2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第04講 二次根式（講義，2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)12種題型（含6種解題技巧）)

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc182990808" 01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
\l "_Tc182990809" 02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
\l "_Tc182990810" 03考點(diǎn)突破·考法探究
\l "_Tc182990811" 考點(diǎn)一 二次根式的相關(guān)概念
\l "_Tc182990812" 考點(diǎn)二 二次根式的性質(zhì)與化簡
\l "_Tc182990813" 考點(diǎn)三 二次根式的運(yùn)算
04題型精研·考向洞悉 \l "_Tc182990814"
\l "_Tc182990815" 命題點(diǎn)一 二次根式的性質(zhì)與化簡
\l "_Tc182990816" ?題型01 二次根式有意義的條件
\l "_Tc182990817" ?題型02 與二次根式有關(guān)的開放性試題
\l "_Tc182990818" ?題型03 利用二次根式的性質(zhì)化簡
\l "_Tc182990819" ?題型04 二次根式與數(shù)軸
\l "_Tc182990820" 命題點(diǎn)二 二次根式的運(yùn)算
\l "_Tc182990821" ?題型01 應(yīng)用乘法公式求二次根式的值
\l "_Tc182990822" ?題型02 最簡二次公式的判斷
\l "_Tc182990823" ?題型03 分母有理化
\l "_Tc182990824" ?題型04 二次根式的混合運(yùn)算
\l "_Tc182990825" ?題型05 二次根式估值
\l "_Tc182990826" ?題型06 與二次根式有關(guān)的新定義問題
\l "_Tc182990827" ?題型07 與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究
\l "_Tc182990828" ?題型08 二次根式的應(yīng)用
01考情透視·目標(biāo)
02知識(shí)導(dǎo)圖·思
03考點(diǎn)突破·考
考點(diǎn)一 二次根式的相關(guān)概念
1.二次根式
二次根式的定義：一般地，我們把形如a（?≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)，a叫做被開方數(shù)．
【易錯(cuò)易混】
1）二次根式的兩個(gè)要素（判斷依據(jù)）：含有二次根號(hào)“”，且根指數(shù)為2；被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；
2）二次根式定義中規(guī)定，任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結(jié)果，如：4，-9都是二次根式；
3)二次根式的被開方數(shù)a可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)式子，但都要滿足?≥0；
4)在具體問題中，如果已知a是二次根式，相當(dāng)于給出了?≥0.
2.二次根式有意義的條件
1）單個(gè)二次根式，如a有意義的條件是?≥0；
2）二次根式作為分母時(shí)，如1a有意義的條件是?>0；
3）二次根式與分式相加，如a+1b有意義的條件是?≥0且b＞0.
1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數(shù)y=13+x+1x+2中，自變量x的取值范圍是 ．
2．（2023·四川綿陽·中考真題）使代數(shù)式1x+3+4?3x有意義的整數(shù)x有（ ）
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
考點(diǎn)二 二次根式的性質(zhì)與化簡
二次根式的性質(zhì)
1）式子a（?≥0）既表示二次根式，又表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根（a≥0），所以a具有雙重非負(fù)性；
2）a2=aa≥0，即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身；
3），即一個(gè)數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.
二次根式的化簡
二次根式的化簡：1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；
2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡．
，
【易錯(cuò)易混】
1.在使用ab =a?b （a≥0，b≥0）時(shí)一定要注意a≥0，b≥0的條件限制.
2.在使用ab=ab（a≥0，b＞0）時(shí)一定要注意a≥0，b＞0的條件限制.
1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）計(jì)算92?62所得結(jié)果是（ ）
A．3B．6C．35D．±35
2．（2024·四川樂山·中考真題）已知10B．a(chǎn)0圖象上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A?1,1，則△AOP的面積的最小值為______．
中考考點(diǎn)
考查頻率
新課標(biāo)要求
二次根式的相關(guān)概念
★★
了解二次根式、最簡二次根式的概念
二次根式的性質(zhì)
★★
掌握二次根式的性質(zhì)
二次根式的運(yùn)算
★★
了解二次根式(根號(hào)下僅限于數(shù))加，減、乘、除運(yùn)算法則,會(huì)用它們進(jìn)行簡單的四則運(yùn)算
【考情分析】中考中，對(duì)二次根式的考察主要集中在對(duì)其取值范圍、化簡計(jì)算等方面，其中取值范圍類考點(diǎn)多出選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化簡計(jì)算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角函數(shù)、實(shí)數(shù)、其他幾何圖形等結(jié)合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.
用均值不等式求最值
若實(shí)數(shù)a>0，b>0，則有a+b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)，我們稱不等式a+b2≥aba>0，b>0為均值不等式．
證明：∵a>0，b>0
∴a?b2≥0
∴a?2ab+b≥0
∴a+b≥2ab
∴a+b2≥ab
由上可知，①當(dāng)a+b為定值的時(shí)候，ab有最大值；
②當(dāng)ab為定值的時(shí)候，有a+b最小值．
所以，利用均值不等式可以求一些函數(shù)的最值．
例：已知x>0，求函數(shù)y=x+1x的最小值．
解：∵x>0
∴1x>0
∴y=x+1x≥2x?1x=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1x，即x=1時(shí)，等號(hào)成立
∴當(dāng)即x=1時(shí)，函數(shù)y=x+1x取最小值，最小值為2．