湖北省武漢市2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)模擬考數(shù)學(xué)練習(xí)卷（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．明天太陽(yáng)從西方升起
B．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，反面朝上
C．若k＞0，則直線y＝kx+1一定經(jīng)過第一象限
D．經(jīng)過十字路口，剛好是綠燈
2．（3分）如圖圖形中是中心對(duì)稱圖形的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0，若配方后結(jié)果為（x﹣m）2＝10，則m的值為（）
A．±3B．3C．﹣3D．6
4．（3分）將拋物線y=13x2向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線是（）
A．y=13(x?3)2?2B．y=13（x﹣2）2﹣3
C．y=13（x+2）2﹣3D．y=13（x+3）2+2
5．（3分）圓的直徑是13cm，如果圓心到直線的距離是7cm，那么該直線和圓的位置關(guān)系是（）
A．相離B．相切
C．相交D．相交或相切
6．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣3x＝2的兩根，則x1?x2的值為（）
A．2B．﹣2C．﹣3D．3
7．（3分）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC＝4，對(duì)角線OB在第一象限的角平分線上．若矩形從圖示位置開始，繞點(diǎn)O以每秒45°的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則當(dāng)?shù)?025秒時(shí)，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）
A．(2，2)B．(?2，?2)C．（2，0）D．（0，2）
8．（3分）如圖，一個(gè)小球從A點(diǎn)沿制定的軌道下落，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種機(jī)會(huì)相等的結(jié)果，那么，小球最終到達(dá)F點(diǎn)的概率是（）
A．12B．13C．14D．18
9．（3分）從地面豎直向上先后拋出兩個(gè)小球，小球的高度h（單位：m）與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為h=?409（t﹣3）2+40，若后拋出的小球經(jīng)過2.5s比先拋出的小球高103m，則拋出兩個(gè)小球的間隔時(shí)間是（）s．
A．1B．1.5C．2D．2.5
10．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是（）
A．x＜3B．x＞﹣1
C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1 或 x＞3
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a，﹣1）與點(diǎn)B（2，b）關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則a+b＝．
12．（3分）一個(gè)不透明的布袋里，裝有若干個(gè)只有顏色不同的紅球和黃球，其中紅球有5個(gè)，某同學(xué)從袋中任意摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，通過這樣多次反復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則可估計(jì)袋中球的總個(gè)數(shù)是．
13．（3分）某口罩廠八月份的口罩產(chǎn)量為100萬只，由于市場(chǎng)需求量增加，十月份的產(chǎn)量增加到121萬只，設(shè)九月、十月口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為．
14．（3分）如圖，從半徑為6cm的圓形紙片上剪去16圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），那么這個(gè)圓錐的高是 cm．
15．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，如圖所示，其對(duì)稱軸是直線x＝1，分析下列結(jié)論：①3a+c＞0；②（a+c）2＜b2；③a+3b+9c＞0；④若﹣1＜x＜2，則ax2+bx+c＞0；⑤a2m2+abm≤a（a+b）其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）．
16．（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為4，則CD的長(zhǎng)為．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（8分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的值；
（2）求出方程的根．
18．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C'，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在線段BC上，求證：AB∥B'C'．
19．（8分）為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，某學(xué)校決定舉辦“青春心向黨，奮進(jìn)新征程”主題演講比賽，該校九年級(jí)一班有1男3女共4名學(xué)生報(bào)名參加演講比賽．
（1）若從報(bào)名的4名學(xué)生中隨機(jī)選1名，則所選的這名學(xué)生是女生的概率是；
（2）若從報(bào)名的4名學(xué)生中隨機(jī)選2名，用畫樹狀圖或列表的方法，求這2名學(xué)生都是女生的概率．
20．（8分）如圖，⊙O與△ABC的AC邊相交于點(diǎn)C，與AB相切于點(diǎn)D、與BC邊交于點(diǎn)E，DE∥OA，CE是⊙O的直徑．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若BD＝2，AC＝3，求⊙O的半徑長(zhǎng)．
21．（8分）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作．它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上最成功的教科書．歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品．歐幾里得使用了公理化的方法，這一方法后來成了建立任何知識(shí)體系的典范，在差不多二千年間，被奉為必須遵守的嚴(yán)密思維的范例．這本著作是歐幾里得幾何的基礎(chǔ)，在西方是僅次于《圣經(jīng)》而流傳最廣的書籍．
小明在研究《幾何原本》時(shí)，對(duì)定理4.2展開分析研討：
定理4.2在一個(gè)已知圓內(nèi)作一個(gè)與已知三角形等角的內(nèi)接三角形．
原書作法如下：
如圖1，△ABC為已知三角形，⊙O為已知圓，過⊙O上一點(diǎn)P作⊙O的切線MN，作∠FPM＝∠ABC，交⊙O于點(diǎn)F，作∠EPN＝∠ACB，交⊙O于點(diǎn)E，連接EF，△PEF即為所求．
小明準(zhǔn)備將原命題證明并進(jìn)行拓展研究，請(qǐng)分析并幫助小明完成．
（1）已知：直線MN切⊙O于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)為⊙O上一點(diǎn)，若，
求證：．
請(qǐng)將已知和求證補(bǔ)充完整并證明．
（2）若AB＝AC＝5，BC＝8，EF＝16，求⊙O的半徑．
22．（10分）“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，網(wǎng)上購(gòu)物備受消費(fèi)者青睞．某網(wǎng)店專售一款休閑褲，其成本為每條40元，當(dāng)售價(jià)為每條80元時(shí)，每月可銷售100條．為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價(jià)措施．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查反映：銷售單價(jià)每降2元，則每月可多銷售10條，設(shè)每條褲子的售價(jià)為x元（x為正整數(shù)），每月的銷售量為y條．
（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)該網(wǎng)店每月獲得的利潤(rùn)為w元，當(dāng)銷售單價(jià)降低多少元時(shí)，每月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
（3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定每月從利潤(rùn)中捐出200元資助貧困學(xué)生，為了保證捐款后每月利潤(rùn)不低于4175元，且讓消費(fèi)者得到最大的實(shí)惠，該如何確定休閑褲的銷售單價(jià)？
23．（10分）（2021春?城廂區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，AD＝4cm，CD＝15cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．
①0＜t＜7.5時(shí)，用t分別表示出AP和DQ的長(zhǎng)：AP＝，DQ＝；
②若運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，求t的值；
（2）若P點(diǎn)先運(yùn)動(dòng)2秒后停止運(yùn)動(dòng)．此時(shí)Q點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)D點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)立即停止，則t為時(shí)（直接寫出結(jié)果）△DPQ為直角三角形．
24．（12分）如圖，已知拋物線y＝x2+2x﹣3，點(diǎn)B為拋物線與x軸的右側(cè)交點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣4，5），點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上．
（1）當(dāng)A、B、P、Q圍成的四邊形是以AB為對(duì)角線的平行四邊形時(shí)，求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）是否存在P、Q點(diǎn)使得△ABP與△ABQ全等？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（P、Q不重合，（1）中情況除外）．
（3）過點(diǎn)A作直線L，使得L與x軸夾角的正切值為4，平移直線L，設(shè)直線L與拋物線的交點(diǎn)為C、D（點(diǎn)C在x軸上方、點(diǎn)D在x軸下方），M為x軸上的點(diǎn)，當(dāng)|CM﹣DM|取得最大值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）下列事件屬于必然事件的是（）
A．明天太陽(yáng)從西方升起
B．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，反面朝上
C．若k＞0，則直線y＝kx+1一定經(jīng)過第一象限
D．經(jīng)過十字路口，剛好是綠燈
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】C
【分析】根據(jù)隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)，即可解答．
【解答】解：A、明天太陽(yáng)從西方升起，是不可能事件，故A不符合題意；
B、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，反面朝上，是隨機(jī)事件，故B不符合題意；
C、若k＞0，則直線y＝kx+1一定經(jīng)過第一象限，是必然事件，故C符合題意；
D、經(jīng)過十字路口，剛好是綠燈，是隨機(jī)事件，故D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)事件，熟練掌握隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
2．（3分）如圖圖形中是中心對(duì)稱圖形的是（）
A．B．
C．D．
【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形．
【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀．
【答案】C
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【解答】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
B、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
C、是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
D、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了中心對(duì)稱圖形，掌握中心對(duì)稱圖形的概念是解題關(guān)鍵．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0，若配方后結(jié)果為（x﹣m）2＝10，則m的值為（）
A．±3B．3C．﹣3D．6
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣配方法．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】B
【分析】羨慕ab常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊加上9，然后把方程左邊寫成完全平方的形式，從而得到m的值．
【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，
x2﹣6x＝1，
x2﹣6x+9＝10，
（x﹣3）2＝10，
所以m＝3．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：熟練掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．
4．（3分）將拋物線y=13x2向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線是（）
A．y=13(x?3)2?2B．y=13（x﹣2）2﹣3
C．y=13（x+2）2﹣3D．y=13（x+3）2+2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】A
【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律寫出平移拋物線解析式．
【解答】解：將拋物線y=13x2向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線是y=13（x﹣3）2﹣2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．
5．（3分）圓的直徑是13cm，如果圓心到直線的距離是7cm，那么該直線和圓的位置關(guān)系是（）
A．相離B．相切
C．相交D．相交或相切
【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．
【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．
【答案】A
【分析】根據(jù)圓心到直線的距離7大于圓的半徑6.5，則直線和圓相離．
【解答】解：∵⊙O的直徑為13cm，
∴⊙O的半徑為6.5cm，
∵圓心O到一條直線的距離為7cm＞6.5cm，
∴直線和圓相離．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】考查了直線和圓的位置關(guān)系和數(shù)量之間的等價(jià)關(guān)系：當(dāng)d＞r時(shí)，直線和圓相離．
6．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣3x＝2的兩根，則x1?x2的值為（）
A．2B．﹣2C．﹣3D．3
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】B
【分析】方程整理后，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出所求即可．
【解答】解：方程整理得：x2﹣3x﹣2＝0，
∵x1，x2是方程的兩根，a＝1，c＝﹣2，
∴x1?x2＝﹣2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC＝4，對(duì)角線OB在第一象限的角平分線上．若矩形從圖示位置開始，繞點(diǎn)O以每秒45°的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則當(dāng)?shù)?025秒時(shí)，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）
A．(2，2)B．(?2，?2)C．（2，0）D．（0，2）
【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)．
【專題】猜想歸納；推理能力．
【答案】C
【分析】先由AC的長(zhǎng)得出OB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出OG的長(zhǎng)，再由每秒旋轉(zhuǎn)45°可得出每旋轉(zhuǎn)八秒點(diǎn)G的位置重復(fù)出現(xiàn)，據(jù)此可解決問題．
【解答】解：因?yàn)榫匦蜲ABC繞點(diǎn)O以每秒45°的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，
所以360°÷45°＝8，
則每旋轉(zhuǎn)八秒點(diǎn)G的位置重復(fù)出現(xiàn)．
又因?yàn)?025÷8＝253余1，
所以第2025秒時(shí)點(diǎn)G的位置與第1秒時(shí)點(diǎn)G的位置相同．
因?yàn)樗倪呅蜲ABC是矩形，且AC＝4，
所以O(shè)B＝AC＝4，
所以O(shè)G＝2．
因?yàn)閷?duì)角線OB在第一象限的角平分線上，
所以∠GOx＝45°，
所以第1秒時(shí)，點(diǎn)G在x軸上，且GO＝2，
所以此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，0），
則第2025秒時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，0）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)及點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，能根據(jù)所給旋轉(zhuǎn)方式發(fā)現(xiàn)每旋轉(zhuǎn)八秒點(diǎn)G的位置重復(fù)出現(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，一個(gè)小球從A點(diǎn)沿制定的軌道下落，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種機(jī)會(huì)相等的結(jié)果，那么，小球最終到達(dá)F點(diǎn)的概率是（）
A．12B．13C．14D．18
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法．
【專題】概率及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】A
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：由圖可知，共有（A，B，C，E），（A，B，C，F(xiàn)），（A，B，D，F(xiàn)），（A，B，D，H）4種等可能的情況，
其中小球最終到達(dá)F點(diǎn)的情況有（A，B，C，F(xiàn)），（A，B，D，F(xiàn)），共2種，
∴小球最終到達(dá)F點(diǎn)的概率為24=12．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率公式，熟練掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
9．（3分）從地面豎直向上先后拋出兩個(gè)小球，小球的高度h（單位：m）與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為h=?409（t﹣3）2+40，若后拋出的小球經(jīng)過2.5s比先拋出的小球高103m，則拋出兩個(gè)小球的間隔時(shí)間是（）s．
A．1B．1.5C．2D．2.5
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】B
【分析】把t＝2.5代入h=?409（t﹣3）2+40，求得h=3509，當(dāng)h=3509?103=3209時(shí)，解方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：把t＝2.5代入h=?409（t﹣3）2+40，得，h=3509，
當(dāng)h=3509?103=3209時(shí)，即?409（t﹣3）2+40=3209，
解得：t＝4或t＝2（不合題意舍去），
∴拋出兩個(gè)小球的間隔時(shí)間是4﹣2.5＝1.5，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意是解題關(guān)鍵．
10．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是（）
A．x＜3B．x＞﹣1
C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1 或 x＞3
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到該函數(shù)的對(duì)稱軸和與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，從而可以得到另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再根據(jù)函數(shù)圖象即可得到當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍．
【解答】解：由函數(shù)圖象可知，
該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．
則該函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），
故當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是﹣1＜x＜3，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a，﹣1）與點(diǎn)B（2，b）關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則a+b＝ ﹣1 ．
【考點(diǎn)】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【專題】平面直角坐標(biāo)系；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】﹣1．
【分析】關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可得a，b的值，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：∵點(diǎn)A（a，﹣1）與點(diǎn)B（2，b）關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴a+b＝﹣2+1＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟知關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．
12．（3分）一個(gè)不透明的布袋里，裝有若干個(gè)只有顏色不同的紅球和黃球，其中紅球有5個(gè)，某同學(xué)從袋中任意摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，通過這樣多次反復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則可估計(jì)袋中球的總個(gè)數(shù)是 20 ．
【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率．
【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】20．
【分析】用紅球的個(gè)數(shù)除以紅球的頻率即可求得球的總數(shù)．
【解答】解：總的球數(shù)為：5÷0.25＝20，
∴紅球有20個(gè)．
故答案為：20．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)紅球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．
13．（3分）某口罩廠八月份的口罩產(chǎn)量為100萬只，由于市場(chǎng)需求量增加，十月份的產(chǎn)量增加到121萬只，設(shè)九月、十月口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為 100（1+x）2＝121 ．
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】100（1+x）2＝121．
【分析】利用該口罩廠十月份的產(chǎn)量＝該口罩廠八月份的產(chǎn)量×（1+九月、十月口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得：100（1+x）2＝121．
故答案為：100（1+x）2＝121．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，從半徑為6cm的圓形紙片上剪去16圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），那么這個(gè)圓錐的高是 11 cm．
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算；展開圖折疊成幾何體．
【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．
【答案】11．
【分析】根據(jù)題意可計(jì)算出則剪去16圓周的一個(gè)扇形面積，即為圍成圓錐的側(cè)面積，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則母線l＝6，根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式S＝πrl，計(jì)算即可算出r的值，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：半徑為6的圓的面積為36π cm2，
則剪去16圓周的一個(gè)扇形面積為36π×56=30π cm2，
設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則母線l＝6cm，
S＝πrl，
即30π＝πr×6，
解得r＝5，
則h=l2?r2=62?52=11．
故答案為：11．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓錐的計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A錐的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
15．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，如圖所示，其對(duì)稱軸是直線x＝1，分析下列結(jié)論：①3a+c＞0；②（a+c）2＜b2；③a+3b+9c＞0；④若﹣1＜x＜2，則ax2+bx+c＞0；⑤a2m2+abm≤a（a+b）其中正確的結(jié)論有 ②③ （填序號(hào)）．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程（組）或不等式；幾何直觀；推理能力．
【答案】②③．
【分析】利用對(duì)稱軸方程得到b＝﹣2a，再利用x＝﹣1時(shí)，a﹣b+c＜0得到3a+c＜0，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用x＝﹣1時(shí)，a﹣b+c＜0；x＝1時(shí)，a+b+c＞0得到（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用x=13時(shí)得到19a+13b+c＞0，可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）和（0，0）之間則可對(duì)④進(jìn)行判斷；利用x＝1時(shí)，y有最大值得到am2+bm+c≤a+b+c，然后利用a＜0可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∵x＝﹣1時(shí)，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以①錯(cuò)誤；
∵x＝﹣1時(shí)，y＜0，即a﹣b+c＜0；x＝1時(shí)，y＞0，即a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，所以②正確；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）和（0，0）之間，
∴0＜x＜2，ax2+bx+c＞0，所以②錯(cuò)誤；
∵x=13時(shí)，y＞0，即19a+13b+c＞0，
∴a+3b+9c＞0，所以③正確；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）和（0，0）之間，
∴0＜x＜2，ax2+bx+c＞0，所以④錯(cuò)誤；
∵x＝1時(shí)，y有最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
而a＜0，
∴a2m2+abm≥a2+ab，所以⑤錯(cuò)誤．
答案為：②③．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由判別式確定：Δ＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；Δ＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；Δ＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．
16．（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為4，則CD的長(zhǎng)為 22 ．
【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂徑定理．
【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】22．
【分析】連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理得圓心角為90°，根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求出CD．
【解答】解：如圖，連接OA，OC．
∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，
在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC=OA2+OC2=42，
∵CD⊥AB，∠CAB＝30°，
∴CD=12AC＝22．
故答案為：22．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，勾股定理，含30°角的直角三角形，其中連接OA、OC構(gòu)造圓心角，利用圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（8分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的值；
（2）求出方程的根．
【考點(diǎn)】根的判別式；解一元二次方程﹣公式法．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】（1）k＝﹣16；
（2）x1＝x2＝4．
【分析】（1）根據(jù)題意得出關(guān)于k的方程，解方程即可求得k的值；
（2）把k的值代入原方程解方程即可．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
∴Δ＝0，即Δ＝（﹣8）2﹣4?（﹣k）＝0，
∴64+4k＝0，
解得k＝﹣16；
（2）因?yàn)閗＝﹣16，
所以方程為x2﹣8x+16＝0．
解之得x1＝x2＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式Δ＝b2﹣4ac．當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．
18．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C'，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在線段BC上，求證：AB∥B'C'．
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行線的判定．
【專題】線段、角、相交線與平行線；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力．
【答案】證明見解答過程．
【分析】求出∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，根據(jù)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C'，可得∠AB'C'＝∠B＝60°，AB＝AB'，故∠AB'B＝∠B＝60°，從而可得∠B＝∠C'B'C＝60°，即可得AB∥B'C'．
【解答】證明：∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C'，
∴∠AB'C'＝∠B＝60°，AB＝AB'，
∴∠AB'B＝∠B＝60°，
∴∠C'B'C＝180°﹣∠AB'B﹣∠AB'C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠B＝∠C'B'C＝60°，
∴AB∥B'C'．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．
19．（8分）為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，某學(xué)校決定舉辦“青春心向黨，奮進(jìn)新征程”主題演講比賽，該校九年級(jí)一班有1男3女共4名學(xué)生報(bào)名參加演講比賽．
（1）若從報(bào)名的4名學(xué)生中隨機(jī)選1名，則所選的這名學(xué)生是女生的概率是 34 ；
（2）若從報(bào)名的4名學(xué)生中隨機(jī)選2名，用畫樹狀圖或列表的方法，求這2名學(xué)生都是女生的概率．
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式．
【專題】概率及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】（1）34；
（2）12．
【分析】（1）利用樹狀圖列出所有情況，找出所選的這名學(xué)生是女生的情況，代入P=mn即可得到答案；
（2）利用樹狀圖列出所有情況，找出2名學(xué)生都是女生的情況，代入P=mn即可得到答案．
【解答】解：（1）由題意可得，
由圖可得總共有4種等可能情況，是女生的等情況數(shù)有3種，
∴所選的這名學(xué)生是女生的概率是 34，
∴選的這名學(xué)生是女生的概率是34；
（2）由題意可得，
由圖可得總共有12種等可能情況，是女生的等情況數(shù)有6種，
∴2名學(xué)生都是女生的概率P=612=12，
∴這2名學(xué)生都是女生的概率為12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是正確列出樹狀圖．
20．（8分）如圖，⊙O與△ABC的AC邊相交于點(diǎn)C，與AB相切于點(diǎn)D、與BC邊交于點(diǎn)E，DE∥OA，CE是⊙O的直徑．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若BD＝2，AC＝3，求⊙O的半徑長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)．
【專題】圖形的全等；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；推理能力．
【答案】（1）見解析；
（2）⊙O的半徑長(zhǎng)為32．
【分析】（1）連接OD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠OED＝∠ODE，即可得出∠AOC＝∠AOD，進(jìn)而證得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO＝∠ACB＝90°，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理和勾股定理求出AD＝AC＝3，BC＝4，證明△OBD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出OB，即可求解．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴∠ADO＝90°，
在△AOD和△AOC中，
OD=OC∠AOD=∠AOCOA=OA，
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OC是半徑，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：∵AB、AC是⊙O的切線，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，AD＝AC＝3，
∵BD＝2，
∴AB＝5，BC=AB2?AC2=52?32=4，
∵∠B＝∠B，
∴△OBD∽△ABC，
∴BDBC=OBAB，
∴24=OB5，
∴OB=52，
∴OC＝BC﹣OB＝4?52=32，
故⊙O的半徑長(zhǎng)為32．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作．它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上最成功的教科書．歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品．歐幾里得使用了公理化的方法，這一方法后來成了建立任何知識(shí)體系的典范，在差不多二千年間，被奉為必須遵守的嚴(yán)密思維的范例．這本著作是歐幾里得幾何的基礎(chǔ)，在西方是僅次于《圣經(jīng)》而流傳最廣的書籍．
小明在研究《幾何原本》時(shí)，對(duì)定理4.2展開分析研討：
定理4.2在一個(gè)已知圓內(nèi)作一個(gè)與已知三角形等角的內(nèi)接三角形．
原書作法如下：
如圖1，△ABC為已知三角形，⊙O為已知圓，過⊙O上一點(diǎn)P作⊙O的切線MN，作∠FPM＝∠ABC，交⊙O于點(diǎn)F，作∠EPN＝∠ACB，交⊙O于點(diǎn)E，連接EF，△PEF即為所求．
小明準(zhǔn)備將原命題證明并進(jìn)行拓展研究，請(qǐng)分析并幫助小明完成．
（1）已知：直線MN切⊙O于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)為⊙O上一點(diǎn)，若 ∠FPM＝∠ABC，∠EPN＝∠ACB ，
求證： △ABC∽△PEF ．
請(qǐng)將已知和求證補(bǔ)充完整并證明．
（2）若AB＝AC＝5，BC＝8，EF＝16，求⊙O的半徑．
【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；切線的判定與性質(zhì)．
【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；圖形的相似；幾何直觀；推理能力．
【答案】（1）∠FPM＝∠ABC，∠EPN＝∠ACB，△ABC∽△PEF，證明過程見解析；
（2）253．
【分析】（1）連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)Q，連接QE，QF，根據(jù)∠PFQ＝∠PFE+∠EFQ＝90°、∠QPN＝∠EPN+∠EPQ＝90°即可求證；
（2）連接PO交EF于點(diǎn)D，連接OE，根據(jù)△ABC∽△PEF可得PE＝PF＝10；根據(jù)題意推出PD⊥EF，ED=FD=12EF=8即可求解．
【解答】（1）證明：連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)Q，連接QE，QF，如圖所示：
由題意得：∠QPN＝∠EPN+∠EPQ＝90°，
∵PQ為⊙O的直徑，
∴∠PFQ＝∠PFE+∠EFQ＝90°，
∵∠EPQ＝∠EFQ，
∴∠EPN＝∠PFE，
∵∠EPN＝∠ACB，
∴∠PFE＝∠ACB，
同理可得∠PEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△PEF，
故答案為：∠FPM＝∠ABC，∠EPN＝∠ACB，△ABC∽△PEF；
（2）解：連接PO交EF于點(diǎn)D，連接OE，如圖2所示：
則∠OPM＝∠OPN＝90°，
∵△ABC∽△PEF，
∴AB：PE＝AC：PF＝BC：EF，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，EF＝16，
∴PE＝PF＝10，
由題意得：∠EPN＝∠FPM，
∵∠OPM＝∠OPN＝90°，
∴∠EPO＝∠FPO，
∴PD⊥EF，ED=FD=12EF=8，
∴PD=PE2?DE2=6，
設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ODE中：r2＝82+（r﹣6）2，
解得：r=253．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)幾何結(jié)論是解題關(guān)鍵．
22．（10分）“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，網(wǎng)上購(gòu)物備受消費(fèi)者青睞．某網(wǎng)店專售一款休閑褲，其成本為每條40元，當(dāng)售價(jià)為每條80元時(shí)，每月可銷售100條．為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價(jià)措施．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查反映：銷售單價(jià)每降2元，則每月可多銷售10條，設(shè)每條褲子的售價(jià)為x元（x為正整數(shù)），每月的銷售量為y條．
（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)該網(wǎng)店每月獲得的利潤(rùn)為w元，當(dāng)銷售單價(jià)降低多少元時(shí)，每月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
（3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定每月從利潤(rùn)中捐出200元資助貧困學(xué)生，為了保證捐款后每月利潤(rùn)不低于4175元，且讓消費(fèi)者得到最大的實(shí)惠，該如何確定休閑褲的銷售單價(jià)？
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【專題】銷售問題；數(shù)學(xué)建模思想；一元二次方程及應(yīng)用；一次函數(shù)及其應(yīng)用；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；二次函數(shù)的應(yīng)用；運(yùn)算能力；模型思想；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）直接利用銷售單價(jià)每降2元，則每月可多銷售10條得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用銷量×每件利潤(rùn)＝總利潤(rùn)可得出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；
（3）利用總利潤(rùn)＝4175+200，求出x的值，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：（1）由題意可得：
y＝100+80?x2×10
＝100+5（80﹣x）
＝﹣5x+500，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣5x+500；
（2）由題意得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴當(dāng)x＝70時(shí)，w有最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是4500元；
∴應(yīng)降價(jià)80﹣70＝10（元）．
∴當(dāng)銷售單價(jià)降低10元時(shí)，每月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是4500元；
（3）由題意得：﹣5（x﹣70）2+4500＝4175+200，
解得：x1＝65，x2＝75，
∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝70，
∴當(dāng)65≤x≤75時(shí)，符合該網(wǎng)店要求，
而為了讓顧客得到最大實(shí)惠，故x＝65．
∴當(dāng)銷售單價(jià)定為65元時(shí)，既符合網(wǎng)店要求，又能讓顧客得到最大實(shí)惠．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確建立函數(shù)模型、結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案及正確得出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
23．（10分）（2021春?城廂區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，AD＝4cm，CD＝15cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．
①0＜t＜7.5時(shí)，用t分別表示出AP和DQ的長(zhǎng)：AP＝ t cm ，DQ＝（15﹣2t）cm ；
②若運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，求t的值；
（2）若P點(diǎn)先運(yùn)動(dòng)2秒后停止運(yùn)動(dòng)．此時(shí)Q點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)D點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)立即停止，則t為 132或52 時(shí)（直接寫出結(jié)果）△DPQ為直角三角形．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【專題】幾何綜合題；多邊形與平行四邊形；梯形；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】（1）①t cm，（15﹣2t）cm；
②4；
（2）132或52．
【分析】（1）①由題意可得出答案；②由平行四邊形的性質(zhì)得出12﹣t＝2t，則可得出答案；
（2）當(dāng)t＝2時(shí)，AP＝2cm，∠PDQ不可能為直角；分兩種情況，當(dāng)∠DQP為直角時(shí)，當(dāng)∠DPQ為直角時(shí)，由直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）①當(dāng)0＜t＜7.5時(shí)，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)，
由題意得，AP＝t cm，DQ＝（15﹣2t）cm，
故答案為：t cm，（15﹣2t）cm；
②當(dāng)PQ∥BC時(shí)，
∵PB∥CQ，
∴四邊形PQCB是平行四邊形，
∴BP＝CQ，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4；
（2）當(dāng)t＝2時(shí)，AP＝2cm，
由題意知∠PDQ不可能為直角，
當(dāng)∠DQP為直角時(shí)，AP＝DQ＝2cm，如圖1，
則CQ＝CD﹣DQ＝15﹣2＝13（cm），
∴t=132；
當(dāng)∠DPQ為直角時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作PM⊥CD于點(diǎn)M，則DM＝2cm，MP＝DA＝4cm，
∴DP=DM2+PM2=25（cm），
設(shè)MQ＝x，
∵M(jìn)P2+MQ2＝PQ2，DQ2﹣PD2＝PQ2，
∴42+x2=(2+x)2?(25)2，
解得x＝8，
∴CQ＝CD﹣DQ＝15﹣10＝5cm，
∴t=52，
綜上，t=132或52時(shí)，△DPQ為直角三角形，
故答案為：132或52．
【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
24．（12分）如圖，已知拋物線y＝x2+2x﹣3，點(diǎn)B為拋物線與x軸的右側(cè)交點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣4，5），點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上．
（1）當(dāng)A、B、P、Q圍成的四邊形是以AB為對(duì)角線的平行四邊形時(shí)，求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）是否存在P、Q點(diǎn)使得△ABP與△ABQ全等？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（P、Q不重合，（1）中情況除外）．
（3）過點(diǎn)A作直線L，使得L與x軸夾角的正切值為4，平移直線L，設(shè)直線L與拋物線的交點(diǎn)為C、D（點(diǎn)C在x軸上方、點(diǎn)D在x軸下方），M為x軸上的點(diǎn)，當(dāng)|CM﹣DM|取得最大值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【專題】數(shù)形結(jié)合；分類討論；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；函數(shù)的綜合應(yīng)用；幾何直觀；運(yùn)算能力．
【答案】（1）Q（﹣2，﹣3），P（﹣1，8）；
（2）Q1（7?1，3），Q2（?7?1，3），Q3（6?1，2），Q4（?6?1，2）；
（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）．
【分析】（1）先求出拋物線的對(duì)稱軸和B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)AB為平行四邊形的對(duì)角線，列出方程求解便可；
（2）有題意可得△ABP≌△ABQ，所以AP＝AQ，BP＝BQ，設(shè)出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式表示出AP，AQ，BP，BQ，利用前面的式子列方程，即可解決；
（3）因?yàn)橹本€L與x軸夾角的正切值為4，故可設(shè)平移后的直線L的解析式為y＝4x+b或y＝﹣4x+b，以y＝﹣4x+b為例，過D作x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，當(dāng)C，D′，M三點(diǎn)共線時(shí)，|CM﹣DM|取得最大值，可以證明此時(shí)∠CMO＝∠DMO，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，設(shè)DD′交 x軸于F，證明△CEM∽△DFM，得到CEDF=EMFM，設(shè)出C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線L和拋物線的解析式，利用根與系數(shù)關(guān)系得到相關(guān)式子，利用比例式列出方程，即可解決．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝y(tǒng)＝（x+1）2﹣4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣1，
令y＝0，則x2+2x﹣3＝0，
∴x＝﹣3或1，
∴B（1，0），
設(shè)P（﹣1，n），Q（m，m2+2m﹣3），
當(dāng)A、B、P、Q圍成的四邊形是以AB為對(duì)角線的平行四邊形時(shí)，
?4+1=?1+m5+0=n+m2+2m?3，
解得m=?2n=8，
∴P（﹣1，8），Q（﹣2，﹣3）；
（2）設(shè)P（﹣1，n），Q（m，m2+2m﹣3），
∴AP2＝（﹣4+1）2+（5﹣n）2＝n2﹣10n+34，
AQ2＝m4+4m3﹣11m2﹣24m+80，
BP2＝n2+4，
BQ2＝m4+4m3﹣m2﹣14m+10，
若△APB≌△AQB，則AP＝AQ，BP＝BQ，
∴n2?10n+34=m4+4m3?11m2?24m+80n2+4=m4+4m3?m2?14m+10
兩方程相減得，n＝m2+m﹣4，
方程組消去n整理得，m3+3m2﹣3m﹣5＝0，
∴m3+1+3（m2﹣m﹣2）＝0，
∴（m+1）（m2﹣m+1）+3（m+1）（m﹣2）＝0，
∴（m+1）（m2+2m﹣5）＝0，
解得：m＝﹣1或m＝﹣1±6，
當(dāng)m＝﹣1時(shí)，Q（﹣1，﹣4），n＝﹣4，此時(shí)P（﹣1，﹣4）
則點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，不合題意，舍去；
當(dāng)m＝﹣1±6時(shí)，Q（﹣1?6，2）或（﹣1+6，2）；
即Q1（7?1，3），Q2（?7?1，3），Q3（6?1，2），Q4（?6?1，2）；
（3）由題意可得平移后的直線L的解析式為y＝4x+b或者y＝﹣4x+b，
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），M（t，0），
過D作x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，當(dāng)C，D′，M三點(diǎn)共線時(shí)，|CM﹣DM|的值最大，
∵OM垂直平分DD′，
∴∠CMO＝∠DMO，
過C作CE⊥x軸于E，設(shè)DD′交x軸于F，
∴∠CEM＝∠DFM＝90°，
∴△CEM∽△DFM，
∴CEDF=EMFM，
①當(dāng)直線L的解析式為y＝﹣4x+b時(shí)，
聯(lián)立y=?4x+by=x2+2x?3，
化簡(jiǎn)得，x2+6x﹣3﹣b＝0，
∴x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣3﹣b，
∵CEDF=EMFM，
∴?4x1+b4x2?b=t?x1t?x2，
化簡(jiǎn)得，（b+12）（t﹣1）＝0，
∴b＝﹣12或t＝1，
當(dāng)b＝﹣12時(shí)，可得x2+6x+9＝0，此時(shí)Δ＝0，直線CD與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，矛盾，故舍去，
當(dāng)t＝1時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），
②當(dāng)直線L的解析式為y＝4x+b，
聯(lián)立y=4x+by=x2+2x?3得，
∴x2﹣2x﹣3﹣b＝0，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣3﹣b，
∵CEDF=EMFM，
則4x1+b4x2?b=x1?tx2?t，
化簡(jiǎn)得，（b+4）（t+3）＝0，
∴b＝﹣4或t＝﹣3，
當(dāng)b＝﹣4時(shí)，可得x2﹣2x+1＝0，此時(shí)方程有兩個(gè)相等得根，直線CD與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，故舍去，
當(dāng)t＝﹣3時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，0），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣3，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題是一道二次函數(shù)綜合題，結(jié)合題意，畫出草圖，數(shù)形結(jié)合，是解決此題的突破口，同時(shí)，還考查了線段差的最值問題，利用軸對(duì)稱變換來解決，是解題通法．

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