2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點(diǎn)考點(diǎn)51雙曲線(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率).
3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．雙曲線的定義
把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)
常用結(jié)論
1．雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
2．若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長為eq \f(2b2,a).
4．若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.
5．與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)
【核心題型】
題型一雙曲線的定義及應(yīng)用
在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．
【例題1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡方程為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，再由向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算化簡，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以?br>即，又點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，
所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為．
故選：B．
【變式1】（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，則（）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性及定義，求出、長度，由直角三角形求解可得解.
【詳解】如圖，
因?yàn)殡p曲線，所以，
由雙曲線的對(duì)稱性知，
所以，
由雙曲線定義可得，
所以，又，
所以，即，
所以,
故，
故選：A
【變式2】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積為 .
【答案】3
【分析】設(shè)，利用雙曲線定義，可得又由勾股定理得，聯(lián)立求得，即得三角形的面積.
【詳解】

如圖，由可知，
設(shè)，由定義
，
的面積為.
故答案為：3
【變式3】（2024·山西運(yùn)城·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為右支上一點(diǎn)（非頂點(diǎn)），的平分線交軸于
(1)過右焦點(diǎn)作于，求；
(2)求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）延長交于點(diǎn)，即可得到，，再由雙曲線的定義得到，即可得解；
（2）當(dāng)，直接求出、，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求出，，利用二倍角公式求出，即可得證.
【詳解】（1）延長交于點(diǎn)，因?yàn)槠椒?，?br>所以，所以，，
所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以且，
又，所以，
所以.
（2）依題意可知，，
當(dāng)時(shí)，解得，不妨取，則，
，所以，滿足；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
所以，，
則，
所以，
又，，則，
所以，
綜上可得.
題型二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定2a,2b或2c，從而求出a2，b2.
(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根據(jù)條件求λ的值．
【例題2】（2024·山東濟(jì)南·三模）已知雙曲線過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題設(shè)雙曲線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.
【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，故可設(shè)雙曲線的方程為，
又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，解得，
所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
故選：A．
【變式1】（2024·天津南開·二模）已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率為的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，若，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】，由雙曲線的定義可得，再由余弦定理，可得，，即可判斷出所求雙曲線的可能方程．
【詳解】因?yàn)?，由雙曲線的定義可知，
所以，
由于過的直線斜率為，
所以在等腰三角形中，，則，
由余弦定理得：，
化簡得，可得，即，，
可得，，
所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為：.
故選：C
【變式2】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的實(shí)軸長為4，其右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【答案】
【分析】根據(jù)實(shí)軸得到的值，然后表示出漸近線，表示出焦點(diǎn)到漸近線的方程，得到，從而得到的方程．
【詳解】因?yàn)閷?shí)軸長，所以，右焦點(diǎn)，
雙曲線的漸近線為，
由對(duì)稱性，不妨取漸近線為，即，
點(diǎn)到漸近線的距離，
所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
【變式3】（2024·陜西商洛·一模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)在雙曲線上，且直線的斜率之積為3．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)斜率不為0的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直線的斜率之積為3，構(gòu)造方程求出，再將點(diǎn)代入方程即可；（2）設(shè)直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理，由，所以，結(jié)合韋達(dá)定理，求出，再用點(diǎn)到直線距離計(jì)算即可.
【詳解】（1）由題意可得，
則直線的斜率，直線的斜率．
因?yàn)橹本€的斜率之積為3，所以，解得．
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得．
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)直線
聯(lián)立整理得
則
所以．
因?yàn)?，所以?br>所以
即
化簡得，故．
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，點(diǎn)到直線的距離．
因?yàn)椋?，所以?br>即點(diǎn)到直線的距離的最大值是．
題型三雙曲線的幾何性質(zhì)
命題點(diǎn)1 漸近線
(1)漸近線的求法：求雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得兩漸近線方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＝±\f(b,a)x)).
(2)在雙曲線的幾何性質(zhì)中，重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq \f(b,a)，滿足關(guān)系式e2＝1＋k2.
【例題3】（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的漸近線方程為，則（）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線方程得出雙曲線的漸近線再計(jì)算求參.
【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，所以,所以漸近線方程為,
即得，所以.
故選：D.
【變式1】（2024·湖南邵陽·三模）已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且軸，直線，與軸分別交于點(diǎn)，，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的漸近線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意求出直線和直線的方程，分別令，可求出，結(jié)合代入化簡即可得出答案.
【詳解】由題意知，因?yàn)檩S，
所以令，可得，解得：，設(shè)，
直線的斜率為：，
所以直線的方程為：，
令可得，所以，
直線的斜率為：
所以直線的方程為：，
令可得，所以，
由可得，解得：,
所以，解得：，即
所以的漸近線方程為，
故選：C.
【變式2】（2024·西藏拉薩·二模）已知雙曲線與有相同的漸近線，且直線過雙曲線的焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【分析】抓住共漸近線即漸近線斜率一樣，焦點(diǎn)與有關(guān)，結(jié)合可解.
【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過雙曲線的焦點(diǎn)，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，
所以.因?yàn)榈臐u近線方程為，所以.
結(jié)合，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
【變式3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，且
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；
(2)已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）根據(jù)已知條件及雙曲線的定義即可求解；
（2）將直線與雙曲線方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理及點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合弦長公式及三角形的面積公式即可求解.
【詳解】（1）由及雙曲線的定義知，，即，
所以雙曲線的方程為：，其漸近線方程為；
（2）由題意可知，作出圖形如圖所示
設(shè)，由題可知，
聯(lián)立，
所以，
點(diǎn)到直線的距離，
所以，
令，化簡得：，解得：或，
所以或.
命題點(diǎn)2 離心率
求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．
【例題4】（2024·廣東韶關(guān)·一模）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與橢圓沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，可得橢圓短軸的端點(diǎn)在以為直徑的圓外，由此求得，再利用雙曲線離心率的意義求出范圍.
【詳解】以為直徑的圓的方程為，依題意，橢圓短軸的端點(diǎn)在此圓外，
即，解得，則雙曲線的離心率為，
由，得，所以所求離心率的取值范圍.
故選：D
【變式1】（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過作斜率為正且與的某條漸近線垂直的直線與雙曲線在第一象限交于，，則的離心率為（）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，過點(diǎn)作于，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式及雙曲線定義求出的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率.
【詳解】令雙曲線的半焦距為，則，
令直線與雙曲線的漸近線垂直的垂足為，
于是，，
過點(diǎn)作于,則，而為線段的中點(diǎn),
所以
因?yàn)椋裕?br>由雙曲線定義得，即，解得.
所以該雙曲線的離心率為.
故選：B.
【變式2】（2024·上海虹口·一模）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為和，若以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線與在第一象限交于點(diǎn)P，且，則的離心率為．
【答案】
【分析】過P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，設(shè)，由是拋物線的焦點(diǎn)，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根據(jù)雙曲線及離心率的定義可求出離心率．
【詳解】如圖過P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，設(shè)，
因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn)，∴
∵，∴，
在△中，由余弦定理得，
∴，
即，解得
又∵和是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，
∴，
∴.
故答案為：.
【變式3】（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是以橢圓半焦距為半徑的圓與雙曲線的漸近線在第一、二象限的交點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），
(1)求雙曲線的離心率；
(2)求的面積.
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）由橢圓方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和圓的方程，通過聯(lián)立方程組求出兩點(diǎn)，由，求出的值得雙曲線的離心率；
（2）由的坐標(biāo)，可求出的面積.
【詳解】（1）橢圓中，，，，
橢圓焦點(diǎn)為，∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
雙曲線的漸近線方程為，
的方程：.
由得，，.
由題意知，、分別為第一、二象限的交點(diǎn)，
∴，，
∴，，
∵，∴，∴.
化簡整理得，
又∵代入上式，解之得，.
∴雙曲線方程：.
離心率.
（2）由（1）知，，
∴，.
∴.
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）以雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，截該雙曲線的一條漸近線所得的弦長為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，結(jié)合垂徑定理運(yùn)算求解.
【詳解】由雙曲線可得，
∵雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離，
故所得弦長.
故選：D.
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，求出漸近線方程，設(shè)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件列出方程，化簡整理即可求解．
【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為：，
設(shè)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
由題意可得，解得，
又點(diǎn)M在雙曲線上，則，
整理得：，得離心率，
故選：D
3．（2024·天津河西·一模）已知雙曲線C：（，）的焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線C的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理及雙曲線定義得是等邊三角形，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>所以，又，
所以，
又平分，由角平分線定理可知，，
所以，所以，
由雙曲線定義知，
所以，，
所以，，，故是等邊三角形，
所以，在中，
，
化簡得：，所以，
雙曲線C的方程為，
故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)向量共線，角平分線定理及雙曲線定義，結(jié)合余弦定理可解此題.
4．（2024·天津和平·二模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為點(diǎn)，線段與在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)，若的焦距為6，且在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則雙曲線的漸近線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知，，從而可得直線方程，再聯(lián)立拋物線方程求出的橫坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線平行的性質(zhì)，求出漸近線（其中一條）的斜率，即可得解．
【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)為，依題意可得，
直線方程為，即，
聯(lián)立，可得，解得或，
又線段與在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，
由，所以，
在點(diǎn)處的切線斜率為，
又在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，
雙曲線的一條漸近線的斜率為，
雙曲線的漸近線方程為．
故選：D．
二、多選題
5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知是等軸雙曲線C的方程，P為C上任意一點(diǎn)，，則（）
A．C的離心率為
B．C的焦距為2
C．平面上存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得
D．的最小值為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)等軸雙曲線的離心率可判斷A的正誤，根據(jù)圖象的對(duì)稱軸可求，從而可求，故可判斷BCD的正誤.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭堑容S雙曲線，故其離心率為，故A正確.
對(duì)于B，因?yàn)閳D象的對(duì)稱軸為和，
由可得或，故雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故雙曲線的實(shí)半軸長為，故半焦距為，
故焦距為4，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，因焦點(diǎn)在直線上，故設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)?，且雙曲線的中心為原點(diǎn)，故即，
取，由雙曲線的定義可得，
故C正確.
對(duì)于D，由C的分析可得為焦點(diǎn)，則，故D正確，
故選：ACD.
6．（2024·甘肅白銀·一模）已知分別是等軸雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，的焦距為直徑的圓與交于四點(diǎn)，則（）
A．的漸近線方程為
B．
C．
D．四邊形的面積為
【答案】ABD
【分析】由可求出的漸近線方程可判斷A；由雙曲線的定義結(jié)合，解方程求出，可判斷B，C；，矩形的面積為，可判斷D.
【詳解】由題意得，則的漸近線方程為，A正確.
設(shè)在第一象限，易得，
將兩邊平方，
得，
則，，B正確，C錯(cuò)誤.
設(shè)，由，得，
則矩形的面積為，D正確.
故選：ABD.
三、填空題
7．（2024·上海靜安·一模）以雙曲線的離心率為半徑，以右焦點(diǎn)為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，則的值為 .
【答案】43/113
【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線漸近線方程、離心率及右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用圓的切線性質(zhì)列式計(jì)算得解.
【詳解】雙曲線的漸近線為，離心率，右焦點(diǎn)，
依題意，，所以.
故答案為：
8．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作雙曲線的一條漸近線的垂線l，垂足為M，若直線l與雙曲線C的另一條漸近線交于點(diǎn)N，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為 .
【答案】/
【分析】由確定與線段的位置關(guān)系，求出到漸近線的距離，接著由的關(guān)系結(jié)合以及離心率公式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，故即?br>故、、三點(diǎn)共線，且為線段靠近一端的四等分點(diǎn)，
又由題意知Fc,0，斜率為正的漸近線方程為，
所以到漸近線的距離為，即，
所以，，
所以，
又由漸近線性質(zhì)知，
故，
即，故，
故答案為：.
9．（2024·山東威海·一模）已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過的直線與的左?右兩支分別交于，兩點(diǎn).若以的中心為圓心，的長為直徑的圓與的右支的一個(gè)交點(diǎn)恰為，若，，成等差數(shù)列，則的漸近線方程為 .
【答案】
【分析】由已知以為直徑的圓過點(diǎn)，可知，再結(jié)合等差數(shù)列及雙曲線定義可得各邊長，再根據(jù)直角三角形勾股定理可得，即可得漸近線方程.
【詳解】
如圖所示，由已知以的中心為圓心，的長為直徑的圓過點(diǎn)，
可知，
再由，，成等差數(shù)列，
得，
由雙曲線定義可知，，
則，
即，，
又，
則，即，
則，
即漸近線方程為，
故答案為：.
四、解答題
10．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以為圓心作一個(gè)半徑為4的圓，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的重直平分線與直線相交于點(diǎn)．
(1)求的軌跡的方程；
(2)已知A?2,0，點(diǎn)是軌跡在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若直線的斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用垂直平分線的性質(zhì)及雙曲線的定義可得答案；
（2）利用中點(diǎn)公式和的斜率為建立方程組，求解方程組可得答案.
【詳解】（1）由題意可知，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以，
又點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，所以．
①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，，
所以的軌跡滿足，
根據(jù)雙曲線定義可知，點(diǎn)的軌跡是以為左?右焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線，
可得，所以的軌跡的方程為．
（2）設(shè)，所以，
因?yàn)橹本€的斜率為，所以，即，
與聯(lián)立解得（舍去）或3．
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
11．（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，若直線，的斜率互為倒數(shù)，證明：直線過定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率及，，的平方關(guān)系得出，再由點(diǎn)在上，可求解，，進(jìn)而可得雙曲線的方程；
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，顯然不滿足條件．當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與方程聯(lián)立聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線，的斜率，，由，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得與的關(guān)系，從而可證得直線過定點(diǎn)．
【詳解】（1）由已知得，，所以，
又點(diǎn)在上，故，
解得，，
所以雙曲線的方程為：．
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，顯然不滿足條件．
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與方程聯(lián)立聯(lián)立，消去得，
由已知得，且，
設(shè)，，則，，
直線，的斜率分別為，，
由已知，故，
即，
所以，
化簡得，又已知不過點(diǎn)，故，
所以，即，
故直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2024·廣西柳州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，則點(diǎn)的軌跡方程為（）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)點(diǎn),由題意列出方程，化簡整理即得點(diǎn)的軌跡方程.
【詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)，由，
可得，即得點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：A.
2．（2024·北京東城·二模）已知雙曲線過點(diǎn)，且一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為，代入點(diǎn)運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題意可知：雙曲線的一條漸近線方程為，
設(shè)雙曲線方程為，
代入點(diǎn)，可得，
所以雙曲線的方程為.
故選：A.
3．（2024·江蘇·二模）已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，則C的漸近線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出雙曲線方程再根據(jù)雙曲線漸近線的求法得解.
【詳解】因?yàn)殡p曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，
所以，漸近線方程為.
故選：B
4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）已知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M滿足且M 為函數(shù) 圖象上的點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，可以判斷點(diǎn)M的軌跡方程，通過解方程組求出M的坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)?br>所以點(diǎn)M是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)雙曲線的方程為，
即，
因此有，
因此，
故選：B
5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，線段交于點(diǎn)，過作的垂線，垂足為，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知，用表示出和PF，進(jìn)而得到的值.
【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上及其上方，如圖，

依題意，，設(shè)，則，
由得，
所以，
所以.
故選：D．
6．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，以線段FP為直徑的圓與圓相切，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分兩圓外切和內(nèi)切兩種情況，根據(jù)兩圓位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解.
【詳解】由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，
設(shè)，以線段FP為直徑的圓的圓心為M，半徑為，
若圓與圓外切，則，，
可得；
若圓與圓內(nèi)切，則，，
可得；
綜上所述：，
可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，且，則，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.
故選：B.
7．（2024·湖南衡陽·一模）已知雙曲線，兩焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)作直線l交右支于A，B點(diǎn)，且，若，則雙曲線C的離心率為（）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理求出的關(guān)系等式即可求得離心率.
【詳解】令，由，得，，

由雙曲線定義，，
在中，，由余弦定理，
得，
整理得，解得，則，，
在中，由余弦定理，
得，整理得，則.
故選：A
8．（2024·四川德陽·一模）設(shè)為雙曲線的左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為的一條漸近線上一點(diǎn)，且，若，則的離心率為（）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算推得，再利用正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式，結(jié)合雙曲線的漸近線方程得到的比值，從而利用雙曲線的離心率公式即可得解.
【詳解】依題意，不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，如圖，
因?yàn)?，所以?br>則，故，
所以，
又，雙曲線的漸近線方程為，
所以在中，，
即，故，
所以雙曲線的離心率為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：
①求出，代入公式；
②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范圍）.
二、多選題
9．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線和，其中，且，則（）
A．與有相同的實(shí)軸B．與有相同的焦距
C．與有相同的漸近線D．與有相同的離心率
【答案】BC
【分析】利用雙曲的性質(zhì)，結(jié)合條件，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，雙曲線的實(shí)軸在軸上，
雙曲線的實(shí)軸在軸上，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)殡p曲線和的焦距均為，所以選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，雙曲線的漸近線方程為，
雙曲線的漸近線方程為，所以選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，雙曲線的離心率為，
雙曲線的離心率為，
因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：BC.
10．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為．則下列說法正確的是（）
A．若，則雙曲線的漸近線方程為
B．若點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，則雙曲線的離心率為3
C．若點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，，則雙曲線的方程為
D．若的面積為1，則雙曲線的焦距長的最小值為4
【答案】BD
【分析】根據(jù)知為等邊三角形，據(jù)此求出漸近線斜率，可判斷A，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)得出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在圓上求出點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，據(jù)此求離心率判斷B，由B求出，得出雙曲線方程判斷C，由，再利用均值不等式求最值判斷D.
【詳解】由題意得圓的方程為.
對(duì)于A，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，若，則為等邊三角形，
所以直線的斜率為，所以雙曲線的漸近線方程為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以，
又，所以，所以（負(fù)值已舍去），
則點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn).又點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，所以，即，
所以雙曲線的離心率，故B正確；
對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，則，，所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，聯(lián)立，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，則雙曲線的焦距長的最小值為4，故D正確.
故選：BD.
11．（2024·安徽·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限．的內(nèi)心為與軸的交點(diǎn)為，記的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為，則下列說法正確的有（）
A．若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為2或
B．若，且，則雙曲線的離心率為
C．若，則的取值范圍是
D．若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)基本量運(yùn)算直接得出離心率判斷A，結(jié)合雙曲線定義判斷B,結(jié)合內(nèi)切圓性質(zhì)判斷C，結(jié)合定義及余弦定理計(jì)算可得離心率判斷D.
【詳解】對(duì)于A，雙曲線漸近線的夾角為，則或者故或．
對(duì)于B，設(shè)，則．
故，解得．又，故．
對(duì)于C，令圓切分別為點(diǎn)，則，
，令點(diǎn)，而，
因此，解得，又，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，同理點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
即直線的方程為，
設(shè)直線的傾斜角為，那么，
在中，
在中，，漸近線的斜率為．
因?yàn)榫谟抑?，故?br>如圖所求，．
對(duì)于D，，故，而．
故，
由余弦定理可知，故．
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛： 1.根據(jù)幾何性質(zhì)確定的橫坐標(biāo)都是，2.設(shè)傾斜角為，將表示為的三角函數(shù).
三、填空題
12．（2024·上海寶山·一模）過雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為.延長切線交雙曲線的右支于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，中位線的性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)勾股定理計(jì)算，然后利用及解方程求解即可.
【詳解】如圖，
取雙曲線右焦點(diǎn)，連接，由題知，，所以，
因?yàn)镺為，T為PF的中點(diǎn)，所以TO為的中位線，
可得.又，
所以，
又，所以，又，
所以，解得.
故答案為：5
13．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，過雙曲線上一點(diǎn)作直線，分別與雙曲線的兩條漸近線交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為，則的面積為．
【答案】2
【分析】根據(jù)題意，求得和漸近線的方程為，不妨設(shè)，得到，代入雙曲線方程，得到，求得，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，可得，解得，
所以雙曲線的方程為，可得其漸近線的方程為，
不妨設(shè)，則，
因?yàn)樵谏希?，可得?br>設(shè)直線的傾斜角為，則，
可得，
所以.
故答案為：.
14．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為．
【答案】
【分析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，四邊形是平行四邊形，有，，又，解得，中由余弦定理得，可求出得雙曲線的漸近線方程.
【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，
由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知四邊形是平行四邊形，
又，，則有，，
又由雙曲線的定義得，解得，
再由余弦定理：，
即，得，
再由，
故漸近線方程為：，

故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
雙曲線與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的關(guān)系．雙曲線的漸近線是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的漸近線，常見有兩種方法：①求出a，b，代入漸近線方程；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，b的齊次式，代入漸近線方程即可．
四、解答題
15．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：（，）的一條漸近線方程為，頂點(diǎn)到漸近線的距離為．
(1)求的方程；
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線過點(diǎn)0,2，與的左、右兩支交于，兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用漸近線的斜率及點(diǎn)到直線的距離建立關(guān)于的等式求解即可；
（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，易知直線斜率不存在時(shí)，不滿足條件，當(dāng)斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，表示出的長，再利用點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)到的距離，利用三角形的面積公式建立等式進(jìn)行求解出，即可求出直線的方程．
【詳解】（1）由題得， ①
由對(duì)稱性不妨設(shè)的頂點(diǎn)為，則， ②
聯(lián)立①②解得，，
所以的方程為．
（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，
由得，
所以，
解得，
因?yàn)?，?br>所以
．
又點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積，
解得或；又因?yàn)椋裕?br>所以直線的方程為．
16．（2024·浙江寧波·一模）已知是雙曲線：上一點(diǎn)，的漸近線方程為.
(1)求的方程；
(2)直線過點(diǎn)，且與的兩支分別交于，兩點(diǎn).若，求直線的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)雙曲線經(jīng)過的點(diǎn)以及漸近線方程即可聯(lián)立方程求解，
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程可得韋達(dá)定理，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式以及弦長公式可求解，即可代入化簡求解.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
故雙曲線方程為
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立可得，
由韋達(dá)定理可得，
由于，化簡得，
故，
,
故，
故，平方可得，
解得或，
由于與的兩支分別交于，兩點(diǎn)，故，
當(dāng)時(shí)，代入不符合，故舍去，
將其代入，經(jīng)檢驗(yàn)符合，
綜上可得
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用兩點(diǎn)斜率公式以及弦長公式求解.
17．（2024·甘肅張掖·三模）已知雙曲線的焦距為8，右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線在一?三象限的交點(diǎn)分別為，且．
(1)求雙曲線的方程及的面積；
(2)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若直線與軸分別交于點(diǎn)，且．證明：為定值．
【答案】(1)，的面積為
(2)
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱以及銳角三角函數(shù)可得，進(jìn)而利用雙曲線定義即可求解，
（2）聯(lián)立直線與曲線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式直線方程求解的坐標(biāo)，利用垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合韋達(dá)定理即可化簡求解.
【詳解】（1）由于，故，
又，且關(guān)于對(duì)稱，所以,因此，
在中，，
取橢圓左焦點(diǎn),連接，根據(jù)對(duì)稱性可得，
由橢圓定義可得,即，
由于，所以，進(jìn)而可得，
故雙曲線方程為，
（2）設(shè)，，,，
由（1）知,即，
聯(lián)立與的方程可得
則，
，
則直線方程為，令，則，
故
同理可得,
由于，所以在線段的垂直平分線上，故，
故，
，，
化簡得
代入韋達(dá)定理可得
即，故，
故，或，
若，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)，該點(diǎn)與重合，不滿足題意，
故
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與定值的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或定值.
18．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且．
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，在軸上求一點(diǎn)，使得為定值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)三角形的面積求出，再在中，由余弦定理求得的關(guān)系即可得解；
（2）直線PQ的方程為，Px1,y1，Qx2,y2，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再代入化簡即可得解.
【詳解】（1）由題意，得，
所以，
在中，由余弦定理，得
，
所以，所以，
所以，所以，
所以雙曲線C的漸近線方程為；
（2）當(dāng)時(shí)，雙曲線C的方程為，則，
因?yàn)椋灾本€PQ的斜率不為0，
設(shè)直線PQ的方程為，
聯(lián)立，消得．
則，解得，
設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，
則，
設(shè)，則
，
要使為定值，則，即，
所以存在定點(diǎn)，使得．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y1、x2,y2；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
19．（2024·四川宜賓·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為，且過點(diǎn).
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過的右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)、，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足；
①證明：點(diǎn)在一條定直線上；
②求四邊形面積的最小值.
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②
【分析】（1）根據(jù)雙曲線過定點(diǎn)，結(jié)合離心率列方程組可得曲線方程；
（2）①由已知直線斜率一定存在，可設(shè)直線與，聯(lián)立直線與雙曲線，結(jié)合韋達(dá)定理可得點(diǎn)及直線方程，聯(lián)立直線與可得點(diǎn)，進(jìn)而得證；
②由已知，結(jié)合弦長公式可得，則面積
【詳解】（1）由已知雙曲線離心率，即，
則雙曲線方程為，
又曲線過點(diǎn)，
即，解得，
即雙曲線方程為；
（2）
由（1）得，
①由已知直線的斜率存在且，
設(shè)直線，Ax1,y1，Bx2,y2，且，
聯(lián)立直線與雙曲線，
得，
恒成立，
且，，
即，解得，
又為，中點(diǎn)，則，
則，
即，
則直線，
又直線過點(diǎn)，且過點(diǎn)，
則，
聯(lián)立與，即，解得，
即，
即點(diǎn)在直線上；
②，
，
又點(diǎn)滿足，
則四邊形為平行四邊形，且，
則，
設(shè)，，則，
則，
設(shè)，則
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值為，
即當(dāng)時(shí)，的最小值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與雙曲線的綜合問題時(shí)，要注意：
(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、雙曲線的條件；
(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2023·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)P，Q，若，則C的離心率為（）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由，的平分線與直線PQ垂直，結(jié)合圖象，根據(jù)雙曲線的定義，找出各邊的關(guān)系，列出等式，求解.
【詳解】依題意，由，
得，即的平分線與直線PQ垂直，
設(shè)的平分線與直線PQ交于點(diǎn)D，如圖，
則，，又，
所以，所以，．
由題得，，設(shè)，，，
在中，，，則，，
由雙曲線的性質(zhì)可得，解得，
則，所以在中，，
又，，所以，
即，整理得，所以．
故選：A
2．（2024·安徽黃山·一模）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交于，且，當(dāng)時(shí)，雙曲線離心率的最大值為（）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)漸近線方程求出直線的方程為，可求得，再由雙曲線定義利用即可求得雙曲線離心率的最大值為.
【詳解】如下圖所示：

不妨取漸近線方程為，又易知F1?c,0，
則直線的方程為，
聯(lián)立直線與雙曲線，可得，
所以；
且，由雙曲線定義可得，
當(dāng)時(shí)，可得，
所以，解得；
因此雙曲線離心率的最大值為.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用雙曲線定義結(jié)合，表示出的長度再利用建立不等式即可解得離心率的取值范圍.
3．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，和的內(nèi)心分別為M，N，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先結(jié)合切線長定理和雙曲線的定義，求出焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)，如圖，確定點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)內(nèi)切圓概念，確定，設(shè)，用表示出，利用三角函數(shù)求的取值范圍.
【詳解】如圖，設(shè)圓與的三邊分別切于點(diǎn)、、，根據(jù)切線長定理得：，，.
又因?yàn)椋?，又，故?br>所以點(diǎn)坐標(biāo)為，即.
即圓與軸相切于點(diǎn)，同理圓也與軸相切于點(diǎn).
又，所以
設(shè)，因?yàn)椤⒍荚陔p曲線的右支上，且漸近線斜率為，可知，
又，分別平分和，所以，，.
所以，又，
所以.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用圓切線的性質(zhì)、雙曲線定義求出圓與x軸坐標(biāo)相切的點(diǎn)坐標(biāo)，并得到，結(jié)合表示出，注意的范圍.
二、多選題
4．（2021·遼寧丹東·二模）已知雙曲線：的離心率為，，分別為的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】先根據(jù)離心率求出，再由雙曲線的定義求出，最后解即可獲得答案.
【詳解】由題意有，可得，可知選項(xiàng)A不正確，而，
因?yàn)椋渣c(diǎn)在的右支上，由雙曲線的定義有：
，解得，故選項(xiàng)B正確，
在中，有，解得，
，所以，故選項(xiàng)C，D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是定義的運(yùn)用，二是解三角形.
5．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，則下列說法中正確的是（）
A．的軌跡方程為
B．的軌跡與橢圓共焦點(diǎn)
C．是的軌跡的一條漸近線
D．過能做4條直線與的軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
【答案】BC
【分析】對(duì)A，設(shè)點(diǎn)Mx,y，，根據(jù)條件列式求出軌跡方程可判斷；對(duì)B，由點(diǎn)的軌跡方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)可判斷；對(duì)C，點(diǎn)的軌跡方程求出漸近線方程可判斷；對(duì)D，點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，只有兩條切線，其中與漸近線平行的直線過點(diǎn)不合題意.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)Mx,y，，則，，
所以，化簡得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由A選項(xiàng)，點(diǎn)的軌跡的焦點(diǎn)為與橢圓共焦點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C，點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)曲線的漸近線為，故C正確；
對(duì)于D，點(diǎn)在軸上，則，，
所以直線，與漸近線平行，但點(diǎn)不在點(diǎn)的軌跡上，
故過點(diǎn)只能作點(diǎn)的軌跡兩條切線，如圖所示，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
三、填空題
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為，. 點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，，，則雙曲線的漸近線方程為 .
【答案】
【分析】記，分別用m表示出，在中由勾股定理可得，在中由三角函數(shù)定義可得，再在中利用余弦定理列齊次式，然后可得漸近線方程.
【詳解】因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，
又，所以為直角三角形，
記，則，
由雙曲線定義和對(duì)稱性可得，
則有，即，
解得或（舍去）.
記，則，
在中，由余弦定理得，
整理得，得
所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：
7．（2024·浙江杭州·一模）已知雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)，離心率分別記為，設(shè)雙曲線的漸近線分別為和.若，則 .
【答案】
【分析】分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，分別將雙曲線的方程用表示，再結(jié)合和離心率公式分類求出兩雙曲線的離心率即可得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在漸近線上，不合題意；
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，
則，
因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，
所以，
同理，
因?yàn)椋?，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，
所以，
所以，即，
綜上所述，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
四、解答題
8．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；
(2)已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率之積為，求的面積．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出，再根據(jù)漸近線方程及，求出，，得到雙曲線方程；
（2）設(shè)出直線：，與雙曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)直線，的斜率之積為，列出方程，得到，得到直線方程，數(shù)形結(jié)合得到的面積.
【詳解】（1）雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則，
由一條漸近線方程為，得，而，解得，，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率.
（2）依題意，設(shè)直線：，，
由消去y并整理得，顯然，
則，，
由，
而，解得，于是，，直線：交y軸于，
又，
所以的面積為.

9．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的實(shí)軸長為，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為1.
(1)求的方程；
(2)過上一點(diǎn)作的兩條漸近線的垂線，垂足分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】（1）先通過實(shí)軸長求出，再利用右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離求出，則的方程可求；
（2）設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到漸近線的距離以及點(diǎn)在上列方程組求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線實(shí)軸長為，故，
雙曲線的一條漸近線方程為，
則，故雙曲線的方程為；
（2）設(shè)，則，
不妨設(shè)Q到直線距離為，
同理，
所以①
又因?yàn)棰冢?br>由①②解得或，
當(dāng)時(shí)，得或，
又，則或，
解得或，同理有或，
所以點(diǎn)或或或.
10．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，，且的漸近線方程為，直線交雙曲線于，兩點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程；
(2)當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可得，解方程即可得出答案；
（2）討論直線的斜率存不存在，存在時(shí)設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，將韋達(dá)定理代入，由反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.
【詳解】（1）由題意可得：，解得：，，.
雙曲線的方程為：.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，A?2,0，
此時(shí)，，所以，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，
設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立可得：，
當(dāng)時(shí)，，
，，
，
令，則，令，在，上單調(diào)遞減，
又，所以，
所以的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是設(shè)直線，再將其聯(lián)立雙曲線方程，得到韋達(dá)定理式，計(jì)算相關(guān)向量，代入韋達(dá)定理式再利用換元法求出函數(shù)值域即可
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
焦點(diǎn)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范圍
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
實(shí)軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b，實(shí)半軸長：a，虛半軸長：b
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

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