項(xiàng)是符合題目要求的，不涂、錯(cuò)涂或涂的代號(hào)超過一個(gè)，一律得 0 分）
1.中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄，下列四幅作品分別
代表“立春”、“立夏”、“白露”、“大雪”，其中是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2.若方程 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 m 的值為（ ）
A. 或 1 B. C.1 D.
3.下列說法正確的是（ ）
A.“明天會(huì)天晴”是隨機(jī)事件
B.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中八環(huán)是必然事件
C.“翻開九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課本，恰好是第 38 頁”是不可能事件
D.“太陽從西方升起”是必然事件
4.關(guān)于 x 的一元二次方程 的一個(gè)根是 0，則 m 的值為（ ）
A.4 B.2 C. D.
5.一個(gè)箱子里有 7 個(gè)白球，2 個(gè)紅球，1 個(gè)黑球，它們除顏色外其余均相同.從箱子里任意摸出一個(gè)球是紅球
的概率為（ ）
A. B. C. D.
6.若 ， 是一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 的值為（ ）
A.2025 B.2023 C. D.
7.二次函數(shù) （a，b，c 為常數(shù)， ）部分 x，y 的對(duì)應(yīng)值如下表：
x … 0 1 3 4 …
y … 1 1 5 …
則下列判斷中正確的是（ ）
A.函數(shù)圖象的開口向下 B.當(dāng) 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大
C.當(dāng) 時(shí)， D.y 最小值為
8.如圖， ， ，將 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 ，連接 CD，若點(diǎn) D，C，
B 在同一條直線上，則 的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
9.如圖，C、D 是以線段 AB 為直徑的 上兩點(diǎn)（位于 AB 兩側(cè)）， ，且 ，則
的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
10.如圖，二次函數(shù) 的圖象與 x 軸的正半軸交于點(diǎn) ， ，與 y 軸的負(fù)
半軸交于點(diǎn) B，對(duì)稱軸為直線 .下列結(jié)論中，其中判斷正確的是（ ）
① ；②若點(diǎn) ， 在圖象上，則 ；③ ；
④若點(diǎn) ， 在圖象上，則
A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④
二、細(xì)心填空題（本大題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分.請(qǐng)將結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位
置上）
11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為 ，則 __________.
12.若 a 是方程 的根，則代數(shù)式 的值是__________.
13.寫出一個(gè)圖象過點(diǎn) 且其對(duì)稱軸右側(cè) y 的值隨著 x 值增大而減小的二次函數(shù)表達(dá)式__________.
14.如圖是某設(shè)備的局部設(shè)計(jì)電路圖，隨機(jī)閉合三個(gè)開關(guān) ， ， 中的兩個(gè)，則燈泡 亮起來的概率是
__________.
15.沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會(huì)圓術(shù)”，其主要思路是
局部以直代曲，給出一個(gè)比較實(shí)用的近似公式.如圖，弧 AB 是以 O 為圓心，OA 為半徑的圓弧，點(diǎn) C 是弦
AB 的中點(diǎn)， ，D 在弧 AB 上.“會(huì)圓術(shù)”給出弧 AB 的弧長的近似值 s 的計(jì)算公式：
.當(dāng) ， 時(shí)， __________.
三、專心解一解（本大題共 9 小題，共 75 分.請(qǐng)認(rèn)真讀題，冷靜思考.解答題應(yīng)寫出必要的文字
說明、證明過程或演算步驟，請(qǐng)把解題過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)的位置）
16.（本題滿分 6 分）解方程：
（1） ；
（2） .
17.（本題滿分 6 分）如圖， 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ， ， .
（1）畫出 關(guān)于點(diǎn) O 成中心對(duì)稱的 ；
（2）寫出坐標(biāo)： __________， __________.
18.（本題滿分 8 分）某校為了解學(xué)生對(duì)“A：古詩詞，B：國畫，C：川劇，D：書法”等中國傳統(tǒng)文化項(xiàng)目
的最喜愛情況，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（每人限選一項(xiàng)），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖
不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中的信息解答下列問題：
（1）這次調(diào)查中，一共調(diào)查了__________名學(xué)生，并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
（2）如果該校共有 3200 名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校最喜愛項(xiàng)目 D 的學(xué)生有多少人？
（3）項(xiàng)目 A 中有 2 男 2 女特別優(yōu)秀，準(zhǔn)備在項(xiàng)目 A 中選 2 名選手參加區(qū)級(jí)古詩詞比賽，請(qǐng)用畫樹狀圖或列
表的方法求恰好選中 2 名男生的概率.
19.（本題滿分 8 分）如圖，一次函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù) 的圖象相交于 和 B
兩點(diǎn).
（1）求 k 的值；
（2）點(diǎn) P 為反比例函數(shù)圖象上位于第四象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線，交函數(shù) 的圖象于點(diǎn)
Q，若 的面積為 4，求點(diǎn) Q 的坐標(biāo).
20.（本題滿分 8 分）取暖器，又稱為“冬日里的小太陽”，是南方居民冬天的取暖神器.某商場有 A 型、B
型兩款最受顧客喜愛的取暖器，已知每臺(tái) A 型取暖器的售價(jià)比每臺(tái) B 型取暖器售價(jià)少 40 元，顧客用 1200
元購入 A 型取暖器的數(shù)量與用 1440 元購入 B 型取暖器的數(shù)量相等.
（1）每臺(tái) A 型取暖器與每臺(tái) B 型取暖器的售價(jià)分別為多少元？
（2）每臺(tái) B 型取暖器的進(jìn)價(jià)為 140 元，據(jù)統(tǒng)計(jì)，商場每月賣出 B 型取暖器 60 臺(tái).新年前夕，為了盡快減少
庫存，商場決定對(duì) B 型取暖器進(jìn)行降價(jià)促銷活動(dòng)，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每臺(tái) B 型取暖器的售價(jià)每降低 10 元，那么平
均每月可多售出 25 臺(tái)，若商場要想每月銷售 B 型取暖器的利潤達(dá)到 9600 元，則每臺(tái) B 型取暖器應(yīng)降價(jià)多
少元？
21.（本題滿分 8 分）如圖，以 的邊 AB 為直徑的 交 BC 邊于點(diǎn) D，交 CA 的延長線于點(diǎn) E，且
.
（1）求證： .
（2）若 ， ，求陰影部分的面積.
22.（本題滿分 9 分）某生物興趣小組為研究某種生長素對(duì)植物生長的作用，利用黃瓜苗進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)，
如圖，一根使用了生長素的黃瓜藤在鋼圈的支撐下，其形狀近似呈拋物線形，黃瓜藤的藤根 O 在地面上，
藤梢位于點(diǎn) M 處，矩形 ABCD 是鋼圈的支架（O、A、B 三點(diǎn)共線），以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA 所在直線為 x
軸，過點(diǎn) O 且垂直于 OA 的豎直線為 y 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，支架的頂點(diǎn) C、D 均在拋物線
上，點(diǎn) P 為拋物線的頂點(diǎn)，經(jīng)測量， ，頂點(diǎn) P 到 x 軸、y 軸的距離依次為 8dm、4dm.已知圖中
所有的點(diǎn)都在同一平面內(nèi).
（1）求拋物線的函數(shù)解析式和支架的高度 AD；
（2）已知藤梢 M 到 x 軸的距離為 3.5dm，求藤梢 M 到 y 軸的距離.
23.（本題滿分 10 分）（1）如圖 1，在四邊形 ABCD 中， ，點(diǎn) E 是 BC 中點(diǎn)，若 AE 是 的平
分線，可判斷：AB、AD、CD 之間的等量關(guān)系是__________；
（2）如圖 2，在四邊形 ABCD 中， ， ，點(diǎn) E 是 AD 邊的中點(diǎn)， ，
， ，求 BC 的長；
（3）如圖 3，在四邊形 ABCD 中， ，點(diǎn) N 是 DC 延長線上一點(diǎn)，連接 AN，點(diǎn) M 是 BC 的中點(diǎn)，
且 AM 平分 ，試探究 AB，AN，CN 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
（圖 1） （圖 2） （圖 3）
24.（本題滿分 12 分）如圖，拋物線 與 x 軸交于點(diǎn) ， ，與 y 軸交于點(diǎn) C，
連接 BC，點(diǎn) P 為線段 BC 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) C，B 重合），過點(diǎn) P 作 軸交拋物線于點(diǎn) Q.
圖 1 圖 2 備用圖
（1）求拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱軸；
（2）設(shè) P 的橫坐標(biāo)為 t，請(qǐng)用含 t 的式子表示線段 PQ 的長，并求出線段 PQ 的最大值；
（3）已知點(diǎn) M 是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn) N 是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)線段 PQ 取得最大值時(shí)，是
否存在這樣的點(diǎn) M，N，使得四邊形 PBMN 是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明
理由.
2025 年中考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（迎春卷）參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C B A B D B C
10.【解析】由條件可知 ， ， ， ， ，
結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng) 時(shí)，拋物線上的點(diǎn)在 A 點(diǎn)右側(cè)，一定在 x 軸的上方，
當(dāng) 時(shí)， ，即 ，
將 代入 可得， ， ，故選項(xiàng)①正確；
由條件可知 關(guān)于對(duì)稱軸直線 的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，
則點(diǎn) 和 都在對(duì)稱軸右側(cè)，y 隨 x 的增大而增大，
， ， ，故選項(xiàng)②正確；
將 代入 可得， ， ， ， ，即 ，
故選項(xiàng)③正確，
， ， 在拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
， ， ， ，
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)小于或等于 ，當(dāng) 時(shí)， ，
將 代入 可得， ，
， ，故選項(xiàng)④錯(cuò)誤，故選：C.
11. . 12.2021. 13. （答案不唯一）. 14. .
【解析】連接 OC，如圖：
是的弦 AB 中點(diǎn)， ， ， ，D，O 共線， ， ，
設(shè)圓的半徑為 r，則 ，在 中，根據(jù)勾股定理，得 ，
即 ，解得 ， ， .
故答案為：12.4.
16.解：（1） ， ，
， 或 ， ， ；
（2） ， ， ， ，
， ， .
17.解：（1） 關(guān)于點(diǎn) O 成中心對(duì)稱的 ，如圖即為所求；
（2） 關(guān)于點(diǎn) O 成中心對(duì)稱的 ， ， ， ， .
18.解：（1）依題意得： （人），
在這次調(diào)查中，一共調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 200 人，
B 項(xiàng)目人數(shù)為 （人），補(bǔ)全圖形如下：
故答案為：200；
（2） （人）， 該校最喜愛項(xiàng)目 A 的學(xué)生約有 800 人；
（3）若用 ， 表示 2 名男生，用 ， 表示 2 名女生，列表得：
—
—
—
—
—
由列表可見，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有 12 種，并且這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中恰好選中 2 名男生的
結(jié)果有 2 種， （恰好選中 2 名男生） .
19.解：（1） 一次函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù) 的圖象相交于 ，
， ， ， ；
（2）由 ，解得 或 ，設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ，則 ，
，
， ， ，
解得 ， ， ，
點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 或 或 .
20.解：（1）設(shè)每臺(tái) A 型取暖器的售價(jià)為 x 元，則每臺(tái) B 型取暖器的售價(jià)為 元，
由題意得： ，解得： ，
經(jīng)檢驗(yàn)， 是原方程的解，且符合題意， ，
答：每臺(tái) A 型取暖器的售價(jià)為 200 元，則每臺(tái) B 型取暖器的售價(jià)為 240 元；
（2）設(shè)每臺(tái) B 型取暖器應(yīng)降價(jià) y 元，
由題意得： ，
整理得： ，解得： ， ， 盡快減少庫存， ，
答：每臺(tái) B 型取暖器應(yīng)降價(jià) 40 元.
21.（1）證明：連接 AD， 是 的直徑， ， ，
又 ， ， ， ， ；
（2）解：連接 OD、OE， ， ，
， ，
， ， ，
是等邊三角形， ， ，
.
22.解：（1）由題意得：拋物線的頂點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ，
設(shè)拋物線的解析式為： ，
過點(diǎn) ， ，解得： ，
拋物線的函數(shù)解析式為： ；
當(dāng) 時(shí)， ， 支架的高度 AD 為 6dm；
（2）當(dāng) 時(shí)， ，整理得：
解得： ， （不合題意，舍去）， 藤梢 M 到 y 軸的距離為 7.
23.解：（1）延長 AE 交 DC 的延長線于點(diǎn) F，
， ， ，
點(diǎn) E 是 BC 的中點(diǎn)， ，
，
， 是 的平分線， ，
， ，
故答案為： ；
（2）延長 CE 交 BA 的延長線于點(diǎn) F，
， ， ， 點(diǎn) E 是 AD 的中點(diǎn)， ，
，
， ， ， ， ， ，
， ；
（3） .證明：延長 AM，DC 相交于點(diǎn) P，
同（1）的方法得， ， ，
是 的角平分線，
， ， ，
， ，
， .
24.解：（1）拋物線 與 x 軸交于點(diǎn) ， ，
， 拋物線的對(duì)稱軸為直線 ；
（2）由拋物線表達(dá)式得：C 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
設(shè)直線 BC 的表達(dá)式為 ，將點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入上式得 ，
故直線 BC 的表達(dá)式為 ，設(shè)點(diǎn) ，則點(diǎn) ，
則 ，
，故 PQ 有最大值，當(dāng) 時(shí)，PQ 的最大值為 ；
（3）存在這樣的點(diǎn) M，N，使得四邊形 PBMN 是菱形；
點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 或 ；理由如下：
當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) ，設(shè)點(diǎn) ，而點(diǎn) ；
四邊形 PBMN 是菱形，則 ，
即 ，解得： ，
綜上所述，存在這樣的點(diǎn) M，N，使得四邊形 PBMN 是菱形；點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 或 .

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