圓上的一點與圓外一定點距離最值在定點和圓心連線與圓的兩個交點處取到．圓周角為直角的弦為圓的半徑，平面向量加法幾何意義這些小結(jié)論是轉(zhuǎn)化問題的關(guān)鍵.
【815】．（2012·全國·高考真題·★★）
正方形的邊長為，點在邊上，點在邊上，．動點從出發(fā)沿直線向運動，每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當(dāng)點第一次碰到時，與正方形的邊碰撞的次數(shù)為
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【詳解】
結(jié)合已知中的點E,F的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞6次即可.
【816】．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測·★★★★）（多選題）
已知點在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（）
A．若為的垂心，，則
B．若為邊長為2的正三角形，則的最小值為-1
C．若為銳角三角形且外心為，且，則
D．若，則動點的軌跡經(jīng)過的外心
【答案】ACD
【解析】
【分析】
A利用三角形相似及數(shù)量積的幾何意義判斷：B構(gòu)建直角坐標(biāo)系，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列式求最值；C由已知得，進(jìn)而可知與中點共線，結(jié)合外心的性質(zhì)有垂直平分即可判斷；D將等式兩側(cè)同時點乘并化簡得，即可判斷.
【詳解】
A：如下圖，，則為垂心，易知：，
所以，則，
根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知：，同理，
所以，正確；
B：構(gòu)建以中點為原點的直角坐標(biāo)系，則，若，
所以，，
由，則，
當(dāng)時的最小值為，錯誤；

C：由題設(shè)，則，
所以，若為中點，則，
故，故共線，又，即垂直平分，
所以，正確；
D：由題設(shè)，，
則，
所以，若為中點，則，
故，所以的軌跡經(jīng)過的外心，正確.
故選：ACD
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：A根據(jù)垂心性質(zhì)，三角形相似關(guān)系、數(shù)量積的幾何意義得到；B構(gòu)建直角坐標(biāo)系，應(yīng)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示列式判斷；C、D根據(jù)外心的性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合化簡題設(shè)向量的線性關(guān)系式判斷.
【817】．（2022·重慶八中模擬預(yù)測·★★★★）（多選題）
在△中，內(nèi)角所對的邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（）
A．
B．若，則
C．
D．若，且，則△為等邊三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】
A由正弦定理及等比的性質(zhì)可說明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)有，由正弦定理即可證；D若，，根據(jù)單位向量的定義，向量加法的幾何意義及垂直表示、數(shù)量積的定義易知△的形狀.
【詳解】
A：由，根據(jù)等比的性質(zhì)有，正確；
B：當(dāng)時，有，錯誤；
C：，而，即，由正弦定理易得，正確；
D：如下圖，是單位向量，則，即、，則且平分，的夾角為，易知△為等邊三角形，正確.
故選：ACD
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：D選項，注意應(yīng)用向量在幾何圖形中所代表的線段，結(jié)合向量加法、數(shù)量積的幾何意義判斷夾角、線段間的位置關(guān)系，說明三角形的形狀.
【818】．（2021·山東泰安·模擬預(yù)測·★★★★）（多選題）
如圖，在直角三角形中，，點在以為圓心且與邊相切的圓上，則（）
A．點所在圓的半徑為2B．點所在圓的半徑為1
C．的最大值為14D．的最大值為16
【答案】AC
【解析】
【分析】
斜邊BC上的高即為圓的半徑；把求的最大值通過向量加法的三角形法則轉(zhuǎn)化為求的最大值，從而判斷出P，M，A三點共線，且P，M在點A的兩側(cè)時取最大值.
【詳解】
設(shè)AB 的中點為M，過A作AH垂直BC于點H，因為，所以，，
所以由，得，所以圓的半徑為2，即點所在圓的半徑為2，所以選項A正確，B錯誤；
因為，，，
所以
，
所以當(dāng)P，M，A三點共線，且P，M在點A的兩側(cè)時，取最大值，且最大值為，
所以的最大值為，所以選項C正確，D錯誤.
故選：AC.
【819】．（2021·廣東·珠海市第二中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）（多選題）
點O在所在的平面內(nèi),則以下說法正確的有
A．若,則點O為的重心
B．若,則點O為的垂心
C．若,則點O為的外心
D．若,則點O為的內(nèi)心
【答案】AC
【解析】
逐項進(jìn)行分析即可.
【詳解】
解：選項A，設(shè)D為的中點，由于，所以為邊上中線的三等分點(靠近點D)，所以O(shè)為的重心；
選項B，向量分別表示在邊和上的單位向量，設(shè)為和，則它們的差是向量，則當(dāng)，即時，點O在的平分線上，同理由，知點O在的平分線上，故O為的內(nèi)心；
選項C，是以為鄰邊的平行四邊形的一條對角線，而是該平行四邊形的另一條對角線，表示這個平行四邊形是菱形，即，同理有，于是O為的外心；
選項D，由得，
∴，即，
∴．同理可證，
∴，，，即點O是的垂心；
故選：AC．
【點睛】
本題主要考查平面向量在三角形中的應(yīng)用，考查向量的數(shù)量積，考查三角形的“五心”，屬于中檔題．
【820】．（2022·黑龍江·哈九中二模·★★★）
窗的運用是中式園林設(shè)計的重要組成部分，在表現(xiàn)方式上常常運用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境．從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等．已知圓O是某窗的平面圖，O為圓心，點A在圓O的圓周上，點P是圓O內(nèi)部一點，若，且，則的最小值是（）
A．3B．4C．9D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的線性運算，結(jié)合數(shù)量積，可求得，確定其取值范圍，再根據(jù)平方后的式子，即可求得答案.
【詳解】
因為，所以，
所以，即，則．
因為點P是圓O內(nèi)部一點，所以，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值是3,
故選：A.
【821】．（2020·山西·太原五中二?！ぁ铩铩铮?br>設(shè)O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足，，則點P的軌跡經(jīng)過的（）
A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心
【答案】C
【解析】
【分析】
由得出，結(jié)合三角形的性質(zhì)得出答案.
【詳解】
則，即，故
即點P的軌跡經(jīng)過的垂心
故選：C
【822】．（2021·吉林吉林·三?！ぁ铩铩铮?br>已知?為平面上的兩個定點，且，該平面上的動線段的端點?，滿足，，，則動線段所形成圖形的面積為（）
A．36B．60C．72D．108
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)和，得到動點在直線上，且，進(jìn)而得到掃過的三角形的面積，再由，同理得到掃過的三角形的面積，兩者求和即可.
【詳解】
根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，設(shè)，
∴，；
由，得；
又，
∴，；
∴；
∴，
∴動點在直線上，且，即線段CD上，則,
則掃過的三角形的面積為，
設(shè)點
∵，
∴，
∴，，
∴動點在直線上，且，即線段MN上，則,
∴掃過的三角形的面積為，
∴因此和為60，
故選：B.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是由和，得到動點的軌跡，進(jìn)而得到掃過的三角形的面積而得解.
【823】．（2022·浙江·高考真題·★★★★）
設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，即可求出各頂點的坐標(biāo)，設(shè)，再根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)計算公式即可得到，然后利用即可解出．
【詳解】
以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則,，設(shè),于是，
因為，所以，故的取值范圍是.
故答案為：．
【824】．（2015·天津·高考真題·★★★★★）
在等腰梯形中,已知 ,動點和分別在線段和上,且, 則的最小值為_____________________.
【答案】
【解析】
【詳解】
因為，，
，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時的最小值為.
考點：向量的幾何運算、向量的數(shù)量積與基本不等式.
【825】．（2014·江蘇·高考真題·★★★）
如圖在平行四邊形中，已知，，則的值是______．
【答案】22
【解析】
【詳解】
由題意，，，
所以，
即，解得．
【考點】向量的線性運算與數(shù)量積．
【826】．（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測·★★★★）
窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形前紙窗花．圖2中正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點在正六邊形的邊上運動，則的最小值為（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
計算得出，求出的取值范圍，由此可求得的取值范圍，從而可得最小值.
【詳解】
如下圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，、、、、、均為邊長為的等邊三角形，
當(dāng)點位于正六邊形的頂點時，取最大值，
當(dāng)點為正六邊形各邊的中點時，取最小值，即，
所以，.
所以，.
的最小值為.
故選：D.
【點睛】
方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標(biāo)運算；
（3）利用數(shù)量積的幾何意義．
具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用．
【827】．（2022·全國·模擬預(yù)測·★★★★）
已知H為的垂心，若，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
，，利用、得，，解得，再利用平方共線可得答案.
【詳解】
依題意，，同理．
由H為△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，
即，解得，
，又，
所以．
故選：C．
【828】．（2022·山東·勝利一中模擬預(yù)測·★★★）
已知為單位向量，滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)，以為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，可得.
【詳解】
設(shè)，則，所以為等邊三角形，
以為原點建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)，，則，
所以在以為圓心，1為半徑的圓上，
因為，
所以.
故選：A.
【829】．（2022·重慶八中模擬預(yù)測·★★★）
中，，，，PQ為內(nèi)切圓的一條直徑，M為邊上的動點，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
易知是直角三角形，利用等面積法可得內(nèi)切圓半徑，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，根據(jù)為直徑，可知，，整理，進(jìn)而根據(jù)的運動情況來求解.
【詳解】
由題可知，，所以是直角三角形，，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，
設(shè)內(nèi)切圓圓心為，因為是內(nèi)切圓的一條直徑，
所以，，
則，，
所以，
因為M為邊上的動點，所以；當(dāng)與重合時，，
所以的取值范圍是，
故選：C
【830】．（2022·浙江寧波·二?！ぁ铩铩铩铩铮?br>已知平面向量，，滿足，，，（，）.當(dāng)時，（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析題目條件，得到，畫出草圖，利用等和線得到，過O點,C點分別向AB做垂線，得到兩個相似比為1比3的直角三角形，設(shè)出∠CAB=θ，然后利用角表示邊，通過勾股定理得到角的大小，從而得到邊長的大小，進(jìn)而求出的大小
【詳解】
解析：作，，，由題意，
設(shè)直線與直線交于點，
∵（，），
∴點在線段上（不含端點）
又，結(jié)合等和線性質(zhì)，可知
作于，于，
有，
記
①當(dāng)點在線段上時，，
由，得，可解得，進(jìn)而有
此時，，
（注：點為線段的中點，在線段上，符合題意）
可得，所以
②當(dāng)點在線段的反向延長線上時，同①方法可推得點與點重合，矛盾綜上，.
故選：A
【831】．（2022·浙江臺州·二?！ぁ铩铩铩铩铮?br>已知平面向量.若對區(qū)間內(nèi)的三個任意的實數(shù),都有,則向量與夾角的最大值的余弦值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立直角坐標(biāo)系,設(shè)出相關(guān)向量,通過分析位置,尋求臨界值.
【詳解】
設(shè).
如圖,不妨設(shè).
設(shè)為AB的中點,為OC的中點,為BD的中點,為AD的中點.
則.
,點在平行四邊形內(nèi)(含邊界).
由題知恒成立.
為了使最大,則思考為鈍角,即思考點在第一或第四象限.
思考臨界值即與重合,與重合,且GM不能充當(dāng)直角三角形斜邊,否則可以改變的位置，使得
所以,即
即,即.
所以.
所以
所以向量與夾角的最大值的余弦值為
故選:A.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用已知條件轉(zhuǎn)化出所在的位置.
【832】．（2022·上海金山·二?！ぁ铩铩铮?br>已知平面向量滿足，若關(guān)于的方程有實數(shù)解，則面積的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
對兩邊平方有有解，再利用基本不等式可得，進(jìn)而求得面積的最大值即可
【詳解】
設(shè)，因為，故，則，顯然，對兩邊平方有，即有解，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故，則面積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故答案為：
【833】．（2022·浙江·模擬預(yù)測·★★★）
已知平面內(nèi)兩單位向量，若滿足，則的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)出得到，由不得關(guān)系得到，從而得到最小值.
【詳解】
由題意,可以設(shè)，
則由得，
由，
所以，解得：
即的最小值是.
【點睛】
對于向量相關(guān)的不等式，最值問題，合理設(shè)出向量的坐標(biāo)，可以大大簡化做題難度和計算量.
【834】．（2022·江蘇鹽城·三模·★★★）
已知平面凸四邊形ABCD，點E、F分別在AD、BC上，滿足，，且，與的夾角為，設(shè)，，則的最大值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】
以、為基底表示出，再將式子兩邊平方轉(zhuǎn)化為長度關(guān)系，由此即可利用基本不等式求得m+2n的最大值﹒
【詳解】
∵①，且②，
則①×2+②得：，
即，
∵，，∴，
兩邊平方可得，，
∴，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
故答案為：．
【835】．（2022·浙江金華·三?！ぁ铩铩铩铮?br>已知平面向量，，滿足，當(dāng)取到最小值吋，對任意實數(shù)，的最小值是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】
構(gòu)造單位圓，設(shè)出向量，，，由題設(shè)得到CA、CB是圓O的兩條切線，，從而由當(dāng)取到最小值時，求得，結(jié)合表示的是以O(shè)為起點，終點在AB上的向量，可求得答案.
【詳解】
如圖，設(shè)為單位圓O的兩條半徑，記，，，
設(shè)，由題意，
可知CA、CB是圓O的兩條切線，則，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“＝”，此時，
因為表示的是以O(shè)為起點，終點在AB上的向量，
故當(dāng)該向量垂直于向量時，其模最小，
記，則，則，
故答案為：
【836】．（2022·天津市第四中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★★）
如圖，已知，是直角兩邊上的動點，，，，，，則的最大值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
以點為原點，，所在直線為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用三角函數(shù)關(guān)系表示，，的坐標(biāo)，由題干條件分析可知為的中點，為的中點，即可得到，的坐標(biāo)，進(jìn)而得到與，整理可得為關(guān)于的函數(shù)，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值.
【詳解】
如圖，以點為原點，，所在直線為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，
在中，，，
所以設(shè)，，，即.
由題意可知為的中點，為的中點，
所以，，
所以，，
所以

（其中，為銳角），
所以的最大值為，此時，即，
故答案為：
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：題目中給出垂直關(guān)系，可利用坐標(biāo)法處理此題，設(shè)，點坐標(biāo)即可用關(guān)于的三角函數(shù)關(guān)系表示，則將問題整理為關(guān)于的正弦型函數(shù)求最大值問題.
【837】．（2022·四川達(dá)州·二模·★★）
在中，為重心，，，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)中點為，由重心性質(zhì)知，利用數(shù)量積定義可求得，將所求量化為，由數(shù)量積的定義和運算律可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)中點為，
為的重心且，，
，
，
，
.
故答案為：.
【838】．（2022·遼寧·一模·★★★）
已知向量、、，且，，，，則的最小值為______．
【答案】##
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，寫出、、坐標(biāo)，求出終點軌跡，數(shù)形結(jié)合即可求解.
【詳解】
不妨設(shè)，，，
，則起點在原點，終點軌跡為單位圓，
∴當(dāng)與同向時，最小，為.
故答案為：.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多