（思維導圖+考點+11種題型（含4種解題技巧））
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc186031250" 01考情透視·目標導航
\l "_Tc186031251" 02知識導圖·思維引航
\l "_Tc186031252" 03考點突破·考法探究
\l "_Tc186031253" 04題型精研·考向洞悉
\l "_Tc186031254" ?題型01 最大利潤問題
\l "_Tc186031255" ?題型02 方案選擇問題
\l "_Tc186031256" ?題型03 行程問題
\l "_Tc186031257" ?題型04 拱橋問題
\l "_Tc186031258" ?題型05 隧道通車問題
\l "_Tc186031259" ?題型06 噴水問題
\l "_Tc186031260" ?題型07 投球問題
\l "_Tc186031261" ?題型08 利用圖像構(gòu)建函數(shù)模型解決問題
\l "_Tc186031262" ?題型09 圖形最大面積問題
\l "_Tc186031263" ?題型10 圖形問題
\l "_Tc186031264" ?題型11 圖形運動問題
01考情透視·目標導航
\l "_Tc186016241" 02知識導圖·思維引航
\l "_Tc186016242" 03考點突破·考法探究
1. 用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：
1）審：仔細審題，理清題意；
2）設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；
3）列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；
4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì)等求解實際問題；
5）檢：檢驗結(jié)果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結(jié)論.
【注意】二次函數(shù)在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內(nèi)，應按照對稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．
2. 利用二次函數(shù)解決實際問題的常見類型
常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等，對此類問題要正確地建立模型，選擇合理的位置建立平面直角坐標系是解決此類問題的關(guān)鍵，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，利用函數(shù)性質(zhì)解決問題.
\l "_Tc186016247" 04題型精研·考向洞悉
?題型01 最大利潤問題
利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：利潤問題主要涉及兩個等量關(guān)系:利潤=售價-進價，總利潤=單件商品的利潤x銷售量，在解答此類問題時，應建立二次函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后列出相應的函數(shù)解析式，從而解決問題.
1．（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價不低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，下表是y與x的幾組對應值．
(1)求y與x的函數(shù)表達式；
(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？
(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為m元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．
【答案】(1)y=?2x+80
(2)糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元
(3)2
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是：
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量-m×銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解∶設(shè)y與x的函數(shù)表達式為y=kx+b，
把x=12，y=56；x=20，y=40代入，得12k+b=5620k+b=40，
解得k=?2b=80，
∴y與x的函數(shù)表達式為y=?2x+80；
（2）解：設(shè)日銷售利潤為w元，
根據(jù)題意，得w=x?10?y
=x?10?2x+80
=?2x2+100x?800
=?2x?252+450，
∴當x=25時，w有最大值為450，
∴糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元；
（3）解：設(shè)日銷售利潤為w元，
根據(jù)題意，得w=x?10?m?y
=x?10?m?2x+80
=?2x2+100+2mx?800?80m，
∴當x=?100+2m2×?2=50+m2時，w有最大值為?250+m22+100+2m50+m2?800?80m，
∵糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，
∴?250+m22+100+2m50+m2?800?80m=392，
化簡得m2?60m+116=0
解得m1=2，m2=58
當m=58時，x=?b2a=54,
則每盒的利潤為：54?10?58S2
【分析】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出函數(shù)關(guān)系式．
（1）由題意知拋物線的頂點P6,4，設(shè)頂點式用待定系數(shù)法可得方案一中拋物線的函數(shù)表達式；
（2）令y=3可得x=3或x=9，故BC=6m，S1=AB·BC=18m2；再比較S1，S2的大小即可．
【詳解】（1）解：由題意知，方案一中拋物線的頂點P6,4，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=ax?62+4，
把O0,0代入得0=a0?62+4，
解得：a=?19，
∴ y=?19x?62+4=?19x2+43x，
∴方案一中拋物線的函數(shù)表達式為y=?19x2+43x；
（2）在y=?19x2+43x中，令y=3得：3=?19x2+43x；
解得x=3或x=9，
∴ BC=9?3=6m，
∴ S1=AB·BC=3×6=18m2，
∵ 18>122，
∴ S1>S2．
15．（2024·貴州黔南·模擬預測）貴州都勻是一座以河為伴、山水交融的“山水橋城”，大大小小的橋梁隨處可見，被譽為“橋梁博物館”．都勻市某石拱橋如圖1，拱橋截面可視為拋物線的一部分，若拱頂?shù)剿娴木嚯x為2m，水面寬度為4m，以水面與橋截面左側(cè)的交點為原點，水面為橫軸建立平面直角坐標系（如圖2）．
(1)求橋拱所在拋物線的函數(shù)解析式．
(2)若水位下降1m，有一只寬為2m，高為2.4m的清潔船能否順利通過該石拱橋？請說明理由．
(3)某相關(guān)部門要對石拱橋進行維護，為了安全，現(xiàn)將一塊三角形形狀的安全圍布△CDE通過平移后遮住橋體（如圖3）．已知C9,0，CD=7m，且tan∠ECD=43，tan∠CDE=1．若安全圍布△CDE向橋拱所在拋物線方向平移a個單位長度后，橋體全部在安全圍布△CDE內(nèi)部（不包括邊界），求a的取值范圍．
【答案】(1)y=?12x2+2x
(2)能，理由見解析
(3)556≤a≤232
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）當船從橋的正中間經(jīng)過時，即x=1，y=?12x2+2x=1.5，當水面下降1米時，水面距離橋的距離為1+1.5=2.5（米）>2.4米，即可求解；
（3）當CE向左平移a個單位和拋物線相切時，則平移后的CE的表達式為：y=43(x+a)?12，聯(lián)立上式和拋物線的表達式為：43(x+a)?12=?12x2+2x，則Δ=(23)2?4×12(?43a+12)=0，求出a=556；同理可得：DE的表達式為：y=?x+16，當DE向左平移a個單位和拋物線相切時，則平移后的DE的表達式為：y=?(x+a)+16，同理可得a=232，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：y=a(x?2)2+2，
將O(0,0)代入上式得：0=a(0?2)2+2，
則a=?12，
則拋物線的表達式為：y=?12(x?2)2+2=?12x2+2x；
（2）解：可以，理由：
當船從橋的正中間經(jīng)過時，即x=1，y=?12x2+2x=1.5，
當水面下降1米時，水面距離橋的距離為1+1.5=2.5（米）>2.4米，
故清潔船能順利通過該石拱橋；
（3）解：過點E作EF⊥CD于點F，
在△CEF中，tan∠ECD=43，tan∠CDE=1．
故設(shè)FE=FD=4x，則CF=3x，
則CD=7x=7，則x=1，
即FE=FD=4，則CF=3，
如圖3，則點D、E的坐標分別為：(16,0)、(12,4)，
由點C、E的坐標得，直線CE的表達式為：y=43x?12，
當CE向左平移a個單位和拋物線相切時，
則平移后的CE的表達式為：y=43(x+a)?12，
聯(lián)立上式和拋物線的表達式為：43(x+a)?12=?12x2+2x，
則Δ=(23)2?4×12(?43a+12)=0，
解得：a=556；
由點D、E的坐標得，
設(shè)DE的表達式為y=kx+b
把D(16,0)、E(12,4)，
DE的表達式為：y=?x+16，
當DE向左平移a個單位和拋物線相切時，
則平移后的DE的表達式為：y=?(x+a)+16，
聯(lián)立上式和拋物線的表達式為：?(x+a)+16=?12x2+2x，
則Δ=9?4×(?12)×(a?16)=0，
解得：a=232；
故556≤a≤232．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，一次函數(shù)的實際應用，平移性質(zhì)，涉及到解直角三角形、二次函數(shù)的應用，分類求解是解題的關(guān)鍵．
16．（2024九年級上·全國·專題練習）大棚經(jīng)濟“金鑰匙”，激活鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興新引擎．劉叔叔計劃在自家菜地修建一個蔬菜大棚，圖1是其橫截面的示意圖，其中AB，CD為兩段垂直于地面的墻體，兩段墻體之間的水平距離為9米，大棚的頂部用拋物線形鋁合金骨架作支撐．已知骨架的一端固定在離地面3.5米的墻體A處，另一端固定在墻體D處，骨架最高點P到墻體AB的水平距離為2米，且點P離地面的高度為3.75米．

數(shù)學建模
(1)在圖1中，以B為原點，水平直線BC為x軸，AB所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．設(shè)大棚頂部骨架上某處離地面的高度為y（米），該處離墻體AB的水平距離為x（米），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
問題解決
(2)為了大棚頂部更加穩(wěn)固，劉叔叔計劃在棚頂安裝“丁”字形鋁合金支架，如圖2所示，支架可以看成是由線段AE，F(xiàn)G組成，其中點E，F(xiàn)在頂棚拋物線形骨架上，F(xiàn)G⊥AE于點G．為不影響耕作，將點E到地面的距離定為1.5米．
①點E的坐標為______，AE的長為______；
②請你計算做一個“丁”字形支架所需鋁合金材料的最大長度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：17≈4.12）
【答案】(1)y=?116x2+14x+3.50≤x≤9；
(2)① 8,1.5，217；②9.3米
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意得，拋物線的頂點P的坐標為2,3.75，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=ax?22+3.75，然后用待定系數(shù)法即可求解；
（2）①當y=1.5時，1.5=?116x2+14x+3.5，解得：x=8即可求出E8,1.5，再用兩點之間的距離公式求出AE；
②過點E作EH⊥AB于點H，過點F作FM⊥BC于點M，交AE于點N，求出AE所在直線的函數(shù)表達式y(tǒng)=?14x+3.5，設(shè)點F的橫坐標為m，則FN=?116m2+12m=?116m?42+1，當m=4時，F(xiàn)N最大=1，再根據(jù)sin∠HAE=sin∠FNG=HEAE=8217=41717，得出FG=41717FN，最后根據(jù)線段和差即可求解；
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，拋物線的頂點P的坐標為2,3.75，
∴設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=ax?22+3.75，
由題意得，點A的坐標為0,3.5，
將A0,3.5代入y=ax?22+3.75，
得4a+3.75=3.5，
解得：a=?116，
∴y=?116x?22+3.75=?116x2+14x+3.5，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=?116x2+14x+3.50≤x≤9，
（2）解：①由（1）得y=?116x2+14x+3.5，
當y=1.5時，1.5=?116x2+14x+3.5，
解得：x=8或x=?4（舍去），
∴E8,1.5，
∵A0,3.5，
∴AE=0?82+3.5?1.52=217，
故答案為：8,1.5，217；
②過點E作EH⊥AB于點H，過點F作FM⊥BC于點M，交AE于點N，

設(shè)AE所在直線的函數(shù)表達式為y=kx+b，
將A0,3.5,E8,1.5分別代入y=kx+b，
得b=3.5,8k+b=1.5，
解得k=?14b=3.5，
∴AE所在直線的函數(shù)表達式為y=?14x+3.5，
設(shè)點F的橫坐標為m，
∵點F在拋物線y=?116x2+14x+3.5的圖象上，
∴Fm,?116m2+14m+3.5，Nm,?14m+3.5，
∴FN=?116m2+14m+3.5??14m+3.5=?116m2+12m=?116m?42+1，
∵?1165，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)OB=x，則BC=16?2x，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD=BC=16?2x，AB=DC=?18x2+2x，設(shè)l=AB+AD+DC，進而表示出l的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）解：依題意：拋物線形的公路隧道，其高度為8米，寬度OM為16米，現(xiàn)在O點為原點，
∴點M16,0，頂點P8,8，
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx．
把點M16,0，點P8,8代入得：
64a+8b=8256a+16b=0
解得a=?18b=2
∴拋物線的解析式為y=?18x2+2x
∵OM=16，M16,0，
∴自變量x的取值范圍為：0≤x≤16；
（2）解：當x=8?2.5?1=92時，y=?18×922+2×92=20732>5，
∴能同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛．
（3）解：設(shè)OB=x，則BC=16?2x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=16?2x，AB=DC=?18x2+2x
設(shè)l=AB+AD+DC，則l=?14x2+4x+16?2x
∴l(xiāng)=?14x2+2x+16
∵?144.2m，
∴這輛貨車的高度不否符合規(guī)定．
20．（2024·河南周口·二模）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，其中長方形的長OA=12m，寬OB=4m．按照圖中所示的平面直角坐標系，拋物線可以用y=?16x2+bx+c表示，且拋物線上的點C到墻面OB的水平距離為3m時，到地面OA的距離為172m．為安全起見，隧道正中間有寬為0.4m的隔離帶．
(1)求b，c的值，并計算出拱頂D到地面OA的距離．
(2)一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？
(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，且它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？
【答案】(1)b=2，c=4，拱頂D到地面OA的距離為10m
(2)這輛貨車能安全通過
(3)兩排燈的水平距離最小是43m．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用：構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題，利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
（1）先確定B點和C點坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再利用配方法確定頂點D的坐標，從而得到點D到地面OA的距離；
（2）由于拋物線的對稱軸為直線x=6，而隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，車寬為4m，則貨運汽車最外側(cè)與地面OA的交點為1.8,0或10.2,0，然后計算自變量為x=1.8或x=10.2時的函數(shù)值，再把函數(shù)值與6進行大小比較即可判斷；
（3）拋物線開口向下，函數(shù)值越大，對稱點之間的距離越小，于是計算函數(shù)值為8所對應的自變量的值即可得到兩排燈的水平距離最小值．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得B0,4，C3,172，
把B0,4，C3,172代入y=?16x2+bx+c得
c=4，172=?16×32+3b+c，解得c=4b=2
∴拋物線的解析式為y=?16x2+2x+4=?16x?62+10，
∴D6,10，
∴拱頂D到地面OA的距離為10m．
（2）解：由題意得隧道中每側(cè)行車道的寬度為12?0.4÷2=5.8m，
∴貨運汽車最外側(cè)與地面OA的交點為1.8,0或10.2,0，
當x=1.8或x=10.2時，y=7.06≥6，
∴這輛貨車能安全通過．
（3）解：令y=8，
則?16x?62+10=8，
解得x1=6+23，x1=6?23，
則x1?x2=43，
∴兩排燈的水平距離最小是43m．
21．（2023·廣東深圳·模擬預測）按要求解答
(1)某市計劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊在修了1400米后，加快了工作進度，每天比原計劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計劃每天修多長？
(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個車道寬度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD寬均為2米，拱高OM=10.8米．建立如圖所示的直角坐標系．
①此拋物線的函數(shù)表達式為________．（函數(shù)表達式用一般式表示）
②按規(guī)定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高________米．
③已知人行道臺階CE，DF高均為0.3米，按照國家標準，人行道寬度不得低于1.25米，該隧道的人行道寬度設(shè)計是否達標？說明理由．
+
【答案】(1)原計劃每天修20米
(2)①y=?0.3x2+10.8；②5.5米；③達標，理由見解析
【分析】（1）設(shè)原計劃每天修x米，然后根據(jù)題意列分式方程求解即可；
（2）①由題意可得E?4,0,F4,0,A?6,0,B6,0,M0,10.8，然后運用待定系數(shù)法解答即可；②車的寬度為4米，令x=4時求得y=6，然后再減去0.5即可解答；③如圖：由CE，DF高均為0.3米，則點G的縱坐標為0.3，令y=0.3可解答點G的橫坐標為35，然后求出FG的長度即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)原計劃每天修x米
則根據(jù)題意可得：2400x?1400x+2400?1400x+5=10
解得：x=?25或x=20
經(jīng)檢驗，x=20是分式方程的解．
答：原計劃每天修20米．
（2）解：①根據(jù)題意可得：C?4,0,D4,0,A?6,0,B6,0,M0,10.8
設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c
由題意可得：0=36a?6b+c0=36a+6b+c10.8=c，解得：a=?0.3b=0c=10.8
所以拋物線的函數(shù)表達式為y=?0.3x2+10.8
②∵車的寬度為4米，車從正中通過，
∴令x=4時，y=?0.3×16+10.8=6，
∴貨車安全行駛裝貨的最大高度為6?0.5=5.5（米）．
③如圖：由CE，DF高均為0.3米，則點G的縱坐標為0.3，
令y=0.3，則有：0.3=?0.3x2+10.8，解得：x=35（舍棄負值）
∴人行道臺階的寬度為：FG=35?4≈5.92?4=1.92>1.25
∴人行道寬度設(shè)計達標．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應用、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征等知識點，正確求得函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．
?題型06 噴水問題
22．（2023·山東·中考真題）城建部門計劃修建一條噴泉步行通道．圖1是項目俯視示意圖．步行通道的一側(cè)是一排垂直于路面的柱形噴水裝置，另一側(cè)是方形水池．圖2是主視示意圖．噴水裝置OA的高度是2米，水流從噴頭A處噴出后呈拋物線路徑落入水池內(nèi)，當水流在與噴頭水平距離為2米時達到最高點B，此時距路面的最大高度為3.6米．為避免濺起的水霧影響通道上的行人，計劃安裝一個透明的傾斜防水罩，防水罩的一端固定在噴水裝置上的點M處，另一端與路面的垂直高度NC為1.8米，且與噴泉水流的水平距離ND為0.3米．點C到水池外壁的水平距離CE=0.6米，求步行通道的寬OE．（結(jié)果精確到0.1米）參考數(shù)據(jù)：2≈1.41

【答案】3.2米
【分析】先以點O為坐標原點，OC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A0,2，B2,3.6，設(shè)設(shè)拋物線的解析式為y=ax?22+3.6，把A0,2代入，求得a=?0.4，即1.8=?0.4x?22+3.6，再求出點D的坐標，即可求解．
【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標系，

由題意知：A0,2，B2,3.6，
∵拋物線的最高點B，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax?22+3.6，
把A0,2代入，得2=a0?22+3.6，
解得a=?0.4，
∴拋物線的解析式為y=?0.4x?22+3.6，
令y=1.8，則1.8=?0.4x?22+3.6，
解得：x=2±322，
∴D2+322,1.8，
∴OE=xD?ND?CE=2+322?0.3?06≈3.2 (米)，
答：步行通道的寬OE的長約為3.2米．
【點睛】本題考查拋物線的實際應用．熟練掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（2022·浙江臺州·中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為?（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE=3m，豎直高度為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．
(1)若?=1.5，EF=0.5m；
①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；
②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；
③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求d的取值范圍；
(2)若EF=1m．要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出?的最小值．
【答案】(1)①y=?18x?22+2,6m；②(2,0)；③2≤d≤23?1
(2)6532
【分析】（1）①根據(jù)頂點式求上邊緣二次函數(shù)解析式即可；
②設(shè)根據(jù)對稱性求出平移規(guī)則，再根據(jù)平移規(guī)則由C點求出B點坐標；
③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，則上邊緣拋物線至少要經(jīng)過F點，下邊緣拋物線OB≤d，計算即可；
（2）當噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個綠化帶時，點D，F(xiàn)恰好分別在兩條拋物線上，設(shè)出D、F坐標計算即可．
【詳解】（1）（1）①如圖1，由題意得A(2,2)是上邊緣拋物線的頂點，
設(shè)y=a(x?2)2+2．
又∵拋物線經(jīng)過點(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，
∴a=?18．
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y=?18(x?2)2+2．
當y=0時，?18(x?2)2+2=0，
∴x1=6，x2=?2（舍去）．
∴噴出水的最大射程OC為6m．
圖1
②∵對稱軸為直線x=2，
∴點(0,1.5)的對稱點的坐標為(4,1.5)．
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，
即點B是由點C向左平移4m得到，則點B的坐標為(2,0)．
③如圖2，先看上邊緣拋物線，
∵EF=0.5，
∴點F的縱坐標為0.5．
拋物線恰好經(jīng)過點F時，
?18(x?2)2+2=0.5．
解得x=2±23，
∵x>0，
∴x=2+23．
當x>0時，y隨著x的增大而減小，
∴當2≤x≤6時，要使y≥0.5，
則x≤2+23．
∵當0≤x0.5，
∴當0≤x≤6時，要使y≥0.5，則0≤x≤2+23．
∵DE=3，灌溉車噴出的水要澆灌到整個綠化帶，
∴d的最大值為(2+23)?3=23?1．
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是OB≤d，
∴d的最小值為2．
綜上所述，d的取值范圍是2≤d≤23?1．
（2）?的最小值為6532．
由題意得A(2,?+0.5)是上邊緣拋物線的頂點，
∴設(shè)上邊緣拋物線解析式為y=a(x?2)2+?+0.5．
∵上邊緣拋物線過出水口（0，h）
∴y=4a+?+0.5=?
解得a=?18
∴上邊緣拋物線解析式為y=?18(x?2)2+?+0.5
∵對稱軸為直線x=2，
∴點(0,?)的對稱點的坐標為(4,?)．
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，
∴下邊緣拋物線解析式為y=?18(x+2)2+?+0.5．
當噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個綠化帶時，點D，F(xiàn)恰好分別在兩條拋物線上，
∵DE=3
∴設(shè)點Dm,0，Em+3,0，F(xiàn)m+3,?18(m+3?2)2+?+0.5，
∵D在下邊緣拋物線上，
∴?18(m+2)2+?+0.5=0
∵EF=1
∴?18(m+3?2)2+?+0.5=1
∴?18(m+3?2)2+?+0.5? ?18(m+2)2+?+0.5=1，
解得m=2.5，
代入?18(m+2)2+?+0.5=0，得?=6532．
所以?的最小值為6532．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用中的噴水問題，構(gòu)造二次函數(shù)模型并把實際問題中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)上的坐標是解題的關(guān)鍵．
24．（2022·河南·中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設(shè)拋物線的表達式為y=ax??2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求拋物線的表達式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．
【答案】(1)y=?0.1x?52+3.2
(2)2或6m
【分析】（1）根據(jù)頂點5,3.2，設(shè)拋物線的表達式為y=ax?52+3.2，將點P0,0.7，代入即可求解；
（2）將y=1.6代入（1）的解析式，求得x的值，進而求與點3,0的距離即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點為5,3.2，
設(shè)拋物線的解析式為y=ax?52+3.2，
將點0,0.7代入，得0.7=25a+3.2，
解得a=?0.1，
∴拋物線的解析式為y=?0.1x?52+3.2，
（2）由y=?0.1x?52+3.2，令y=1.6，
得1.6=?0.1x?52+3.2，
解得x1=1,x2=9，
∵爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，
∴當她的頭頂恰好接觸到水柱時，她與爸爸的水平距離為3?1=2(m)，或9?3=6(m)．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，掌握頂點式求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
25．（2024·廣西南寧·三模）美麗邕城四季常青，這與南寧市重視城市綠化密不可分，市區(qū)很多公園廣場都安裝有綠地噴淋系統(tǒng)．現(xiàn)準備在某草坪上安裝一個自動噴水裝置，其示意圖如圖1，噴水裝置噴射出來的水流可以近似的看成拋物線，點A、M在拋物線上，A為出水口，M為水流與地面的交點．如圖2，若水流距離地面的高度y（單位m）與水流距離出水口的水平距離x（單位m）之間具有函數(shù)關(guān)系：y=13x?12+34．
(1)自動噴水裝置噴水口距離地面的高度OA=_____m；
(2)如圖1，該自動噴水裝置能旋轉(zhuǎn)240°，它的噴灌區(qū)域是一個扇形，求它能噴灌的草坪面積（結(jié)果保留π）；
(3)如圖3，若噴水口正后方1米處有一條人行步道l，為行人安全，水流不能噴濺到步道上，請通過計算說明噴水裝置安裝位置是否合理？
【答案】(1)512；
(2)它能噴灌的草坪面積為256πm2；
(3)噴水裝置安裝位置不合理，過程見解析．
【分析】本題考查解直角三角形的應用，二次函數(shù)的應用等．
（1）當x=0時，求出y的值即可；
（2）令y=0求出x的值，根據(jù)扇形的面積公式求解即可．
（3）連接BC，過O作OD⊥BC于點D，求出∠BOD=∠COD=60°，在Rt△OBD中，解直角三角形即可求解．
【詳解】（1）解：當x=0時，y=?13+34=512，
故答案為：512；
（2）當y=0時，?13x?12+34=0，
解得：x=52或x=?12（舍去），
∴240×2.52π360=256π，
答：它能噴灌的草坪面積為256πm2；
（3）連接BC，過O作OD⊥BC于點D，
則BD=CD，∠BOD=∠COD= 3602?240°2=60°，
在Rt△OBD中，cs∠BOD=ODOB，
∴OD=OBcs∠BOD=52×12=1.25>1，
∴噴水裝置安裝位置不合理．
26．（2024·湖北武漢·二模）某廣場建了一座圓形音樂噴水池，在池中心豎直安裝一根水管OA，安裝在水管頂端A處的圓形噴頭向四周噴水，且各個方向噴出的拋物線形水柱形狀相同．如圖1，以池中心O點為坐標原點，水平方向為x軸，OA所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．x軸上的點C，D為水柱的落水點，若落地直徑CD=8m，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為32m處達到最高258m．
(1)求圖1中右邊拋物線的解析式；
(2)計劃在圖1中的線段OD上的點B處豎立一座雕像，雕像高BE=98m，若想雕像不碰到水柱，請求出線段OB的取值范圍；
(3)圓形水池的直徑為12m，噴水造型會隨著音樂節(jié)奏起伏而變化，從而產(chǎn)生一組不同的拋物線（如圖2），若右側(cè)拋物線頂點始終在直線y=2512x上，當噴出的拋物線水柱最大高度為254m時，水柱會噴到圓形水池之外嗎？請說明理由．
【答案】(1)y=?12x?322+258
(2)0

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