導(dǎo)數(shù)中的不等式證明是高考的?？碱}型，常與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)與極值、數(shù)列等相結(jié)合，雖然題目難度較大，但是解題方法多種多樣，如構(gòu)造函數(shù)法、放縮法等，針對(duì)不同的題目，靈活采用不同的解題方法，可以達(dá)到事半功倍的效果
【核心題型】
題型一 將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題
待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，有時(shí)對(duì)復(fù)雜的式子要進(jìn)行變形，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證．
【例題1】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
【變式2】（2024·四川成都·三模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)，且是的極值點(diǎn)，證明：.
【變式3】（2024·四川成都·三模）已知函數(shù).
(1)若，證明：；
(2)若函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
題型二 將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較
若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo)．本例中同時(shí)含ln x與ex，不能直接構(gòu)造函數(shù)，把指數(shù)與對(duì)數(shù)分離兩邊，分別計(jì)算它們的最值，借助最值進(jìn)行證明．
【例題2】（2023·河南開封·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，證明：；
(2)當(dāng)時(shí)，，求的最大值；
(3)若在區(qū)間存在零點(diǎn)，求的取值范圍.
【變式3】（2024·貴州黔西·一模）已知函數(shù).
(1)判斷的單調(diào)性;
(2)證明:.
題型三 適當(dāng)放縮證明不等式
導(dǎo)數(shù)方法證明不等式中，最常見的是ex和ln x與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，對(duì)于這類問題，可以考慮先對(duì)ex和ln x進(jìn)行放縮，使問題簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明．常見的放縮公式如下：
(1)ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)；
(2)ln x≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)．
【例題1】（2024·河北滄州·一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的公比滿足（ ）
A．B．
C．D．
【變式1】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）令．則的最大值在如下哪個(gè)區(qū)間中（ ）
A．B．
C．D．
【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)整數(shù)，且，函數(shù)．
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：；
(3)設(shè)，證明：．
【變式3】（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)比較與的大小，并說明理由；
(3)當(dāng)時(shí)，證明：．
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（22-23高三上·四川綿陽(yáng)·開學(xué)考試）若，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陜西咸陽(yáng)·三模）已知，，，則（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·云南保山·期末）已知，，，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（23-24高三上·廣西百色·階段練習(xí)）函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別是，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）機(jī)械制圖中經(jīng)常用到漸開線函數(shù)，其中的單位為弧度，則下列說法正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．在上恰有個(gè)零點(diǎn)（）
C．在上恰有個(gè)極值點(diǎn)（）
D．當(dāng)時(shí)，
三、填空題
7．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
8．（2023·河南開封·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)x，y滿足，則的值為 ．
四、解答題
9．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求的最小值；
(2)證明：.
10．（2024·廣東佛山·二模）已知.
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.
11．（2023·四川成都·二模）已知函數(shù).
(1)求在處的切線方程；
(2)若是的最大的極大值點(diǎn)，求證：.
綜合提升練
一、單選題
1．（22-23高三上·河南·階段練習(xí)）若，其中，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北衡水·三模）若，，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·新疆·三模）已知數(shù)列中，，若（），則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．（）D．
5．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a，b為正數(shù)，且，則（ ）.
A．B．C．D．
6．（2024·上海虹口·二模）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，給出兩個(gè)命題：
①對(duì)任意，都有；②若的值域?yàn)?，則對(duì)任意都有.
則下列判斷正確的是（ ）
A．①②都是假命題B．①②都是真命題
C．①是假命題，②是真命題D．①是真命題，②是假命題
7．（2024·四川瀘州·三模）已知，，給出下列不等式
①；②；③；④
其中一定成立的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2024·四川攀枝花·三模）已知正數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2023·福建龍巖·二模）已知函數(shù)（）有兩個(gè)零點(diǎn)，分別記為，（）；對(duì)于，存在使，則（ ）
A．在上單調(diào)遞增
B．（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
C．
D．
10．（2023·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·河北滄州·一模）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
12．（2023·四川成都·三模）已知函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
13．（23-24高三下·廣東云浮·階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，則 ．
14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足條件：，則的最大值是 ．
四、解答題
15．（2024·青海西寧·二模）已知函數(shù)．
(1)若，求的極值；
(2)若，求證：．
16．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：.
17．（2024·上海松江·二模）已知函數(shù)（為常數(shù)），記.
(1)若函數(shù)在處的切線過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)對(duì)于正實(shí)數(shù)，求證：；
(3)當(dāng)時(shí)，求證：.
18．（2024·上海嘉定·二模）已知常數(shù)，設(shè)，
(1)若，求函數(shù)的最小值；
(2)是否存在，且，，依次成等比數(shù)列，使得、、依次成等差數(shù)列？請(qǐng)說明理由．
(3)求證：“”是“對(duì)任意，，都有”的充要條件．
19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若，討論的單調(diào)性．
(2)若，，求證：．
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2023·上海奉賢·二模）設(shè)是一個(gè)無窮數(shù)列的前項(xiàng)和,若一個(gè)數(shù)列滿足對(duì)任意的正整數(shù),不等式恒成立,則稱數(shù)列為和諧數(shù)列,有下列3個(gè)命題:
①若對(duì)任意的正整數(shù)均有,則為和諧數(shù)列;
②若等差數(shù)列是和諧數(shù)列,則一定存在最小值;
③若的首項(xiàng)小于零,則一定存在公比為負(fù)數(shù)的一個(gè)等比數(shù)列是和諧數(shù)列．
以上3個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)有( )個(gè)
A．0B．1C．2D．3
2．（2023·新疆烏魯木齊·三模）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·青?！ざ＃┒x在上的函數(shù)滿足，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．曲線在點(diǎn)處的切線方程為
C．在上恒成立，則
D．
二、多選題
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
7．（2023·浙江溫州·二模）已知函數(shù)，則的最小值是 ；若關(guān)于的方程有個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
8．（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上函數(shù)滿足：，寫出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù) .
四、解答題
9．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，
(1)求的最小值；
(2)證明：.
10．（2024·四川攀枝花·三模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，證明：．
11．（2024·山西晉城·二模）已知函數(shù)（）．
(1)若，求的圖象在處的切線方程；
(2)若對(duì)于任意的恒成立，求a的取值范圍；
(3)若數(shù)列滿足且（），記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．

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