1. 函數(shù)的定義域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函數(shù)有意義，列出不等式求解即得.
【詳解】函數(shù)有意義，則，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故選：A
2. 已知冪函數(shù)，則（ ）
A. 8B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由冪函數(shù)定義得到參數(shù)的值，求出冪函數(shù)，求得的函數(shù)值.
【詳解】由冪函數(shù)的定義，知，解得，所以，.
故選：A.
3. “為三角形的一個內(nèi)角”是“為第一、二象限角”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】判斷“為三角形的一個內(nèi)角”和“為第一、二象限角”之間邏輯推理關(guān)系，即得答案.
【詳解】為三角形的一個內(nèi)角，當(dāng)時，不是第一、二象限角，
故“為三角形的一個內(nèi)角”推不出“為第一、二象限角”；
當(dāng)為第一、二象限角時，不妨取，不是三角形的一個內(nèi)角，
故“為第一、二象限角”推不出“為三角形的一個內(nèi)角”；
故“為三角形的一個內(nèi)角”是“為第一、二象限角”的既不充分又不必要條件，
故選：D
4. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)與大小關(guān)系比較即可
【詳解】依題意得，，
，
，所以，
故，
故選：B.
5. 下列是關(guān)于函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]的幾個命題：
①若x0∈[a，b]且滿足f(x0)＝0，則(x0,0)是f(x)的一個零點；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零點，則可用二分法求x0的近似值；
③函數(shù)f(x)的零點是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函數(shù)f(x)的零點；
④用二分法求方程的根時，得到的都是近似值.
那么以上敘述中，正確的個數(shù)為 ( )
A. 0B. 1C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【詳解】①、且滿足f()=0，則是f(x)的一個零點，而不是(,0)，所以①錯誤；
②、例如，不可以用二分法求零點，所以②錯誤；
③、方程f(x)=0的根一定是函數(shù)f(x)的零點，所以③錯誤；
④、用二分法求方程的根時，得到的根也可能是精確值，所以④也錯誤．
故選A.
點睛：函數(shù)零點的概念是個易錯點，函數(shù)零點是指滿足f()=0，則是f(x)的一個零點，不是指的點，指的是橫坐標(biāo)，且二分法不是所有零點都適用的，當(dāng)函數(shù)連續(xù)“穿過”x軸時才可以.
6. 函數(shù)的部分圖像如圖（粗實曲線），則（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)圖像知道定義域，從而求出參數(shù)的值，再代入點即可求出的值.
【詳解】由函數(shù)圖像可知，函數(shù)定義域，
即的解集為，也就是即的解為,
∴，∴，∴，
∵函數(shù)圖像經(jīng)過點，∴，∴.
故選：B.
7. 已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，求出和的解集，進(jìn)而即可得到答案.
【詳解】根據(jù)題意，為奇函數(shù)且，則，
又由在上單調(diào)遞增，
則在上，；在上，，
又由為奇函數(shù)，則在上，；在上，，
則的解集為，
的解集為，
或，
解得或，
故不等式的解集為.
故選：B.
8. 已知函數(shù)，且函數(shù)滿足，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A. 0B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其對稱性，以及函數(shù)圖像，根據(jù)圖像交點判斷函數(shù)零點個數(shù).
【詳解】由知，
令，則
所以有，即的圖像關(guān)于直線對稱.
當(dāng)時，；
當(dāng)時，
.
作出的圖像可知，當(dāng)時，有兩個零點.
故選：D.
【點睛】本題考查函數(shù)零點個數(shù)的求解，涉及數(shù)形結(jié)合，函數(shù)對稱性的判斷，屬綜合中檔題.
二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9. （多選）有下列式子，正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】通過作差，基本不等式等證明A，B，D正確，通過舉反例說明C錯誤即可．
【詳解】對于A， 故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”）；
當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時取“＝”），故B正確；
對于C，若，則，故C錯誤；
對于D，（當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取“＝”），故D正確．
故選：BD．
10. （多選）下列選項正確的是（ ）
A. 是第二象限角
B.
C. 經(jīng)過4小時，時針轉(zhuǎn)了
D. 若一扇形的弧長為2，圓心角為，則該扇形的面積為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)象限角的定義，以及角度與弧度的轉(zhuǎn)化關(guān)系，扇形面積公式，即可判斷選項.
【詳解】選項A，在第三象限，故A錯誤；
選項B，，故B正確；
選項C，時針按順時針方向轉(zhuǎn)，所以轉(zhuǎn)過的角是負(fù)角，每經(jīng)過1小時轉(zhuǎn)，所以經(jīng)過4小時，時針轉(zhuǎn)了，故C正確；
選項D，若一扇形的弧長為2，圓心角為，則該扇形的半徑，該扇形的面積，故D正確．
故選：BCD
11. 已知定義在上的函數(shù)滿足：，且當(dāng)時，，若，則（ ）
A.
B. 在上單調(diào)遞減
C. 不等式的解集是
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】令，判斷A；利用函數(shù)單調(diào)性定義可判斷出在上單調(diào)遞增，判斷B；利用題中條件變形不等式，利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式，解出即可判斷C；，求和判斷D.
【詳解】對于，令，得，即，正確；
對B，根據(jù)題意，，
對任意，則，
所以，即，
所以在上單調(diào)遞增，B錯誤；
對于，又，
所以原不等式等價于，
因為在上單調(diào)遞增，所以，解得正確.
根據(jù)，則，
，
，D錯誤.
故選：AC
【點睛】關(guān)鍵點點睛：選項B，，根據(jù)單調(diào)性定義判斷.
三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分.）
12. 在0到范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是_____________（用弧度制表示）.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)終邊相同的角的表示方法得解.
【詳解】與角終邊相同的角為（）
當(dāng)時，得.
故答案為：
13. 把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，后物體的溫度可由公式求得.把溫度是的物體，放在的空氣中冷卻后，物體的溫度是，那么的值約等于_________.（保留兩位有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：取.）
【答案】
【解析】
【分析】理解題中定義的公式，代入相關(guān)數(shù)值，即可計算出的值.
【詳解】根據(jù)條件，令，，，
所以，所以，
所以，所以，所以.
故答案為：.
【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)模型的簡單應(yīng)用與對數(shù)計算，難度一般.解答本題的關(guān)鍵是理解定義的公式，將指數(shù)化為對數(shù)完成計算.
14. 已知，當(dāng)______________.時，取得最小值.
【答案】
【解析】
【分析】由可得，原式化為，展開后利用基本不等式求最值，根據(jù)等號成立的條件求解即可.
【詳解】，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立，
又，
可得，
，
，
，故答案為.
【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.
四、解答題（本題共5個小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 計算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合指數(shù)運算性質(zhì)化簡；
（2）結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)化簡.
【小問1詳解】
；
【小問2詳解】
.
16. 已知集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求a的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得集合B，結(jié)合集合間的運算求解；
（2）分析可知，分和兩種情況，結(jié)合包含關(guān)系運算求解.
【小問1詳解】
因為，則或，
若，則，
所以，.
【小問2詳解】
若，可知，
當(dāng)時，則，解得；
當(dāng)時，則，解得；
所以a的取值范圍.
17. 已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集為.
（1）求b，c的值；
（2）若為非負(fù)實數(shù)，解關(guān)于的不等式.
【答案】（1），
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解以及根與系數(shù)關(guān)系求得.
（2）對進(jìn)行分類討論，由此求得不等式的解集.
【小問1詳解】
因為不等式的解集為，
所以和是方程兩個根.
根據(jù)韋達(dá)定理，可得，.
解得，
【小問2詳解】
由（1）知，，則不等式為，即.
當(dāng)時，不等式化為，解得.
當(dāng)時，，不等式的解為.
當(dāng)時，不等式化為，即，此時不等式無解.
當(dāng)時，，不等式的解為.
綜上所得，當(dāng)時，解集為；
當(dāng)時，解集為；
當(dāng)時，解集為空集；
當(dāng)時，解集為.
18. 已知函數(shù)．
（1）證明：函數(shù)是奇函數(shù)；
（2）用定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；
（3）若關(guān)于的不等式對于任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，即可可證；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可得證；
（3）根據(jù)題意，得到函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為對于任意實數(shù)恒成立，分和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解．
【小問1詳解】
由函數(shù)，可得其定義域為，關(guān)于原點對稱，
又由，
所以函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)．
【小問2詳解】
當(dāng)時，，
任取，且，
可得
因為，且，可得，
所以，即，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)．
小問3詳解】
因為函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上也是增函數(shù)，
又因為，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
又由，可得，
因為不等式對于任意實數(shù)恒成立，
即不等式對于任意實數(shù)恒成立，
可得不等式對于任意實數(shù)恒成立，
即不等式對于任意實數(shù)恒成立，
當(dāng)時，不等式即為恒成立，符合題意；
當(dāng)時，則滿足，解得，
綜上可得，，即實數(shù)的取值范圍．
19. 已知函數(shù)，.
（1）若，求函數(shù)在的值域；
（2）若，求證.求的值；
（3）令，則，已知函數(shù)在區(qū)間有零點，求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】（1）
（2）證明見解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）化簡可得，利用二次函數(shù)單調(diào)性，即得解；
（2）由已知可得的解析式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的運算即可求證，利用倒序相加即可求值；
（3）由已知可得，令，函數(shù)等價為在上有零點，參變分離即得解
【小問1詳解】
解：若
，
當(dāng)上函數(shù)為增函數(shù)，
則函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為，則函數(shù)的值域為.
小問2詳解】
解：若，則，
則，
設(shè)
則
兩式相加得，即，則
故.
【小問3詳解】
，
設(shè)，當(dāng)，則，
則函數(shù)等價為，
若函數(shù)在區(qū)間有零點，
則等價為在上有零點，
即在上有解，
即在上有解，
即，
設(shè)，則，則，
則在上遞增，
則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴，即，
即實數(shù)k的取值范圍是.

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