（思維導(dǎo)圖+考點(diǎn)+11種題型（含4種解題技巧））
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc186031250" 01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
\l "_Tc186031251" 02知識導(dǎo)圖·思維引航
\l "_Tc186031252" 03考點(diǎn)突破·考法探究
\l "_Tc186031253" 04題型精研·考向洞悉
\l "_Tc186031254" ?題型01 最大利潤問題
\l "_Tc186031255" ?題型02 方案選擇問題
\l "_Tc186031256" ?題型03 行程問題
\l "_Tc186031257" ?題型04 拱橋問題
\l "_Tc186031258" ?題型05 隧道通車問題
\l "_Tc186031259" ?題型06 噴水問題
\l "_Tc186031260" ?題型07 投球問題
\l "_Tc186031261" ?題型08 利用圖像構(gòu)建函數(shù)模型解決問題
\l "_Tc186031262" ?題型09 圖形最大面積問題
\l "_Tc186031263" ?題型10 圖形問題
\l "_Tc186031264" ?題型11 圖形運(yùn)動問題
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
\l "_Tc186016241" 02知識導(dǎo)圖·思維引航
\l "_Tc186016242" 03考點(diǎn)突破·考法探究
1. 用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟：
1）審：仔細(xì)審題，理清題意；
2）設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；
3）列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；
4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì)等求解實(shí)際問題；
5）檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.
【注意】二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．
2. 利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的常見類型
常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等，對此類問題要正確地建立模型，選擇合理的位置建立平面直角坐標(biāo)系是解決此類問題的關(guān)鍵，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，利用函數(shù)性質(zhì)解決問題.
\l "_Tc186016247" 04題型精研·考向洞悉
?題型01 最大利潤問題
利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：利潤問題主要涉及兩個(gè)等量關(guān)系:利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，總利潤=單件商品的利潤x銷售量，在解答此類問題時(shí)，應(yīng)建立二次函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后列出相應(yīng)的函數(shù)解析式，從而解決問題.
1．（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進(jìn)價(jià)為10元/盒的糖果進(jìn)行銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)時(shí)，日銷售量y（盒）與銷售單價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，下表是y與x的幾組對應(yīng)值．
(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)糖果銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？
(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價(jià)值為m元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．
【答案】(1)y=-2x+80
(2)糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元
(3)2
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量-m×銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解∶設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，
把x=12，y=56；x=20，y=40代入，得12k+b=5620k+b=40，
解得k=-2b=80，
∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+80；
（2）解：設(shè)日銷售利潤為w元，
根據(jù)題意，得w=x-10?y
=x-10-2x+80
=-2x2+100x-800
=-2x-252+450，
∴當(dāng)x=25時(shí)，w有最大值為450，
∴糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元；
（3）解：設(shè)日銷售利潤為w元，
根據(jù)題意，得w=x-10-m?y
=x-10-m-2x+80
=-2x2+100+2mx-800-80m，
∴當(dāng)x=-100+2m2×-2=50+m2時(shí)，w有最大值為-250+m22+100+2m50+m2-800-80m，
∵糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，
∴-250+m22+100+2m50+m2-800-80m=392，
化簡得m2-60m+116=0
解得m1=2，m2=58
當(dāng)m=58時(shí)，x=-b2a=54,
則每盒的利潤為：54-10-58S2
【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出函數(shù)關(guān)系式．
（1）由題意知拋物線的頂點(diǎn)P6,4，設(shè)頂點(diǎn)式用待定系數(shù)法可得方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）令y=3可得x=3或x=9，故BC=6m，S1=AB·BC=18m2；再比較S1，S2的大小即可．
【詳解】（1）解：由題意知，方案一中拋物線的頂點(diǎn)P6,4，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax-62+4，
把O0,0代入得0=a0-62+4，
解得：a=-19，
∴ y=-19x-62+4=-19x2+43x，
∴方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-19x2+43x；
（2）在y=-19x2+43x中，令y=3得：3=-19x2+43x；
解得x=3或x=9，
∴ BC=9-3=6m，
∴ S1=AB·BC=3×6=18m2，
∵ 18>122，
∴ S1>S2．
15．（2024·貴州黔南·模擬預(yù)測）貴州都勻是一座以河為伴、山水交融的“山水橋城”，大大小小的橋梁隨處可見，被譽(yù)為“橋梁博物館”．都勻市某石拱橋如圖1，拱橋截面可視為拋物線的一部分，若拱頂?shù)剿娴木嚯x為2m，水面寬度為4m，以水面與橋截面左側(cè)的交點(diǎn)為原點(diǎn)，水面為橫軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．
(1)求橋拱所在拋物線的函數(shù)解析式．
(2)若水位下降1m，有一只寬為2m，高為2.4m的清潔船能否順利通過該石拱橋？請說明理由．
(3)某相關(guān)部門要對石拱橋進(jìn)行維護(hù)，為了安全，現(xiàn)將一塊三角形形狀的安全圍布△CDE通過平移后遮住橋體（如圖3）．已知C9,0，CD=7m，且tan∠ECD=43，tan∠CDE=1．若安全圍布△CDE向橋拱所在拋物線方向平移a個(gè)單位長度后，橋體全部在安全圍布△CDE內(nèi)部（不包括邊界），求a的取值范圍．
【答案】(1)y=-12x2+2x
(2)能，理由見解析
(3)556≤a≤232
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）當(dāng)船從橋的正中間經(jīng)過時(shí)，即x=1，y=-12x2+2x=1.5，當(dāng)水面下降1米時(shí)，水面距離橋的距離為1+1.5=2.5（米）>2.4米，即可求解；
（3）當(dāng)CE向左平移a個(gè)單位和拋物線相切時(shí)，則平移后的CE的表達(dá)式為：y=43(x+a)-12，聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式為：43(x+a)-12=-12x2+2x，則Δ=(23)2-4×12(-43a+12)=0，求出a=556；同理可得：DE的表達(dá)式為：y=-x+16，當(dāng)DE向左平移a個(gè)單位和拋物線相切時(shí)，則平移后的DE的表達(dá)式為：y=-(x+a)+16，同理可得a=232，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：y=a(x-2)2+2，
將O(0,0)代入上式得：0=a(0-2)2+2，
則a=-12，
則拋物線的表達(dá)式為：y=-12(x-2)2+2=-12x2+2x；
（2）解：可以，理由：
當(dāng)船從橋的正中間經(jīng)過時(shí)，即x=1，y=-12x2+2x=1.5，
當(dāng)水面下降1米時(shí)，水面距離橋的距離為1+1.5=2.5（米）>2.4米，
故清潔船能順利通過該石拱橋；
（3）解：過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，
在△CEF中，tan∠ECD=43，tan∠CDE=1．
故設(shè)FE=FD=4x，則CF=3x，
則CD=7x=7，則x=1，
即FE=FD=4，則CF=3，
如圖3，則點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為：(16,0)、(12,4)，
由點(diǎn)C、E的坐標(biāo)得，直線CE的表達(dá)式為：y=43x-12，
當(dāng)CE向左平移a個(gè)單位和拋物線相切時(shí)，
則平移后的CE的表達(dá)式為：y=43(x+a)-12，
聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式為：43(x+a)-12=-12x2+2x，
則Δ=(23)2-4×12(-43a+12)=0，
解得：a=556；
由點(diǎn)D、E的坐標(biāo)得，
設(shè)DE的表達(dá)式為y=kx+b
把D(16,0)、E(12,4)，
DE的表達(dá)式為：y=-x+16，
當(dāng)DE向左平移a個(gè)單位和拋物線相切時(shí)，
則平移后的DE的表達(dá)式為：y=-(x+a)+16，
聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式為：-(x+a)+16=-12x2+2x，
則Δ=9-4×(-12)×(a-16)=0，
解得：a=232；
故556≤a≤232．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，平移性質(zhì)，涉及到解直角三角形、二次函數(shù)的應(yīng)用，分類求解是解題的關(guān)鍵．
16．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）大棚經(jīng)濟(jì)“金鑰匙”，激活鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興新引擎．劉叔叔計(jì)劃在自家菜地修建一個(gè)蔬菜大棚，圖1是其橫截面的示意圖，其中AB，CD為兩段垂直于地面的墻體，兩段墻體之間的水平距離為9米，大棚的頂部用拋物線形鋁合金骨架作支撐．已知骨架的一端固定在離地面3.5米的墻體A處，另一端固定在墻體D處，骨架最高點(diǎn)P到墻體AB的水平距離為2米，且點(diǎn)P離地面的高度為3.75米．

數(shù)學(xué)建模
(1)在圖1中，以B為原點(diǎn)，水平直線BC為x軸，AB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)大棚頂部骨架上某處離地面的高度為y（米），該處離墻體AB的水平距離為x（米），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
問題解決
(2)為了大棚頂部更加穩(wěn)固，劉叔叔計(jì)劃在棚頂安裝“丁”字形鋁合金支架，如圖2所示，支架可以看成是由線段AE，F(xiàn)G組成，其中點(diǎn)E，F(xiàn)在頂棚拋物線形骨架上，F(xiàn)G⊥AE于點(diǎn)G．為不影響耕作，將點(diǎn)E到地面的距離定為1.5米．
①點(diǎn)E的坐標(biāo)為______，AE的長為______；
②請你計(jì)算做一個(gè)“丁”字形支架所需鋁合金材料的最大長度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：17≈4.12）
【答案】(1)y=-116x2+14x+3.50≤x≤9；
(2)① 8,1.5，217；②9.3米
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意得，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,3.75，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=ax-22+3.75，然后用待定系數(shù)法即可求解；
（2）①當(dāng)y=1.5時(shí)，1.5=-116x2+14x+3.5，解得：x=8即可求出E8,1.5，再用兩點(diǎn)之間的距離公式求出AE；
②過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，交AE于點(diǎn)N，求出AE所在直線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-14x+3.5，設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m，則FN=-116m2+12m=-116m-42+1，當(dāng)m=4時(shí)，F(xiàn)N最大=1，再根據(jù)sin∠HAE=sin∠FNG=HEAE=8217=41717，得出FG=41717FN，最后根據(jù)線段和差即可求解；
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,3.75，
∴設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=ax-22+3.75，
由題意得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,3.5，
將A0,3.5代入y=ax-22+3.75，
得4a+3.75=3.5，
解得：a=-116，
∴y=-116x-22+3.75=-116x2+14x+3.5，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-116x2+14x+3.50≤x≤9，
（2）解：①由（1）得y=-116x2+14x+3.5，
當(dāng)y=1.5時(shí)，1.5=-116x2+14x+3.5，
解得：x=8或x=-4（舍去），
∴E8,1.5，
∵A0,3.5，
∴AE=0-82+3.5-1.52=217，
故答案為：8,1.5，217；
②過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，交AE于點(diǎn)N，

設(shè)AE所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，
將A0,3.5,E8,1.5分別代入y=kx+b，
得b=3.5,8k+b=1.5，
解得k=-14b=3.5，
∴AE所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-14x+3.5，
設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m，
∵點(diǎn)F在拋物線y=-116x2+14x+3.5的圖象上，
∴Fm,-116m2+14m+3.5，Nm,-14m+3.5，
∴FN=-116m2+14m+3.5--14m+3.5=-116m2+12m=-116m-42+1，
∵-1165，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)OB=x，則BC=16-2x，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD=BC=16-2x，AB=DC=-18x2+2x，設(shè)l=AB+AD+DC，進(jìn)而表示出l的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）解：依題意：拋物線形的公路隧道，其高度為8米，寬度OM為16米，現(xiàn)在O點(diǎn)為原點(diǎn)，
∴點(diǎn)M16,0，頂點(diǎn)P8,8，
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx．
把點(diǎn)M16,0，點(diǎn)P8,8代入得：
64a+8b=8256a+16b=0
解得a=-18b=2
∴拋物線的解析式為y=-18x2+2x
∵OM=16，M16,0，
∴自變量x的取值范圍為：0≤x≤16；
（2）解：當(dāng)x=8-2.5-1=92時(shí)，y=-18×922+2×92=20732>5，
∴能同時(shí)并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛．
（3）解：設(shè)OB=x，則BC=16-2x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=16-2x，AB=DC=-18x2+2x
設(shè)l=AB+AD+DC，則l=-14x2+4x+16-2x
∴l(xiāng)=-14x2+2x+16
∵-144.2m，
∴這輛貨車的高度不否符合規(guī)定．
20．（2024·河南周口·二模）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，其中長方形的長OA=12m，寬OB=4m．按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=-16x2+bx+c表示，且拋物線上的點(diǎn)C到墻面OB的水平距離為3m時(shí)，到地面OA的距離為172m．為安全起見，隧道正中間有寬為0.4m的隔離帶．
(1)求b，c的值，并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離．
(2)一輛貨運(yùn)汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？
(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，且它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？
【答案】(1)b=2，c=4，拱頂D到地面OA的距離為10m
(2)這輛貨車能安全通過
(3)兩排燈的水平距離最小是43m．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題，利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
（1）先確定B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再利用配方法確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)D到地面OA的距離；
（2）由于拋物線的對稱軸為直線x=6，而隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，車寬為4m，則貨運(yùn)汽車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為1.8,0或10.2,0，然后計(jì)算自變量為x=1.8或x=10.2時(shí)的函數(shù)值，再把函數(shù)值與6進(jìn)行大小比較即可判斷；
（3）拋物線開口向下，函數(shù)值越大，對稱點(diǎn)之間的距離越小，于是計(jì)算函數(shù)值為8所對應(yīng)的自變量的值即可得到兩排燈的水平距離最小值．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得B0,4，C3,172，
把B0,4，C3,172代入y=-16x2+bx+c得
c=4，172=-16×32+3b+c，解得c=4b=2
∴拋物線的解析式為y=-16x2+2x+4=-16x-62+10，
∴D6,10，
∴拱頂D到地面OA的距離為10m．
（2）解：由題意得隧道中每側(cè)行車道的寬度為12-0.4÷2=5.8m，
∴貨運(yùn)汽車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為1.8,0或10.2,0，
當(dāng)x=1.8或x=10.2時(shí)，y=7.06≥6，
∴這輛貨車能安全通過．
（3）解：令y=8，
則-16x-62+10=8，
解得x1=6+23，x1=6-23，
則x1-x2=43，
∴兩排燈的水平距離最小是43m．
21．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）按要求解答
(1)某市計(jì)劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊(duì)在修了1400米后，加快了工作進(jìn)度，每天比原計(jì)劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計(jì)劃每天修多長？
(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個(gè)車道寬度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD寬均為2米，拱高OM=10.8米．建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
①此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為________．（函數(shù)表達(dá)式用一般式表示）
②按規(guī)定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高_(dá)_______米．
③已知人行道臺階CE，DF高均為0.3米，按照國家標(biāo)準(zhǔn)，人行道寬度不得低于1.25米，該隧道的人行道寬度設(shè)計(jì)是否達(dá)標(biāo)？說明理由．
+
【答案】(1)原計(jì)劃每天修20米
(2)①y=-0.3x2+10.8；②5.5米；③達(dá)標(biāo)，理由見解析
【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃每天修x米，然后根據(jù)題意列分式方程求解即可；
（2）①由題意可得E-4,0,F4,0,A-6,0,B6,0,M0,10.8，然后運(yùn)用待定系數(shù)法解答即可；②車的寬度為4米，令x=4時(shí)求得y=6，然后再減去0.5即可解答；③如圖：由CE，DF高均為0.3米，則點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為0.3，令y=0.3可解答點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為35，然后求出FG的長度即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)原計(jì)劃每天修x米
則根據(jù)題意可得：2400x-1400x+2400-1400x+5=10
解得：x=-25或x=20
經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是分式方程的解．
答：原計(jì)劃每天修20米．
（2）解：①根據(jù)題意可得：C-4,0,D4,0,A-6,0,B6,0,M0,10.8
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c
由題意可得：0=36a-6b+c0=36a+6b+c10.8=c，解得：a=-0.3b=0c=10.8
所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-0.3x2+10.8
②∵車的寬度為4米，車從正中通過，
∴令x=4時(shí)，y=-0.3×16+10.8=6，
∴貨車安全行駛裝貨的最大高度為6-0.5=5.5（米）．
③如圖：由CE，DF高均為0.3米，則點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為0.3，
令y=0.3，則有：0.3=-0.3x2+10.8，解得：x=35（舍棄負(fù)值）
∴人行道臺階的寬度為：FG=35-4≈5.92-4=1.92>1.25
∴人行道寬度設(shè)計(jì)達(dá)標(biāo)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識點(diǎn)，正確求得函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．
?題型06 噴水問題
22．（2023·山東·中考真題）城建部門計(jì)劃修建一條噴泉步行通道．圖1是項(xiàng)目俯視示意圖．步行通道的一側(cè)是一排垂直于路面的柱形噴水裝置，另一側(cè)是方形水池．圖2是主視示意圖．噴水裝置OA的高度是2米，水流從噴頭A處噴出后呈拋物線路徑落入水池內(nèi)，當(dāng)水流在與噴頭水平距離為2米時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)B，此時(shí)距路面的最大高度為3.6米．為避免濺起的水霧影響通道上的行人，計(jì)劃安裝一個(gè)透明的傾斜防水罩，防水罩的一端固定在噴水裝置上的點(diǎn)M處，另一端與路面的垂直高度NC為1.8米，且與噴泉水流的水平距離ND為0.3米．點(diǎn)C到水池外壁的水平距離CE=0.6米，求步行通道的寬OE．（結(jié)果精確到0.1米）參考數(shù)據(jù)：2≈1.41

【答案】3.2米
【分析】先以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A0,2，B2,3.6，設(shè)設(shè)拋物線的解析式為y=ax-22+3.6，把A0,2代入，求得a=-0.4，即1.8=-0.4x-22+3.6，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求解．
【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意知：A0,2，B2,3.6，
∵拋物線的最高點(diǎn)B，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax-22+3.6，
把A0,2代入，得2=a0-22+3.6，
解得a=-0.4，
∴拋物線的解析式為y=-0.4x-22+3.6，
令y=1.8，則1.8=-0.4x-22+3.6，
解得：x=2±322，
∴D2+322,1.8，
∴OE=xD-ND-CE=2+322-0.3-06≈3.2 (米)，
答：步行通道的寬OE的長約為3.2米．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的實(shí)際應(yīng)用．熟練掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（2022·浙江臺州·中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE=3m，豎直高度為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．
(1)若h=1.5，EF=0.5m；
①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；
②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求d的取值范圍；
(2)若EF=1m．要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請直接寫出h的最小值．
【答案】(1)①y=-18x-22+2,6m；②(2,0)；③2≤d≤23-1
(2)6532
【分析】（1）①根據(jù)頂點(diǎn)式求上邊緣二次函數(shù)解析式即可；
②設(shè)根據(jù)對稱性求出平移規(guī)則，再根據(jù)平移規(guī)則由C點(diǎn)求出B點(diǎn)坐標(biāo)；
③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，則上邊緣拋物線至少要經(jīng)過F點(diǎn)，下邊緣拋物線OB≤d，計(jì)算即可；
（2）當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個(gè)綠化帶時(shí)，點(diǎn)D，F(xiàn)恰好分別在兩條拋物線上，設(shè)出D、F坐標(biāo)計(jì)算即可．
【詳解】（1）（1）①如圖1，由題意得A(2,2)是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)y=a(x-2)2+2．
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，
∴a=-18．
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y=-18(x-2)2+2．
當(dāng)y=0時(shí)，-18(x-2)2+2=0，
∴x1=6，x2=-2（舍去）．
∴噴出水的最大射程OC為6m．
圖1
②∵對稱軸為直線x=2，
∴點(diǎn)(0,1.5)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,1.5)．
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，
即點(diǎn)B是由點(diǎn)C向左平移4m得到，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)．
③如圖2，先看上邊緣拋物線，
∵EF=0.5，
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為0.5．
拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，
-18(x-2)2+2=0.5．
解得x=2±23，
∵x>0，
∴x=2+23．
當(dāng)x>0時(shí)，y隨著x的增大而減小，
∴當(dāng)2≤x≤6時(shí)，要使y≥0.5，
則x≤2+23．
∵當(dāng)0≤x0.5，
∴當(dāng)0≤x≤6時(shí)，要使y≥0.5，則0≤x≤2+23．
∵DE=3，灌溉車噴出的水要澆灌到整個(gè)綠化帶，
∴d的最大值為(2+23)-3=23-1．
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是OB≤d，
∴d的最小值為2．
綜上所述，d的取值范圍是2≤d≤23-1．
（2）h的最小值為6532．
由題意得A(2,h+0.5)是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，
∴設(shè)上邊緣拋物線解析式為y=a(x-2)2+h+0.5．
∵上邊緣拋物線過出水口（0，h）
∴y=4a+h+0.5=h
解得a=-18
∴上邊緣拋物線解析式為y=-18(x-2)2+h+0.5
∵對稱軸為直線x=2，
∴點(diǎn)(0,h)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,h)．
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，
∴下邊緣拋物線解析式為y=-18(x+2)2+h+0.5．
當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個(gè)綠化帶時(shí)，點(diǎn)D，F(xiàn)恰好分別在兩條拋物線上，
∵DE=3
∴設(shè)點(diǎn)Dm,0，Em+3,0，F(xiàn)m+3,-18(m+3-2)2+h+0.5，
∵D在下邊緣拋物線上，
∴-18(m+2)2+h+0.5=0
∵EF=1
∴-18(m+3-2)2+h+0.5=1
∴-18(m+3-2)2+h+0.5- -18(m+2)2+h+0.5=1，
解得m=2.5，
代入-18(m+2)2+h+0.5=0，得h=6532．
所以h的最小值為6532．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中的噴水問題，構(gòu)造二次函數(shù)模型并把實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)上的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
24．（2022·河南·中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax-h2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離．
【答案】(1)y=-0.1x-52+3.2
(2)2或6m
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)5,3.2，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax-52+3.2，將點(diǎn)P0,0.7，代入即可求解；
（2）將y=1.6代入（1）的解析式，求得x的值，進(jìn)而求與點(diǎn)3,0的距離即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點(diǎn)為5,3.2，
設(shè)拋物線的解析式為y=ax-52+3.2，
將點(diǎn)0,0.7代入，得0.7=25a+3.2，
解得a=-0.1，
∴拋物線的解析式為y=-0.1x-52+3.2，
（2）由y=-0.1x-52+3.2，令y=1.6，
得1.6=-0.1x-52+3.2，
解得x1=1,x2=9，
∵爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，
∴當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，她與爸爸的水平距離為3-1=2(m)，或9-3=6(m)．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
25．（2024·廣西南寧·三模）美麗邕城四季常青，這與南寧市重視城市綠化密不可分，市區(qū)很多公園廣場都安裝有綠地噴淋系統(tǒng)．現(xiàn)準(zhǔn)備在某草坪上安裝一個(gè)自動噴水裝置，其示意圖如圖1，噴水裝置噴射出來的水流可以近似的看成拋物線，點(diǎn)A、M在拋物線上，A為出水口，M為水流與地面的交點(diǎn)．如圖2，若水流距離地面的高度y（單位m）與水流距離出水口的水平距離x（單位m）之間具有函數(shù)關(guān)系：y=13x-12+34．
(1)自動噴水裝置噴水口距離地面的高度OA=_____m；
(2)如圖1，該自動噴水裝置能旋轉(zhuǎn)240°，它的噴灌區(qū)域是一個(gè)扇形，求它能噴灌的草坪面積（結(jié)果保留π）；
(3)如圖3，若噴水口正后方1米處有一條人行步道l，為行人安全，水流不能噴濺到步道上，請通過計(jì)算說明噴水裝置安裝位置是否合理？
【答案】(1)512；
(2)它能噴灌的草坪面積為256πm2；
(3)噴水裝置安裝位置不合理，過程見解析．
【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用等．
（1）當(dāng)x=0時(shí)，求出y的值即可；
（2）令y=0求出x的值，根據(jù)扇形的面積公式求解即可．
（3）連接BC，過O作OD⊥BC于點(diǎn)D，求出∠BOD=∠COD=60°，在Rt△OBD中，解直角三角形即可求解．
【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-13+34=512，
故答案為：512；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，-13x-12+34=0，
解得：x=52或x=-12（舍去），
∴240×2.52π360=256π，
答：它能噴灌的草坪面積為256πm2；
（3）連接BC，過O作OD⊥BC于點(diǎn)D，
則BD=CD，∠BOD=∠COD= 3602-240°2=60°，
在Rt△OBD中，cs∠BOD=ODOB，
∴OD=OBcs∠BOD=52×12=1.25>1，
∴噴水裝置安裝位置不合理．
26．（2024·湖北武漢·二模）某廣場建了一座圓形音樂噴水池，在池中心豎直安裝一根水管OA，安裝在水管頂端A處的圓形噴頭向四周噴水，且各個(gè)方向噴出的拋物線形水柱形狀相同．如圖1，以池中心O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，OA所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．x軸上的點(diǎn)C，D為水柱的落水點(diǎn)，若落地直徑CD=8m，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為32m處達(dá)到最高258m．
(1)求圖1中右邊拋物線的解析式；
(2)計(jì)劃在圖1中的線段OD上的點(diǎn)B處豎立一座雕像，雕像高BE=98m，若想雕像不碰到水柱，請求出線段OB的取值范圍；
(3)圓形水池的直徑為12m，噴水造型會隨著音樂節(jié)奏起伏而變化，從而產(chǎn)生一組不同的拋物線（如圖2），若右側(cè)拋物線頂點(diǎn)始終在直線y=2512x上，當(dāng)噴出的拋物線水柱最大高度為254m時(shí)，水柱會噴到圓形水池之外嗎？請說明理由．
【答案】(1)y=-12x-322+258
(2)0

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