高考數(shù)學第二輪復習專項練習——導數(shù)、微分及其積分
一、平均變化率的定義
式子：

表示，我們把這個式子稱為函數(shù)從的 。習慣上用表示，即
=
可把看作是相對于的一個“增量”，可用代替；類似地，
。
于是，平均變化率可以表示為： 。
練習：
求函數(shù)y=x2在區(qū)間[1，2]上的平均變化率。
二、導數(shù)的概念：
一般地，函數(shù)在處的瞬時變化率是
我們把它稱為函數(shù)在處的 ，記作或（表示函數(shù)關于自變量在處的導數(shù)）；即：
練習：
函數(shù)在某一點的導數(shù)是（ ）
A．在該點的函數(shù)值的增量與自變量的增量的比
B．一個函數(shù)
C．一個常數(shù)，不是變數(shù)
D．函數(shù)在這一點到它附近一點之間的平均變化率
三、導數(shù)的幾何意義
函數(shù)在處的導數(shù)就是它在處切線的斜率，即
練習：
函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導數(shù)f′（x0）的幾何意義是（ ）
A．在點x0處的斜率
B．曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處切線的斜率
C．在點（x0，f（x0））處的切線與x軸所夾銳角的正切值
D．點（x0，f（x0））與點（0，0）連線的斜率
四、導函數(shù)
從求函數(shù)在處導數(shù)的過程，我們可以看到，當時，是一個確定的數(shù)。這樣，當x變化時，便是x的一個函數(shù)，我們稱它為的導函數(shù)（簡稱導數(shù)）。即

練習：已知函數(shù)，求函數(shù)的導函數(shù)。
五、基本初等函數(shù)導數(shù)公式
1、若（為常數(shù)），則 ；
2、若（），則 ；
3、若，則 ；
4、若，則 ；
5、若，則 ；
6、若，則 ；
7、若，則 ；
8、若，則 ；
六、導數(shù)的運算法則
1、 。
2、 。
4、= （）
5、 。
七、復合函數(shù)求導
復合函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的導數(shù)間的關系為：

練習：
1．求下列函數(shù)的導數(shù)：
（1）y=x（1++）
（2）y=x4﹣3x2﹣5x+6．

2．求下列函數(shù)的導數(shù)．
（1）；

（2）y=（2x2﹣1）（3x+1）

八、微分的相關知識
根據(jù)導數(shù)的定義，我們知道函數(shù)的導數(shù)：
在上述的等式中，我們把自變量的增量叫做自變量的微分，記為，函數(shù)的微分，記為，于是我們有函數(shù)的微分公式

那么，這個時候，函數(shù)的導數(shù)就可以寫為：
所以導數(shù)又叫做微商。
注意：只是一個符號，不能誤認為就是。
從函數(shù)的微分表達式
可以看出，要計算函數(shù)的微分，只要計算出函數(shù)的導數(shù)，再乘以自變量的微分。
九、常見函數(shù)的微分公式：
1、若（為常數(shù)），則 ；= 。
2、若（），則 ；= 。
3、若，則 ；= 。
4、若，則 ；= 。
5、若，則 ；= 。
6、若，則 ；= 。
7、若，則 ；= 。
8、若，則 ；= 。
十、微分的運算法則：
1、 ；
。
2、 ；
。
4、= （）；
= （）。
5、 ;
。
練習：
（1）已知y=x3?lnx，求．
已知y=，求．

7．求下列函數(shù)的微分
（1）y=（3x2﹣4x）（2x+1）
y=x2csx
（3）y=exlnx．
十一、原函數(shù)
定義：如果在區(qū)間I上，可導函數(shù)的導函數(shù)為，即對任意，都有
或者=
那么，函數(shù)就稱為（或）在區(qū)間I上的 。
練習：
已知，求的表達式。
十二、不定積分
（1）定義
定義：在區(qū)間I上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為（或）在區(qū)間I上的 ，記作

其中記號 稱為 ，稱為 ，稱為 ，稱為 。
由定義及其原函數(shù)的相關知識，我們可以知道，如果是在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，那么就是的不定積分，即

因而不定積分可以表示的任意一個原函數(shù)。
練習：
求
十四、基本積分公式
=
=
=
=
=
=
=
=
=
練習：
1 求。
2 求。
十五、不定積分的性質(zhì)
性質(zhì)1 設函數(shù)及的原函數(shù)存在，則
=
性質(zhì)2 設函數(shù)的原函數(shù)存在，為非零常數(shù)，則

練習：
求。
十六、定積分的概念
求曲邊梯形的過程中，我們可以得到如下的一個等式
當時，上述和式無限接近于一個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的 ，記作，即
其中，叫做 ，叫做 ，區(qū)間叫做 ，函數(shù)叫做 ，叫做 ，叫做 。
十七、微積分基本定理
一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么
這個結論叫做 ，又叫做牛頓-萊布尼茨公式。
為了方便，我們常常把，記成 ，即
=
練習：
求。
十八、定積分的性質(zhì)
性質(zhì)1 = （為常數(shù)）；
性質(zhì)2 ；
性質(zhì)3 = （其中）。
練習：
1、 2、
3、 4、

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