人教版（2024）七年級(jí)下冊(cè)（2024）7.1.2 兩條直線垂直教案設(shè)計(jì)-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

解題大招一利用垂直或垂線相關(guān)的概念或性質(zhì)解題
1.由垂直形成的角是直角（90°）結(jié)合對(duì)頂角或鄰補(bǔ)角的性質(zhì)解題
例1 如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，且OD平分∠BOE，則∠AOD的度數(shù)是（ D ）
A.120° B.125°
C.130° D.135°
解析：因?yàn)镺E⊥AB，所以∠BOE=90°.因?yàn)镺D平分∠BOE，所以∠BOD=∠BOE=45°.由鄰補(bǔ)角的定義，得∠AOD=180°-∠BOD=180°-45°=135°.故選D.
例2 如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB于點(diǎn)O.若∠DOE:∠BOE=1:3，則∠AOC的度數(shù)為60°.
解析：因?yàn)镋O⊥AB，所以∠BOE=90°.因?yàn)椤螪OE∶∠BOE=1:3，所以∠DOE=30°.所以∠BOD=∠BOE-∠DOE=90°-30°=60°.由對(duì)頂角相等，得∠AOC=∠BOD=60°.
2.垂線的性質(zhì)的應(yīng)用
例3 如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點(diǎn)共線），其理由是（ C ）
A兩點(diǎn)確定一條直線
B在同一平面內(nèi)，過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
C在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
D兩點(diǎn)之間，線段最短
3.點(diǎn)到直線的距離的判斷
點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長(zhǎng)度，而不是一個(gè)圖形，也就是垂線段的長(zhǎng)度，而不是垂線段.它只能量出或求出，而不能說(shuō)畫出，畫出的是垂線段這個(gè)圖形.
例4 已知P為直線l外一點(diǎn)，A，B，C為直線l上三點(diǎn)，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，則點(diǎn)P到直線l的距離不可能是（ D ）
C.2cm D.4cm
解析：2＜4＜5，由垂線段最短可知，當(dāng)PC⊥l時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離為2cm，當(dāng)PC與l不垂直時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離小于2cm，因此點(diǎn)P到直線l的距離小于或等于2cm.故選D.
解題大招二 “垂線段最短”的實(shí)際應(yīng)用
生活中往往會(huì)遇到“垂線段最短”問(wèn)題，解題時(shí)正確理解這一性質(zhì)是關(guān)鍵.垂線段最短指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短，它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言的.
例5 如圖①，平原上有A，B，C，D四個(gè)村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣?wèn)題，政府準(zhǔn)備投資修建一個(gè)蓄水池.
（1）不考慮其他因素，請(qǐng)你畫圖確定蓄水池H的位置，使它到四個(gè)村莊距離之和最??；
（2）計(jì)劃把河水引入蓄水池H中，怎樣開(kāi)渠最短？請(qǐng)說(shuō)明依據(jù).
解：（1）如圖②，因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間，線段最短”，所以連接AD，BC交于點(diǎn)H，則點(diǎn)H為蓄水池的位置，它到四個(gè)村莊的距離之和最小.
（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)H作HG⊥EF，垂足為G，沿線段GH開(kāi)渠最短，依據(jù)是“垂線段最短”.
培優(yōu)點(diǎn) 解決與垂直相關(guān)的稍復(fù)雜幾何圖形問(wèn)題
例1 如圖，直線EF，CD相交于點(diǎn)O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF.
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度數(shù)；
（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度數(shù)（用含α的式子表示）.
解：（1）由鄰補(bǔ)角的定義，得∠AOF=180°-∠AOE=180°-40°=140°.
因?yàn)镺C平分∠AOF，所以∠COF=∠AOF=70°.
由對(duì)頂角相等，得∠DOE=∠COF=70°.
因?yàn)镺A⊥OB，所以∠AOB=90°，所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-40°=50°.
所以∠BOD=∠DOE-∠BOE=70°-50°=20°.
（2）由鄰補(bǔ)角的定義，得∠AOF=180°-∠AOE=180°-α.
因?yàn)镺C平分∠AOF，所以∠COF=∠AOF=90°-α.
由對(duì)頂角相等，得∠DOE=∠COF=90°-α.
而∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-α，所以∠BOD=∠DOE-∠BOE=90°-α-(90°-α)= α.
例2 如圖，OA⊥OB，引射線OC（點(diǎn)C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD.
（1）若∠BOC=40°，請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖形，并求∠BOE的度數(shù)；
（2）若∠BOC=α（0°＜α＜90°），請(qǐng)直接寫出∠BOE的度數(shù)（用含α的式子表示）.
解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示.
因?yàn)镺A⊥OB，所以∠AOB=90°.
因?yàn)镺D平分∠BOC，∠BOC=40°，所以∠COD=∠BOD=∠BOC=×40°=20°.
所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+20°=110°.
因?yàn)镺E平分∠AOD，所以∠DOE=∠AOD=×110°=55°.
所以∠BOE=∠DOE-∠BOD=55°-20°=35°.
（2）∠BOE=45°-α.
解析:同（1）可得∠COD=∠BOD=α，∠AOD=α+90°，∠DOE=∠AOD=α+45°，則∠BOE=∠DOE-∠BOD=α+45°-α=45°-α.教學(xué)目標(biāo)
課題
7.1.2兩條直線垂直
授課人
素養(yǎng)目標(biāo)
1.了解垂直、垂線的概念，掌握垂線的基本事實(shí)“在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，會(huì)用三角尺或量角器過(guò)一點(diǎn)畫一條直線的垂線.
2.掌握垂線的性質(zhì)“垂線段最短”，掌握點(diǎn)到直線的距離的概念，會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離.
教學(xué)重點(diǎn)
掌握垂直中角度和位置的雙重含義；理解垂線的基本事實(shí)并會(huì)利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；理解“垂線段最短”，并能運(yùn)用于生活實(shí)際.
教學(xué)難點(diǎn)
過(guò)直線上（外）一點(diǎn)作已知直線的垂線，對(duì)點(diǎn)到直線的距離的理解.
教學(xué)活動(dòng)
教學(xué)步驟
師生活動(dòng)
活動(dòng)一：回顧舊知，新課導(dǎo)入
【回顧導(dǎo)入】
在前面我們學(xué)習(xí)了兩條直線相交形成的四個(gè)角，這四個(gè)角形成了4對(duì)鄰補(bǔ)角和2對(duì)對(duì)頂角.大家還記得鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的定義嗎？
如果兩條直線相交形成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線有怎樣的特殊關(guān)系？下面的圖片是日常生活中存在這種關(guān)系的一些實(shí)例.今天我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.
【教學(xué)建議】
教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧相交線的知識(shí)，以所成角的特殊情況引入對(duì)垂直的探究.
設(shè)計(jì)意圖
回顧相交線所成的角，以生活實(shí)例引入垂直的概念.
活動(dòng)二：?jiǎn)栴}引入，自主探究
探究點(diǎn)1 認(rèn)識(shí)垂線和垂直
問(wèn)題在相交線的模型中，固定木條a，轉(zhuǎn)動(dòng)木條b.當(dāng)b的位置變化時(shí)，a，b所成的∠α也會(huì)發(fā)生變化.在b轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)∠α=90°時(shí)，木條a與b所形成的其他三個(gè)角的度數(shù)是多少？
其他三個(gè)角的度數(shù)都是90°.
概念引入：
一般地，當(dāng)兩條直線a,b相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，我們說(shuō)a與b互相垂直，記作“a⊥b”.
兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫作垂足.
【教學(xué)建議】
學(xué)生動(dòng)手探究?jī)蓷l直線垂直所形成的四個(gè)角之間的關(guān)系，“互相垂直”是指兩條直線的位置關(guān)系；“垂線”是指其中一條直線對(duì)另一條直線的命名.如果兩條直線“互相
設(shè)計(jì)意圖
通過(guò)對(duì)相交線模型的探究，引入垂線的相關(guān)知識(shí).
教學(xué)步驟
師生活動(dòng)
由上可知，如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角等于90°，那么這兩條直線互相垂直.如圖，如果直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD.這個(gè)推理過(guò)程可寫成什么形式？
因?yàn)椤螦OD=90°，所以AB⊥CD.
反過(guò)來(lái)，如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？寫出這個(gè)推理過(guò)程.
因?yàn)锳B⊥CD，所以∠AOD=90°.
這說(shuō)明垂直的定義具有雙重含義.
請(qǐng)找出“活動(dòng)一”圖片中互相垂直的直線.
學(xué)生自行回答即可.
【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】
1.教材P6練習(xí)第1題.
2.如圖，OA⊥OB，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是（ C ）
A.40° B.45° C.50° D.55
垂直”，那么其中一條直線必定是另一條直線的“垂線”；如果一條直線是另一條直線的“垂線”，那么它們必定“互相垂直”.
設(shè)計(jì)意圖
探究點(diǎn)2 垂線的基本事實(shí)(垂線的性質(zhì)1)
問(wèn)題如圖，現(xiàn)有一條已知直線l，用三角尺或量角器分別過(guò)直線上一點(diǎn)A和直線外一點(diǎn)B，畫l的垂線，這樣的垂線你能畫出幾條？
通過(guò)實(shí)際操作，我們得出：經(jīng)過(guò)直線上一點(diǎn)能畫 1 條直線與已知直線垂直；經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)能畫 1 條直線與已知直線垂直.
歸納總結(jié)：將上述結(jié)論合并在一起，我們得到關(guān)于垂線的基本事實(shí)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.
例1 （教材P5例2）如圖，過(guò)點(diǎn)P畫出射線AB或線段AB的垂線.
解：如圖所示.
【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】
1.下列說(shuō)法正確的有（ B ）
①在同一平面內(nèi)，過(guò)直線上一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；
②在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知
【教學(xué)建議】
學(xué)生獨(dú)立思考并動(dòng)手操作，教師總結(jié)常規(guī)畫法.畫垂線的方法多種多樣，對(duì)于學(xué)生使用的其他正確的方法，教師應(yīng)予以肯定與鼓勵(lì).畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線，垂足可以在線段（射線）上，也可以在線段的延長(zhǎng)線（射線的反向延長(zhǎng)線）上.
通過(guò)回顧垂線的畫法，引入對(duì)垂線性質(zhì)的探究.
教學(xué)步驟
師生活動(dòng)
直線垂直；
③在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)可以任意畫一條直線垂直于已知直線；
④在同一平面內(nèi)，有且只有一條直線與已知直線垂直.
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
2.教材P6練習(xí)第2題.
設(shè)計(jì)意圖
探究點(diǎn)3 垂線的性質(zhì)2——垂線段最短
如圖，在灌溉時(shí)，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖渠能使渠道最短？
對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們可以將其簡(jiǎn)化為求點(diǎn)P到直線l的最短路線.
對(duì)此，我們進(jìn)行如下探究：如圖，P是直線l外一點(diǎn)，PO⊥l，垂足為O.A是直線l上除點(diǎn)O外一點(diǎn)，連接PA.測(cè)量并比較線段PO與PA的長(zhǎng)度，你能得到什么結(jié)論？改變點(diǎn)A的位置呢？
PO的長(zhǎng)度小于PA的長(zhǎng)度.改變點(diǎn)A的位置后，測(cè)量各線段的長(zhǎng)度，比較得出：線段PO的長(zhǎng)度最短，即當(dāng)點(diǎn)P與直線l上的點(diǎn)的連線與直線l垂直時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最短.也就是過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，點(diǎn)P與垂足之間的線段即為最短路線.
歸納總結(jié)：如果我們規(guī)定，當(dāng)PO⊥直線l時(shí)，線段PO為點(diǎn)P到直線l的垂線段，即可得出如下結(jié)論（垂線的性質(zhì)2）：
連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短.
問(wèn)題1 我們學(xué)習(xí)了垂線段，認(rèn)識(shí)了垂線，這兩種圖形有什么區(qū)別與聯(lián)系？
垂線段是一條線段，而垂線是一條直線；垂線段是垂線上的一部分.
問(wèn)題2 以前我們學(xué)習(xí)過(guò)兩點(diǎn)之間的距離，大家還記得怎樣才能得到兩點(diǎn)之間的距離嗎？
測(cè)量連接兩個(gè)點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度.
問(wèn)題3 類比兩點(diǎn)之間的距離，一個(gè)點(diǎn)到一條直線的距離又該如何確定？
確定點(diǎn)到直線的距離，應(yīng)該測(cè)量點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度.
概念引入：
直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫作點(diǎn)到直線的距離.
【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】
1.現(xiàn)在，你知道本探究點(diǎn)中如何挖渠能使渠道最短嗎？
解：應(yīng)從點(diǎn)P處向河岸作垂線，這樣得到的垂線段即為最短的渠道.
2.教材P6練習(xí)第3題.
【教學(xué)建議】
教師先引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何圖形，然后通過(guò)圖形探究垂線的性質(zhì)，得出結(jié)論，最后可讓學(xué)生舉例說(shuō)明“垂線段最短”在日常生活中的應(yīng)用.
教師也可以利用幾何畫板構(gòu)圖，在直線l上拖動(dòng)點(diǎn)A，改變點(diǎn)A的位置，探究PO與PA的長(zhǎng)度關(guān)系，讓學(xué)生有更直觀地感受.
對(duì)于“點(diǎn)到直線的距離”應(yīng)強(qiáng)調(diào)說(shuō)明：距離指的是長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，而垂線段是圖形，兩者不能混淆.
以實(shí)際生活問(wèn)題為例，引出垂線段及點(diǎn)到直線的距離的概念并探究其性質(zhì).
教學(xué)步驟
師生活動(dòng)
活動(dòng)三：重點(diǎn)突破，提升探究
例2 如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O，MO⊥AB于點(diǎn)O.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度數(shù);
(2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC與∠MOD的度數(shù).
解：(1)因?yàn)镸O⊥AB,所以∠AOM=90°.
所以∠1+∠AOC=90°.
又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°.
所以∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90°=90°.
(2)由已知條件∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°,
所以∠AOC=∠AOM-∠1=90°-30°=60°.
由鄰補(bǔ)角的定義，得∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°.
【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】
如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，F(xiàn)O⊥AB于點(diǎn)O.
（1）若∠COF=50°，求∠COE的度數(shù)；
（2）若∠DOE=2∠BOD，求∠COF的度數(shù).
解：（1）因?yàn)镕O⊥AB，所以∠AOF=90°.
因?yàn)椤螩OF=50°，
所以∠AOC=∠AOF-∠COF=90°-50°=40°.
由鄰補(bǔ)角的定義，得∠AOD=180°-∠AOC=180°-40°=140°.
因?yàn)镺E平分∠AOD，所以∠AOE=∠AOD=×140°=70°.
所以∠COE=∠AOE+∠AOC=70°+40°=110°.
（2）因?yàn)镺E平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE.
又∠DOE=2∠BOD，所以∠AOD=4∠BOD.
因?yàn)椤螦OD+∠BOD=180°，所以4∠BOD+∠BOD=180°，所以∠BOD=36°.
由對(duì)頂角相等，得∠AOC=∠BOD=36°，
所以∠COF=∠AOF-∠AOC=90°-36°=54°.
【教學(xué)建議】
學(xué)生獨(dú)立思考作答，教師統(tǒng)一答案.教師應(yīng)提醒學(xué)生注意：垂直和直線夾角成90°是相互對(duì)應(yīng)的關(guān)系，但兩者存在一定的區(qū)別，垂直是兩條直線的位置關(guān)系，90°是角的度數(shù).
設(shè)計(jì)意圖
利用垂直的定義，結(jié)合鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角等知識(shí)解決角度問(wèn)題.
活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)
【隨堂訓(xùn)練】相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.
【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：
1.什么是垂線？如何用三角尺或量角器過(guò)一點(diǎn)畫已知直線、射線、線段的垂線？垂線的基本事實(shí)是什么？
2.“垂線段最短”和點(diǎn)到直線的距離的含義是什么？垂線段和垂線之間有哪些區(qū)別和聯(lián)系？
教學(xué)步驟
師生活動(dòng)
【知識(shí)結(jié)構(gòu)】
【作業(yè)布置】
1.教材P8習(xí)題7.1第2，3，4，6，8題.
2.相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練.
板書設(shè)計(jì)
7.1.2 兩條直線垂直
1.垂直及垂線的相關(guān)概念.
2.垂線的畫法：①靠；②過(guò)；③畫.
3.垂線的基本事實(shí)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.
4.垂線的性質(zhì)2——垂線段最短.
5.點(diǎn)到直線的距離：垂線段的長(zhǎng)度.
教學(xué)反思
本節(jié)課主要研究?jī)蓷l直線相交時(shí)的特殊情況——垂直，可類比前面兩條直線相交時(shí)的一般情況學(xué)習(xí)新知識(shí).之后復(fù)習(xí)垂線的畫法來(lái)探究過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線的情況，通過(guò)實(shí)際動(dòng)手操作，體會(huì)垂線的存在性和唯一性.最后通過(guò)“挖渠”這一實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程，逐步探究得出“垂線段最短”這一性質(zhì)，并明確點(diǎn)到直線的距離這一概念，滲透了“數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活”的理念.其中，應(yīng)加深學(xué)生對(duì)于“垂線段最短”這一性質(zhì)的理解，為后面學(xué)習(xí)三角形的高做好鋪墊.

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