新高考數(shù)學一輪專項（數(shù)列）訓練專題06 等差數(shù)列基本量的計算（2份，原卷版+解析版）

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(1)等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)．
(2)等差中項
若三個數(shù)，a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A＝eq \f(a＋b,2)．
2．等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d或Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)．
【基本方法】
解決等差數(shù)列基本量計算問題的方法
(1)在等差數(shù)列{an}中，a1與d是最基本的兩個量，一般可設(shè)出a1和d，利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列方程(組)求解即可．
(2)與等差數(shù)列有關(guān)的基本運算問題，主要圍繞著通項公式an＝a1＋(n－1)d和前n項和公式Sn＝eq \f(n(a1＋an),2)＝na1＋eq \f(n(n－1),2)d，在這兩個公式中共涉及五個量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三個量，選用恰當?shù)墓?，利用方?組)可求出剩余的兩個量．
【基本題型】
[例1] (1)(2017·全國Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 C 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＋a5＝24，,S6＝48，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋3d＋a1＋4d＝24，,6a1＋\f(6×5,2)d＝48，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a1＋7d＝24，,2a1＋5d＝16，))解得d＝4．
(2)(2018·全國Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝( )
A．－12 B．－10 C．10 D．12
答案 B 解析 由3S3＝S2＋S4，得：3(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a1＋a2＋a3＋a4，∴a1＋a2＋2a3＝a4，設(shè)公差為d，則4a1＋5d＝a1＋3d，∴d＝－eq \f(3,2)a1＝－3．∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10．
(3)(2014·福建)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等于( )
A．8 B．10 C．12 D．14
答案 C 解析 由題意知a1＝2，由S3＝3a1＋eq \f(3×2,2)×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故選C．
(4)(2016·全國Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝( )
A．100 B．99 C．98 D．97
答案 C 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9a1＋36d＝27，,a1＋9d＝8，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,d＝1，))所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98．
(5)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，則a18＝( )
A．eq \f(25,9) B．eq \f(26,9) C．3 D．eq \f(28,9)
答案 B 解析 令bn＝nan，則2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，所以{bn}為等差數(shù)列，因為b1＝1，b2＝4，所以公差d＝3，則bn＝3n－2，所以b18＝52，則18a18＝52，所以a18＝eq \f(26,9)．
(6)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S3＝6，S4＝12，則S6＝________．
答案 30 解析 法一 設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由S3＝6，S4＝12，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S3＝3a1＋3d＝6，,S4＝4a1＋6d＝12，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝0，,d＝2，))所以S6＝6a1＋15d＝30．
法二 由{an}為等差數(shù)列，故可設(shè)前n項和Sn＝An2＋Bn，由S3＝6，S4＝12可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S3＝9A＋3B＝6，,S4＝16A＋4B＝12，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝1，,B＝－1，))即Sn＝n2－n，則S6＝36－6＝30．
(7) (2020·全國Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝________．
答案 25 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1＝－2，a2＋a6＝2，可得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－2＋d＋(－2)＋5d＝2，解得d＝1．所以S10＝10×(－2)＋ eq \f(10×(10－1),2)×1＝－20＋45＝25．
(8)(2020·新高考Ⅰ)將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．
答案 3n2－2n 解析 設(shè)bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，則2n－1＝3m－2，得n＝eq \f(3m－1,2)＝eq \f(3m－3＋2,2)＝eq \f(3(m－1),2)＋1，于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，則ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*．故Sn＝eq \f(1＋6n－5,2)×n＝3n2－2n．
(9)(2013·全國Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C 解析 由題意得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，故d＝1，因為Sm＝0，故ma1＋eq \f(m(m－1),2)d＝0，故a1＝－eq \f(m－1,2)，因為am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5．
(10)數(shù)列{an}不是常數(shù)列，滿足a1＝eq \f(1,4)，a5＝eq \f(1,8)，且a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝na1an＋1對任何的正整數(shù)n都成立，則eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a50)的值為( )
A．1 475 B．1 425 C．1 325 D．1 275
答案 1 425 解析 因為a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝na1an＋1，所以當n≥2時，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝(n－1)a1an，兩式相減可得anan＋1＝na1an＋1－(n－1)a1an，即eq \f(1,a1)＝eq \f(n,an)－eq \f(n－1,an＋1)，則eq \f(1,a1)＝eq \f(n＋1,an＋1)－eq \f(n,an＋2)，則eq \f(n,an)－eq \f(n－1,an＋1)＝eq \f(n＋1,an＋1)－eq \f(n,an＋2)，即eq \f(1,an)＋eq \f(1,an＋2)＝eq \f(2,an＋1)，即數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，又由a1＝eq \f(1,4)，a5＝eq \f(1,8)可得數(shù)列{eq \f(1,an)}的公差d＝1，則eq \f(1,a50)＝53，則eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a50)＝eq \f(50×?4＋53?,2)＝1 425．
[例2] 在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且5a3·a1＝(2a2＋2)2．
(1)求d，an；
(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|．
解析 (1)由題意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0，故d＝－1或d＝4，
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*．
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，因為d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，
則當n≤11時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝eq \f(n(a1＋11－n),2)＝－eq \f(1,2)n2＋eq \f(21,2)n，
當n≥12時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a11－a12－a13－…－an
＝－Sn＋2S11＝－eq \f(n(a1＋11－n),2)＋2×eq \f(11(a1＋a11),2)＝eq \f(1,2)n2－eq \f(21,2)n＋110．
綜上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)n2＋\f(21,2)n，n≤11，,\f(1,2)n2－\f(21,2)n＋110，n≥12.))
[例3] 已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)·(an＋n)(n∈N*)．
(1)求證數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，并求其通項公式；
(2)設(shè)bn＝eq \r(2an)－15，求數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn．
解析 (1)證明：因為n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．
所以nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)．所以eq \f(an＋1,n＋1)－eq \f(an,n)＝2，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，其公差為2，首項為2，
所以eq \f(an,n)＝2＋2(n－1)＝2n．
(2)由(1)知an＝2n2，所以bn＝eq \r(2an)－15＝2n－15，
則數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝eq \f(n?－13＋2n－15?,2)＝n2－14n．
令bn＝2n－15≤0，解得n≤7.5．所以當n≤7時，
數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n；
當n≥8時，數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn
＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98．
所以Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(14n－n2，n≤7，,n2－14n＋98，n≥8.))
【對點精練】
1．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝1，前5項和S5＝－15，則數(shù)列{an}的公差為( )
A．－3 B．－eq \f(5,2) C．－2 D．－4
1．答案 D 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，因為eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1，,S5＝－15，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋d＝1，,5a1＋\f(5×4,2)d＝－15，))
解得d＝－4．
2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足eq \f(S3,3)－eq \f(S2,2)＝1，則數(shù)列{an}的公差是( )
A．eq \f(1,2) B．1 C．2 D．3
2．答案 C 解析 ∵Sn＝eq \f(n(a1＋an),2)，∴eq \f(Sn,n)＝eq \f(a1＋an,2)，又eq \f(S3,3)－eq \f(S2,2)＝1，得eq \f(a1＋a3,2)－eq \f(a1＋a2,2)＝1，即a3－a2＝2，
∴數(shù)列{an}的公差為2．
3．設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項和，若S10＝S11，則a1等于( )
A．18 B．20 C．22 D．24
3．答案 B 解析 因為S10＝S11，所以a11＝0．又因為a11＝a1＋10d，所以a1＝20．
4．若等差數(shù)列{an}的前5項和S5＝25，且a2＝3，則a7等于( )
A．12 B．13 C．14 D．15
4．答案 B 解析 由題意得S5＝eq \f(5(a1＋a5),2)＝5a3＝25，故a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2
＝13．
5．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4＝4，S13＝104，則a10＝( )
A．10 B．12 C．16 D．20
5．答案 B 解析 設(shè){an}的公差為d，則S13＝13a1＋eq \f(13×12,2)d＝104，a4＝a1＋3d＝4，解得a1＝0，d＝eq \f(4,3)，
所以a10＝a1＋9d＝12，故選B．
6．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，則a10＝( )
A．18 B．16 C．14 D．12
6．答案 C 解析 設(shè){an}的公差為d，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋3d＋5a1＋\f(5×4,2)d＝2，,7a1＋\f(7×6,2)d＝14，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6a1＋13d＝2，,a1＋3d＝2，))解得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－4，,d＝2，))所以a10＝－4＋9×2＝14，選C．
7．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，則a2 022的值為( )
A．2 026 B．4 038 C．5 044 D．3 020
7．答案 解析 由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am＝a1＋(m－1)d＝4，,Sm＝ma1＋\f(m(m－1),2)d＝0，,Sm＋2－Sm＝am＋1＋am＋2＝2a1＋(m＋m＋1)d＝14，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－4，,m＝5，,d＝2，))∴an
＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，∴a2 022＝2×2 022－6＝4 038．故選B．
8．(2019·全國Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則( )
A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝ eq \f(1,2)n2－2n
8．答案 A 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d．由S4＝0，a5＝5可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋4d＝5，,4a1＋6d＝0，))解得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－3，,d＝2.))所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋ eq \f(n(n－1),2)×2＝n2－4n．故選A．
9．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S11＝22，則a3＋a7＋a8等于( )
A．18 B．12 C．9 D．6
9．答案 D 解析 由題意得S11＝eq \f(11?a1＋a11?,2)＝eq \f(11?2a1＋10d?,2)＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1
＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故選D．
10．等差數(shù)列l(wèi)g3(2x)，lg3(3x)，lg3(4x＋2)，…的第四項等于( )
A．3 B．4 C．lg318 D．lg324
10．答案 A 解析 ∵lg3(2x)，lg3(3x)，lg3(4x＋2)成等差數(shù)列，∴l(xiāng)g3(2x)＋lg3(4x＋2)＝2lg3(3x)，
∴l(xiāng)g3[2x(4x＋2)]＝lg3(3x)2，則2x(4x＋2)＝9x2，解之得x＝4，x＝0(舍去)．∴等差數(shù)列的前三項為lg38，lg312，lg318，∴公差d＝lg312－lg38＝lg3eq \f(3,2)，∴數(shù)列的第四項為lg318＋lg3eq \f(3,2)＝lg327＝3．
11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，則a6＝________．
11．答案 eq \f(1,11) 解析 將an－an＋1＝2anan＋1兩邊同時除以anan＋1，eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝2．所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以eq \f(1,a1)＝1為首項，
2為公差的等差數(shù)列，所以eq \f(1,a6)＝1＋5×2＝11，即a6＝eq \f(1,11)．
12．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a2＝3，a5＝9，則S6等于( )
A．36 B．32 C．28 D．24
12．答案 A 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝a1＋d＝3，,a5＝a1＋4d＝9，))解得d＝2，a1＝1，故S6
＝6＋eq \f(6×5,2)×2＝36，選A．
13．記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝eq \f(1,2)，S4＝20，則S6等于( )
A．16 B．24 C．36 D．48
13．答案 D 解析 ∵S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，故S6＝3＋15d＝48．
14．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－3，2a4＋3a7＝9，則S7的值等于( )
A．21 B．1 C．－42 D．0
14．答案 D 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1＝－3，2a4＋3a7＝9，∴2(－3＋3d)＋3(－3＋6d)
＝9，∴d＝1，∴S7＝7×(－3)＋eq \f(7×6,2)×1＝0，故選D．
15．若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，a1≠0，a2＝3a1，則eq \f(S10,S5)＝________．
15．答案 4 解析 因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a2＝3a1，所以公差d＝a2－a1＝2a1，故eq \f(S10,S5)＝eq \f(10a1＋45d,5a1＋10d)
＝4．
16．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，則m＝( )
A．9 B．10 C．11 D．15
16．答案 B 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S11＝11a1＋\f(11×(11－1),2)d＝22，,a4＝a1＋3d＝－12，))解得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－33，,d＝7，))∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10．
17．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，前n項和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，給出下列結(jié)論：
①a10＝0；②S10最?。虎跾7＝S12；④S20＝0．
其中一定正確的結(jié)論是( )
A．①② B．①③④ C．①③ D．①②④
17．答案 C 解析 ∵a1＋5a3＝S8，∴a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，∴a1＝－9d，∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－
10)d，∴a10＝0，故①一定正確．Sn＝na1＋eq \f(n(n－1)d,2)＝－9nd＋eq \f(n(n－1)d,2)＝eq \f(d,2)(n2－19n)，∴S7＝S12，故③一定正確．顯然②④不一定正確，故選C．
18．設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．
18．答案 130 解析 由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n
－10≥0得n≥5，∴n≤5時，an≤0，當n>5時，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130．
19．在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項的和為( )
A．2 B．10 C．eq \f(5,2) D．eq \f(5,4)
19．答案 C 解析 由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝eq \f(1,2)，所以數(shù)列{an}是首項為－2，公差為eq \f(1,2)的等差數(shù)列，
所以S10＝10×(－2)＋eq \f(10×(10－1),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)．
20．若數(shù)列{an}是正項數(shù)列，且eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋…＋eq \r(an)＝n2＋3n(n∈N*)，則eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,3)＋…＋eq \f(an,n＋1)＝________．
20．答案 2n2＋6n 解析 令n＝1，得eq \r(a1)＝4，所以a1＝16．當n≥2時，eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋…＋eq \r(an－1)＝(n－
1)2＋3(n－1)．與已知式相減，得eq \r(an)＝(n2＋3n)－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2．所以an＝4(n＋1)2，當n＝1時，a1適合an，所以an＝4(n＋1)2，所以eq \f(an,n＋1)＝4n＋4，所以eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,3)＋…＋eq \f(an,n＋1)＝eq \f(n?8＋4n＋4?,2)＝2n2＋6n．
21．(多選)等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，若a1>0，S10＝S20，則( )
A．d