1.了解平方根的概念，并理解平方與開平方的關系.2.能利用開平方與平方互為逆運算求某些非負數(shù)的平方根.
思考：如果一個數(shù)的平方等于 9，這個數(shù)是多少? 從前面我們知道，這個數(shù)可以是 3.除了 3 以外，還有沒有別的數(shù)的平方也等于 9 呢? 由于（-3）2 = 9，這個數(shù)也可以是 -3. 因此，如果一個數(shù)的平方等于 9，那么這個數(shù)是 3 或 -3.
知識點一 平方根的概念和特征
平方根的性質：如果x是正數(shù)a的一個平方根，那么a的平方根有且只有兩個：x與-x.即平方根互為相反數(shù).
一般地，如果一個數(shù)的平方等于 a，那么這個數(shù)叫做 a的平方根或二次方根. 這就是說，如果 x 2= a，那么 x 叫做 a 的平方根.
例如，3和-3是9的平方根，簡記為±3是9的平方根. 求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方
我們看到， 的平方等于 9，9 的平方根是 ，所以平方與開平方互為逆運算.根據(jù)這種互逆關系，可以求一個數(shù)的平方根.
+1- 1+2- 2+3- 3
1. 121的平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？
沒有，因為一個數(shù)的平方不可能是負數(shù).
4.-9有沒有平方根？為什么？
通過這些題目的解答，你能發(fā)現(xiàn)什么?
問題：（1）正數(shù)有幾個平方根？ （2）0有幾個平方根？ （3）負數(shù)呢？
因為任何實數(shù)的平方都為非負數(shù)，所以負數(shù)沒有平方根，也沒有算術平方根.
平方根的性質：1.正數(shù)有兩個平方根，兩個平方根互為相反數(shù).2.0的平方根還是0.3.負數(shù)沒有平方根.
例1 求下列各數(shù)的平方根： （1）64； （2） ； （3）0.01. 解：（1）因為（±8）2 = 64，所以64的平方根是±8； （2）因為 ，所以 的平方根是 ； （3）因為（±0.1）2 = 0.01，所以0.01的平方根是±0.1.
1.如果x2＝a，那么下列說法錯誤的是(　　)A.若x確定，則a的值是唯一的B.若a確定，則x的值是唯一的C.a是x的平方D.x是a的平方根
知識點二 平方根的讀法和表示
合起來，一個正數(shù)a的平方根就用“ ”表示，（讀作“正、負根號a”）
一個正數(shù)a的正平方根，用“ ”表示，（讀作“根號a”）.又叫a的算術平方根.a的負平方根，用“ ”表示，（讀作“負根號a”）.
非負數(shù)a的平方根表示為：
例2 求下列各式的值：（1） ； （2） ； （3）（-4）2 .解:(1)因為0.36是正數(shù)，所以0.36有兩個平方根，士0.36=士0.6;(2)因為-5是負數(shù)，所以-5沒有平方根;(3)因為(-4)2=16是正數(shù)，所以(-4)2有兩個平方根,士√(-4)=±√16=±4.
1.計算下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) .
(3)因為 ，所以 .
知識點三 平方與開方的關系
開平方與平方是什么關系？
開平方與平方的對比填空
1.包含關系：平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根的一種.
平方根與算術平方根的聯(lián)系與區(qū)別：
2.只有非負數(shù)才有平方根和算術平方根.
3.0的平方根是0，算術平方根也是0.
1.個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，但只有一個算術平方根.
例3　求下列各式的值：
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
1.9的平方根是（　　）A．3 B．±3 C．﹣3 D．9
2.若一個數(shù)的平方等于5，則這個數(shù)等于　______　．
1.判斷下列說法是否正確.
（4）(-4)2的平方根是-4.
2.下列說法正確的有（　?。伲?是－4的一個平方根；②a2的平方根是a；③2是4的一個平方根；④4的平方根是－2.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3.求下列各式中 x 的值：
（1）x2 = 25；（2）x2 – 81 = 0；（3）25x2 = 36.
4.一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a＋1和a－4，求這個數(shù)．
解：由于一個正數(shù)的兩個平方根是2a＋1和a－4， 則有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0， 解得a＝1. 所以這個數(shù)為(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.

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8.1 平方根

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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