問題 學(xué)校要舉行美術(shù)作品比賽，小鷗想裁出一塊面積為25 dm2 的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長(zhǎng)應(yīng)取多少?
因?yàn)?2=25，所以這個(gè)正方形畫布的邊長(zhǎng)應(yīng)取5 dm.如果正方形畫布的面積變化呢，邊長(zhǎng)又會(huì)是多少？填表：上面的問題，實(shí)際上是已知一個(gè)正數(shù)的平方，求這個(gè)正數(shù)的問題.
知識(shí)點(diǎn)一 算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)
一般地，如果一個(gè)正數(shù) x 的平方等于a，即 x2=a，那么這個(gè)正數(shù) x 叫做 a 的算術(shù)平方根(arithmetic square rt).a的算術(shù)平方根記為 ，讀作“根號(hào)a”，a叫做被開方數(shù)（radicand). 規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.
怎么用符號(hào)來表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根？
例1 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根： （1）100； （2） ； （3）0.0001.解：（1）因?yàn)?102=100，所以 100 的算術(shù)平方根是10，即 =10.（2）因?yàn)? ，所以 的算術(shù)平方根是 ，即 ;（3）因?yàn)?.012=0.0001，所以0.0001的算術(shù)平方根是0.01，即 =0.01. 從例1可以看出：被開方數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根也越大.這個(gè)結(jié)論對(duì)所有正數(shù)都成立.
1.下列說法正確的是(　　 )A．3是9的算術(shù)平方根　　B．－2是4的算術(shù)平方根C. (－2)2的算術(shù)平方根是－2 D．－9的算術(shù)平方根是3
2.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根： （1）0.0025； （2）81； （3）32； （4）0.解：（1）0.05 （2）9 （3）3 （4）0
3.求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 解：（1）1 （2） （3）2 （4）0
知識(shí)點(diǎn)二 算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性
1. 負(fù)數(shù)有算術(shù)平方根嗎？ 2. 是什么數(shù)？ 3. 中的a可以取任何數(shù)嗎？
例2 下列各式是否有意義，為什么？（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
1.下列各式是否有意義，為什么？
2.下列各式中，x為何值時(shí)有意義？
（2）∵x2+1≥0恒成立 ∴x為任何數(shù)　
知識(shí)點(diǎn)三 算術(shù)平方根的估算及大小比較
能否用兩個(gè)面積為1 dm2的小正方形拼成一個(gè)面積為2 dm2的大正方形？
如圖，把兩個(gè)小正方形分別沿對(duì)角線剪開，將所得的4個(gè)直角三角形拼在一起，就得到一個(gè)面積為2 dm2的大正方形. 你知道這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)是多少嗎？設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為x dm，則x2 = 2.由算術(shù)平方根的意義可知x= ，所以大正方形的邊長(zhǎng)是 dm.
如圖，把兩個(gè)小正方形分別沿對(duì)角線剪開，將所得的4個(gè)直角三角形拼在一起，就得到一個(gè)面積為2 dm2的大正方形. 你知道這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)是多少嗎？設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為x dm，則x2 = 2.由算術(shù)平方根的意義可知x= ，所以大正方形的邊長(zhǎng)是 dm.
如此進(jìn)行下去，可以得到 的更精確的近似值. 事實(shí)上， =1. 414 213 562 373…，它是一 個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).實(shí)際上，許多正有理數(shù)的算術(shù)平方根(例如 等)都是無限不循環(huán)小數(shù).
無限不循環(huán)小數(shù)是指小數(shù)位數(shù)無限，且小數(shù)部分不循環(huán)的小數(shù).
1.估算 -2的值 (　　) A.在1和2之間 B.在2和3之間C.在3和4之間 D.在4和5之間
2.通過估算比較下列各組數(shù)的大小： (1) 與1.9； (2) 與1.5.
1.化簡(jiǎn) 的結(jié)果是（　　）A．﹣4 B．4 C．±4 D．2
2.如果一個(gè)正方形的面積是3，那么它的邊長(zhǎng)是________．
（1）若|a+3|=0 ， 則a= ；
3.求下列各式中字母的值.
4.4的算術(shù)平方根是 ( )A.±2 B. C. ±2 D. 2
5.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：
（1）0.0025； (2)81； (3)32
解：（1）因?yàn)? =0.0025，所以0.0025的算術(shù)平根是_______，即 =________.
（2）因?yàn)? =81，所以81的算術(shù)平方根是_____，即 =_____.
（3）因?yàn)? =32 ，所以 32 的算術(shù)平方根是_____，即 =_____.
求x-3y+4z的值.

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8.1 平方根

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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