1．已知a2+b2＝16，且12ab=?3，則a+b的值是（ ）
A．4B．±4C．2D．±2
【分析】利用完全平方公式計算即可．
【解答】解：∵a2+b2＝16，且12ab=?3，
∴ab＝﹣6，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16﹣12＝4，
則a+b＝±2，
故選：D．
2．已知a+b＝6，則a2﹣b2+12b的值為（ ）
A．6B．12C．24D．36
【分析】先利用平方差公式進行因式分解，再代入計算即可求值．
【解答】解：∵a+b＝6，
∴a2﹣b2+12b
＝（a+b）（a﹣b）+12b
＝6（a﹣b）+12b
＝6a﹣6b+12b
＝6a+6b
＝6（a+b）
＝6×6
＝36，
故選：D．
3．若a﹣b＝5，則a2﹣b2﹣10b的值是 ．
【分析】原式變形后分解因式得到結果，將a﹣b＝5代入計算即可求出值．
【解答】解：∵a﹣b＝5，即a＝b+5，
∴a2﹣b2﹣10b+1＝（b+5）2﹣（b+5）2+25＝25．
故答案為：25．
4．計算：10232﹣1024×1022＝ ．
【分析】根據(jù)平方差公式進行計算即可．
【解答】解：原式＝10232﹣（1023+1）（1023﹣1）
＝10232﹣10232+1
＝1．
故答案為：1．
5．已知（a﹣b）2＝15，ab=?52，求a4+b4的值．
【分析】利用完全平方公式計算即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝15，
∴a2﹣2ab+b2＝15，
∵ab=?52，
∴a2+b2＝15﹣5＝10，
∴a4+b4
＝（a2+b2）2﹣2a2b2
＝102﹣2×（?52）2
＝100﹣12.5
＝87.5．
6．若x，y滿足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；
（2）x﹣y；
（3）x3y+xy3．
【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式進行變形，再代入求出即可；
（2）先根據(jù)完全平方公式進行變形，再代入求出即可；
（3）先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式求出即可．
【解答】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x+y）2
＝x2+y2+2xy
＝8+2×2
＝12；
（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴x﹣y＝±(x+y)2?4xy
＝±12?8
＝±2．
（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴x3y+xy3
＝xy（x2+y2）
＝2×8
＝16．
7．閱讀理解：
已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25．
∵ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19．
參考上述過程解答：
（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2．
①x2+y2＝ ；
②求（x+y）2的值；
（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．
【分析】（1）①將x﹣y＝﹣3兩邊平方，利用完全平方差公式展開求解即可；
②利用完全平方和公式將（x+y）2展開求解即可；
（2）將x+y＝7兩邊平方，利用完全平方和公式展開，求出xy的值，再將（x﹣y）2利用完全平方差公式展開求解即可．
【解答】解：（1）①∵x﹣y＝﹣3，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9，
∵xy＝﹣2，
∴x2+y2＝5；
故答案為：5．
②∵x2+y2＝5，xy＝﹣2，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1．
（2）∵x+y＝7，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝49，
∵x2+y2＝25，
∴xy＝12，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1．
1．計算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）...（264+1），結果是（ ）
A．264﹣1B．264C．232﹣1D．2128﹣1
【分析】添一個（2﹣1），從而和（2+1）湊成平方差，然后再進行計算即可．
【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）???（264+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）???（264+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）???（264+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）???（264+1）
＝（28﹣1）（28+1）???（264+1）
＝（264﹣1）（264+1）
＝2128﹣1，
故選：D．
2．計算：（1?152）×（1?162）×（1?172）×…×（1?1992）×（1?11002）的結果是（ ）
A．101200B．101125C．101100D．1100
【分析】根據(jù)a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）展開，中間的數(shù)全部約分，只剩下第一個數(shù)和最后一個數(shù)相乘，從而得出答案．
【解答】解：原式＝（1?15）×（1+15）×（1?16）×（1+16）×（1?17）×（1+17）×…×（1?199）×（1+199）×（1?1100）×（1+1100）
=45×65×56×76×67×87×?×9899×10099×99100×101100
=45×101100
=101125．
故選：B．
3．計算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）＝ ．
【分析】根據(jù)平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2進行求解即可．
【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）
＝（232﹣1）（232+1）
＝264﹣1．
故答案為：264﹣1．
4．計算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)(1+1216)+1231= ．
【分析】在原式的前面添上2×(1?12)，即可連續(xù)運用平方差公式進行計算，進而得出計算結果．
【解答】解：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)(1+1216)+1231
＝2×(1?12)(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)(1+1216)+1231
＝2×(1?122)(1+122)(1+124)(1+128)(1+1216)+1231
＝2×(1?124)(1+124)(1+128)(1+1216)+1231
＝2×(1?128)(1+128)(1+1216)+1231
＝2×(1?1216)(1+1216)+1231
＝2×(1?1232)+1231
＝2?1231+1231
＝2．
故答案為：2．
5．閱讀：在計算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+?+x+1）的過程中，我們可以先從簡單的、特殊的情形入手，再到復雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結，形成解決一類問題的一般方法，數(shù)學中把這樣的過程叫做特殊到一般．如下所示：
【觀察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
（1）【歸納】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+?+x+1）＝ ；
（2）【應用】請運用上面的結論，解決下列問題：計算：22023+22022+22021+?+22+2+1；
（3）【拓展】請運用上面的方法，求220﹣219+218﹣217+?﹣23+22﹣2+1的值．
【分析】（1）利用已知得出式子變化規(guī)律，進而得出答案；
（2）利用（1）中變化規(guī)律進而得出答案；
（3）將220﹣219+218﹣217+?﹣23+22﹣2+1轉化為（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+?+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1，再利用（2）中變化規(guī)律進而得出答案．
【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
……；
∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+?+x+1）＝xn+1﹣1，
故答案為：xn+1﹣1；
（2）22023+22022+22021+?+22+2+1
＝（2﹣1）（22023+22022+22021+?+22+2+1）
＝22024﹣1；
（3）220﹣219+218﹣217+?﹣23+22﹣2+1
＝（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+?+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1
=?13×[(?2)?1][(?2)20+(?2)19+(?2)18+(?2)17+?+(?2)3+(?2)2+(?2)+1]
=?13×[(?2)21?1]
=13×221+13．
1．如果x2+2ax+1是一個完全平方式，則a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．2或﹣2
【分析】根據(jù)完全平方式即可得出答案．
【解答】解：∵（x±1）2＝x2±2x+1，且x2+2ax+1是一個完全平方式，
∴±2x＝2a
∴a＝±1，
故選：C．
2．已知a2+2ma+16是一個完全平方式，則m的值為 ．
【分析】利用完全平方公式的特征進行判斷即可．
【解答】解：∵（a±4）2＝a2±2×4a+16，且a2+2ma+16是一個完全平方式，
∴m＝±4．
故答案為：±4．
3．若x2﹣12x+m是一個完全平方式，則m的值為 ．
【分析】根據(jù)完全平方式得出x2﹣12x+m＝x2﹣2x?6+62，即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣12x+m是一個完全平方式，
∴x2﹣12x+m＝x2﹣2x?6+62，
∴m＝36，
故答案為：36．
4．已知關于x的整式9x2+（2k﹣1）x+4是某個關于x的整式的平方，求k的值．
【分析】利用完全平方式的結構特征判斷即可求出k的值．
【解答】解：9x2+（2k﹣1）x+4
＝（3x）2+（2k﹣1）x+22
＝（3x±2）2，
∴2k﹣1＝±2×3×2，
解得k＝6.5或k＝﹣5.5．
5．將多項式9x2+x加上一個整式后，使它能成為另一個整式的平方，你有哪些方法，請寫出三類不同的解法．
【分析】根據(jù)完全平方公式解答即可．
【解答】解：將多項式9x2+x加上一個整式后，使它能成為另一個整式的平方，有如下方法：
9x2+x+（﹣x）＝（3x）2；9x2+x+（5x+1）＝（3x+1）2；9x2+x+（﹣7x+1）＝（3x﹣1）2
1．已知長方形的長為a，寬為b，用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，如圖1所示，中空的部分是一個面積為9的小正方形．用五個這樣的長方形按如圖2的方式擺放，延長部分邊框，構成一個新的大長方形，中間空白部分的面積為58，則a+b的值為（ ）
A．11B．9C．7D．5
【分析】用代數(shù)式表示圖1中中間小正方形的面積，圖2中空白部分的面積，再根據(jù)（a﹣b）2＝9，a2+b2＝29，進一步求出（a+b）2的值即可．
【解答】解：圖1中，中間小正方形的邊長為a﹣b，面積為（a﹣b）2＝9，
由圖2可得，大長方形的長為2a+b，寬為a+2b，因此面積為（2a+b）（a+2b），
所以S中間空白部分＝S長方形﹣S陰影部分＝（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝58，即a2+b2＝29，
∵（a﹣b）2＝9，即a2﹣2ab+b2＝9，而a2+b2＝29，
∴ab＝10，
∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ＝9+40＝49，而a＞b＞0，
所以a+b＝7，
故選：C．
2．在學習完《整式乘法》后，數(shù)學興趣小組探究了這樣一個問題：如圖，現(xiàn)有甲、乙兩張正方形紙片．小勇將甲正方形移至乙正方形的左上角按方式一擺放，小偉將甲、乙正方形并列放置在一個更大的正方形中按方式二擺放．若按方式一擺放時陰影小正方形部分的面積為2，按方式二擺放時陰影部分的面積為8，則甲、乙兩張正方形紙片的面積之和為（ ）
A．12B．10C．8D．6
【分析】設甲的邊長為a，乙的邊長為b，依題意得，方式一中、（b﹣a）2＝2，即b2﹣2ab+a2＝2，方式二中、（a+b）2﹣（a2+b2）＝8，即2ab＝8；根據(jù)b2+a2＝2+2ab，計算求解即可．
【解答】解：根據(jù)題意，設甲的邊長為a，乙的邊長為b，
∵按方式一擺放時陰影小正方形部分的面積為2，
∴（b﹣a）2＝2，即b2﹣2ab+a2＝2，
∵方式二擺放時陰影部分的面積為8，
∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝8，即2ab＝8，
∴b2+a2＝2+2ab＝10．
故選：B．
3．從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1所示），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2所示）．根據(jù)圖形的變化過程，寫出的一個正確的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab
C．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】根據(jù)圖1和圖2分別用作差的方法和整體方法表示出陰影部分的面積列出等式即可．
【解答】解：根據(jù)圖1和圖2可得陰影部分的面積為：a2﹣b2和（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故選：D．
4．在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個矩形（如圖），通過計算圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（ ）
A．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b）B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】這個圖形變換可以用來證明平方差公式：已知在左圖中，大正方形減小正方形剩下的部分面積為a2﹣b2；因為拼成的長方形的長為（a+b），寬為（a﹣b），根據(jù)“長方形的面積＝長×寬”代入為：（a+b）×（a﹣b），因為面積相等，進而得出結論．
【解答】解：由圖可知，大正方形減小正方形剩下的部分面積為a2﹣b2；
拼成的長方形的面積：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故選：B．
5．如圖1，正方形A、B、C的邊長分別為m、n、p，且m+p＜n．
（1）用兩個A種正方形組合成圖2的圖形，外邊框可以圍成一個大正方形，則這個大正方形的面積為 ；（用含m的代數(shù)式表示）
（2）將一個A種和一個B種正方形組合成圖3的圖形，外邊框可以圍成一個大正方形，用兩種不同的方法表示這個大正方形的面積為 ，從而可以得到一個乘法公式為 ；
（3）如圖4，將正方形A、B、C拼接在一起，沿著外邊框可以圍成一個大正方形，類比（2）的思路進行思考，直接寫出所得到的等式 ；
（4）用正方形A、B、C畫出恰當?shù)膱D形，說明（n﹣m﹣p）2＜n2﹣m2﹣p2．
【分析】（1）由題意得大正方形的邊長為2m，根據(jù)面積公式即可表示；
（2）方法一：求出這個大正方形的邊長，利用正方形的面積公式求解即可得；方法二：根據(jù)這個大正方形的面積等于兩個小正方形的面積與兩個小長方形的面積之和即可得；由此即可得出乘法公式；
（3）利用兩種方法求出大正方形的面積，由此即可得出等式；
（4）利用正方形甲、乙、丙構造圖形，根據(jù)圖形中的面積關系即可得．
【解答】解：（1）由題意得大正方形的面積為（2m）2＝4m2，
故答案為：4m2；
（2）方法一：大正方形的邊長為m+n，
則這個大正方形的面積為（m+n）2；
方法二：因為大正方形的面積等于兩個小正方形的面積與兩個小長方形的面積之和，
所以大正方形的面積為m2+n2+2mn；
得到乘法公式為（m+n）2＝m2+n2+2mn，
故答案為：（m+n）2，m2+n2+2mn；（m+n）2＝m2+n2+2mn；
（3）方法一：大正方形的邊長為m+n+p，
則這大正方形的面積為（m+n+p）2；
方法二：因為這個大正方形的面積等于3個小正方形的面積與6個小長方形的面積之和，
得到的等式為（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，
故答案為：（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np；
（4）構造圖形如下：其中，圖形A是邊長為n﹣p﹣m的正方形，
，
則圖形A的面積為（n﹣p﹣m）2，陰影部分的面積為n2﹣p2﹣m2，
所以（n﹣p﹣m）2＜n2﹣m2﹣p2．
6．如圖，某公園有一塊長為（4a+b）m，寬為（2a+6）m的長方形空地，規(guī)劃部門計劃在其內部修建一個底座邊長為（a+b）m的正方形雕像，左右兩邊修兩條寬為am的長方形道路，其余部分（陰影）種植花卉．
（1）用含a，b，的式子表示種植花卉的面積；
（2）若a＝3，b＝2，請求出種植花卉的面積．
【分析】（1）根據(jù)圖形的面積之差列式：（4a+b）（2a+b）﹣（a+b）2﹣a（4a+b﹣a﹣b），再計算即可；
（2）把a＝3，b＝2代入（1）中化簡后的代數(shù)式計算即可．
【解答】解：（1）種植花卉＝（4a+b）（2a+b）﹣（a+b）2﹣a[4a+b﹣（a+b）]，
＝8a2+4ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2﹣3a2，
＝（4a2+4ab）（m2）；
（2）當a＝3，b＝2，
原式＝4×32+4×3×2＝60（m2）．

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