一．選擇題（共8小題）
1．在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）
A．17B．19C．16D．18

2．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，則△ABC的面積為（ ）
A．B．1C．D．2

3．在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，則△ABC的面積為（ ）
A．B．C．D．2

4．在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）
A．18B．19C．16D．17

5．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，則b=（ ）
A．4B．3C．2D．1

6．已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，且acsC+c=b，若a=1，c﹣2b=1，則角B為（ ）
A．B．C．D．

7．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（a+b+c）（a﹣b﹣c）=﹣3bc．則A=（ ）
A．B．C．D．

8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2+a2=c2+ab，則內(nèi)角C=（ ）
A．B．C．D．或


二．填空題（共2小題）
9．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，則= ．

10．如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，則BD的長(zhǎng)為 ．


三．解答題（共4小題）
11．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．

12．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知csC+（csA﹣sinA）csB=0．
（1）求角B的大??；
（2）若a+c=1，求b的取值范圍．

13．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且bc=2b2+2c2﹣2a2．
（1）求sinA的值；
（2）若a=1，sinB+sinC=，求b的值．

14．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，2bsinA=a，BC邊上中線AM的長(zhǎng)為．
（Ⅰ）求角A和角B的大??；
（Ⅱ）求△ABC的面積．


參考答案與試題解析

一．選擇題（共8小題）
1．在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）
A．17B．19C．16D．18
【考點(diǎn)】余弦定理．
【專題】解三角形．
【分析】利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，b及csB的值代入，得到關(guān)于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
【解答】解：∵a=3，c=9，B=60°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accsB，即：b2=9+64﹣24，即b=7，
則a+b+c=18
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．

2．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，則△ABC的面積為（ ）
A．B．1C．D．2
【考點(diǎn)】余弦定理．
【專題】解三角形．
【分析】由已知及余弦定理可求csA，從而可求sinA的值，結(jié)合已知由三角形面積公式即可得解．
【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，
∴由余弦定理可得：csA===，又0＜A＜π，
∴可得A=60°，sinA=，
∵bc=4，
∴S△ABC=bcsinA==．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，解題時(shí)要注意角范圍的討論，屬于基本知識(shí)的考查．

3．在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，則△ABC的面積為（ ）
A．B．C．D．2
【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．
【專題】解三角形．
【分析】由余弦定理可得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccsA，代入已知從而解得：bc的值，由三角形面積公式S△ABC=bcsinA即可求值．
【解答】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccsA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccsA，
∴代入已知有：3=9﹣3bc，從而解得：bc=2，
∴S△ABC=bcsinA==，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察了余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

4．在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）
A．18B．19C．16D．17
【考點(diǎn)】余弦定理．
【專題】解三角形．
【分析】利用余弦定理列出關(guān)系式，把a(bǔ)，c，csB的值代入求出b的值，即可確定出三角形ABC周長(zhǎng)．
【解答】解：∵△ABC中，a=3，c=8，B=60°，
∴b2=a2+c2﹣2accsB=9+64﹣24=49，即b=7，
則△ABC周長(zhǎng)為3+8+7=18，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．

5．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，則b=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．
【專題】計(jì)算題；解三角形．
【分析】運(yùn)用余弦定理，化簡(jiǎn)=，可得a2﹣c2=b2，再由a2﹣c2=2b，解方程即可得到b．
【解答】解：=，即為
3ccsA=acsC，
即有3c?=a?，
即有a2﹣c2=b2，
又a2﹣c2=2b，則2b=b2，
解得b=4．
故選A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

6．已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，且acsC+c=b，若a=1，c﹣2b=1，則角B為（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．
【專題】解三角形．
【分析】已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理求出csA的值，求出A的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，把a(bǔ)與sinA的值代入得到關(guān)于b與c的方程，與已知等式聯(lián)立求出b與c的值，再利用正弦定理求出sinB的值，即可確定出B的度數(shù)．
【解答】解：已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinAcsC+sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcsC+csAsinC，
由sinC≠0，整理得：csA=，即A=，
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccsA，即1=b2+c2﹣bc①，
與c﹣2b=1聯(lián)立，解得：c=，b=1，
由正弦定理=，得：sinB===，
∵b＜c，∴B＜C，
則B=．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．

7．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（a+b+c）（a﹣b﹣c）=﹣3bc．則A=（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．
【專題】解三角形．
【分析】已知等式整理得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出csA，把得出的關(guān)系式代入求出csA的值，即可確定出A的度數(shù)．
【解答】解：△ABC中，（a+b+c）（a﹣b﹣c）=﹣3bc，
整理得：a2﹣（b+c）2=a2﹣b2﹣2bc﹣c2=﹣3bc，即b2+c2﹣a2=bc，
∴csA==，
則A=，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．

8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2+a2=c2+ab，則內(nèi)角C=（ ）
A．B．C．D．或
【考點(diǎn)】余弦定理．
【專題】解三角形．
【分析】利用余弦定理表示出csC，把已知等式變形后代入計(jì)算求出csC的值，即可確定出C的度數(shù)．
【解答】解：∵在△ABC中，b2+a2=c2+ab，即b2+a2﹣c2=ab，
∴csC==，
則C=，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．

二．填空題（共2小題）
9．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，則= 1 ．
【考點(diǎn)】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．
【專題】計(jì)算題；解三角形．
【分析】利用余弦定理求出csC，csA，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴csC==，csA==
∴sinC=，sinA=，
∴==1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．

10．如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，則BD的長(zhǎng)為 ．
【考點(diǎn)】余弦定理．
【專題】解三角形．
【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)sin∠BAC，求出cs∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cs∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的長(zhǎng)．
【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，
∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cs∠BAD=，
在△ABD中，AB=3，AD=3，
根據(jù)余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cs∠BAD=18+9﹣24=3，
則BD=．
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，誘導(dǎo)公式，以及垂直的定義，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．

三．解答題（共4小題）
11．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
【考點(diǎn)】余弦定理；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦定理．
【專題】解三角形．
【分析】（1）利用余弦定理列出關(guān)系式，將b與csB的值代入，利用完全平方公式變形，求出acb的值，與a+c的值聯(lián)立即可求出a與c的值即可；
（2）先由csB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，進(jìn)而求出csA的值，所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．
【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，csB=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accsB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，
整理得：ac=9②，
聯(lián)立①②解得：a=c=3；
（2）∵csB=，B為三角形的內(nèi)角，
∴sinB==，
∵b=2，a=3，sinB=，
∴由正弦定理得：sinA===，
∵a=c，即A=C，∴A為銳角，
∴csA==，
則sin（A﹣B）=sinAcsB﹣csAsinB=×﹣×=．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．

12．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知csC+（csA﹣sinA）csB=0．
（1）求角B的大??；
（2）若a+c=1，求b的取值范圍．
【考點(diǎn)】余弦定理；兩角和與差的余弦函數(shù)．
【專題】解三角形．
【分析】（1）已知等式第一項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，整理后根據(jù)sinA不為0求出tanB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由余弦定理列出關(guān)系式，變形后將a+c及csB的值代入表示出b2，根據(jù)a的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出b2的范圍，即可求出b的范圍．
【解答】解：（1）由已知得：﹣cs（A+B）+csAcsB﹣sinAcsB=0，
即sinAsinB﹣sinAcsB=0，
∵sinA≠0，∴sinB﹣csB=0，即tanB=，
又B為三角形的內(nèi)角，
則B=；
（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，csB=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac?csB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，
∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，
則≤b＜1．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．

13．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且bc=2b2+2c2﹣2a2．
（1）求sinA的值；
（2）若a=1，sinB+sinC=，求b的值．
【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．
【專題】計(jì)算題；三角函數(shù)的求值；解三角形．
【分析】（1）利用余弦定理求出csA，再利用平方關(guān)系，求sinA的值；
（2）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理和兩角和的正弦公式及同角公式，即可求得sinB，再由正弦定理，即可得到b．
【解答】解：（1）∵bc=2b2+2c2﹣2a2，
∴bc=b2+c2﹣a2，
由余弦定理得csA===，
則sinA==．
（2）由A+B+C=π有C=π﹣（A+B），
于是由已知sinB+sinC=得sinB+sin（A+B）=，
即sinB+sinAcsB+csAsinB=，
將sinA=，csA=代入整理得sinB+csB=①，
根據(jù)sin2B+cs2B=1，可得csB=．
代入①中，整理得8sin2B﹣4sinB+5=0，
解得sinB=．
∴由正弦定理，
有b===．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查兩角和的正弦公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

14．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，2bsinA=a，BC邊上中線AM的長(zhǎng)為．
（Ⅰ）求角A和角B的大??；
（Ⅱ）求△ABC的面積．
【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．
【專題】解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出csA，將已知等式變形后代入求出csA的值，確定出角A的度數(shù)，將2bsinA=a利用正弦定理化簡(jiǎn)求出sinB的值，即可確定出角B的大小；
（Ⅱ）由A=B，利用等角對(duì)等邊得到AC=BC，設(shè)AC=BC=x，利用余弦定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AC與BC的長(zhǎng)，再由sinC的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．
【解答】解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc=0得：a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，
∴由余弦定理得：csA==，
∵A為三角形內(nèi)角，
∴A=，
由2bsinA=a，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2sinBsinA=sinA，即sinB=，
則B=；
（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=，
由余弦定理得AM2=x2+﹣2x??（﹣）=14，
解得：x=2，
則S△ABC=AC?BC?sinC=×2×2×=2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．

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