考試說明：1.考試時間120分鐘 2.試題總分150分 3.試卷頁數(shù)2頁
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題即可得到答案.
【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，且范圍不變，結(jié)論相反，
則命題“，”的否定是“，”.
故選：C.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】直接解出集合，再根據(jù)并集含義即可得解.
【詳解】，，
則.
故選：B.
3. 下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對于A，函數(shù)，定義域為，，是偶函數(shù)；
對于B，函數(shù)定義域為，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為非奇非偶函數(shù)；
對于C，函數(shù)，定義域為，
，是奇函數(shù)；
對于D，函數(shù)，定義域為，，
且，所以為非奇非偶函數(shù).
故選：C.
4. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
【詳解】依題意，，，，
所以.
故選：A
5. 設(shè)是實數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)、充分和必要條件等知識確定正確答案.
【詳解】一方面，若，則當(dāng)時，不成立；
另一方面，若，則當(dāng)時，不成立.
故選：D
6. 已知，則等于（ ）
A. 4B. 6C. 9D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件，以及指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可求出，，由換底公式可得，從而計算的值.
【詳解】因為，所以，， 所以，
所以 .
故選：D.
7. 函數(shù)滿足對且，都有，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，建立不等式組，解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】∵對且，都有，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，
∴，∴，即.
故選：C
8. 若是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，且不等式對于一切恒成立，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得在上單調(diào)遞增，對于一切恒成立，可轉(zhuǎn)化為對于一切恒成立，設(shè)，，，，求與即可.
【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
因為不等式對于一切恒成立，
所以對于一切恒成立，
所以對于一切恒成立，
即對于一切恒成立，
設(shè)，，，，
則，
因為，在上單調(diào)遞增，
所以，
因為，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以.
故選：B.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.
9. 下列函數(shù)中，值域是的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)求出各選項中函數(shù)的值域，可得出合適的選項.
【詳解】A選項：，定義域為，值域為，A選錯誤；
B選項：定義域為，
因為，所以函數(shù)的值域為，B選項正確；
C選項：，因為，則，
所以，則值域，C選項錯誤；
D選項：，因為，則，定義域為，
所以函數(shù)的值域為，D選項正確.
故選：BD
10. 已知正數(shù)a，b滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
分析】利用乘“1”法即可判斷AB，利用基本不等式即可判斷C，構(gòu)造二次函數(shù)結(jié)合C選項范圍即可判斷D.
【詳解】對A，由題意得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故A錯誤，
對B，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故B正確；
對C，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故C正確；
對D，，所以，
所以，因為，
所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 為奇函數(shù)
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 集合的元素個數(shù)為2個
D. 集合的元素個數(shù)為4
【答案】ABD
【解析】
分析】利用奇函數(shù)定義判斷A；分段確定單調(diào)性判斷B；求出方程根判斷CD.
【詳解】對于A，由，得，即的定義域為關(guān)于原點(diǎn)對稱，
又，故為奇函數(shù)，A正確；
對于B，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
因此在上單調(diào)遞減，B正確；
對于C，由，得或，解得，C錯誤；
對于D，由，得，，，
即關(guān)于的方程有兩個不等的正根，因此方程有4個根，D正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 計算：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算可得.
【詳解】
.
故答案為：
13. 若，，則______.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式即得.
【詳解】由，得，由，得，
而，則，整理得，
即，所以.
故答案為：
14. 已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)的最大值是______.
【答案】12
【解析】
【分析】由解析式作出函數(shù)圖象，分類討論與，結(jié)合圖象分析題設(shè)不等式的解集中整數(shù)的個數(shù)情況，進(jìn)而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】函數(shù)的函數(shù)圖象如下：
因為，則，
當(dāng)時，則，
若時，此時不等式無整數(shù)解，
當(dāng)時，由對稱性可知，不等式至少有2個整數(shù)解；
當(dāng)時，則，
令，則，則，要想不等式恰有1個整數(shù)解，
則是不等式的解，不是不等式的解，
由函數(shù)圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即，即，
所以實數(shù)的最大值是12.
故答案為：12.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，求出集合，再求出集合在上的補(bǔ)集，再求即可；
（2）由題意得，分和兩種情況討論即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，.
，，
.
【小問2詳解】
，
.
當(dāng)時，符合題意，此時有，解得；
當(dāng)時，要使，只需，解得.
綜上，.
故實數(shù)的取值范圍為.
16. 已知冪函數(shù).
（1）求的值；
（2）若為偶函數(shù)，求的解析式；
（3）在（2）的條件下，若在上最大值為0，求實數(shù)的值.
【答案】（1）或3
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義建立方程，解方程，驗證即可；
（2）由（1），結(jié)合奇偶函數(shù)的定義即可求解；
（3）由（2）可得，再代入端點(diǎn)值求出值，驗證即可.
【小問1詳解】
因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，
解得或3.
當(dāng)時，，符合題意，
當(dāng)時，，符合題意，
所以或3；
【小問2詳解】
由（1）知，當(dāng)時，，則，為奇函數(shù)；
當(dāng)時，，則，為偶函數(shù)，
所以的解析式為；
【小問3詳解】
由（2）知，，則，，
因為函數(shù)開口向上，所以其最大值在端點(diǎn)取得，
當(dāng)，解得，此時，，故舍去；
當(dāng)，解得，此時，此時，符合題意，
綜上所述，.
17. 實行垃圾分類、保護(hù)生態(tài)環(huán)境人人有責(zé).某企業(yè)新建了一座垃圾回收利用工廠，于今年年初用98萬元購進(jìn)一臺垃圾回收分類生產(chǎn)設(shè)備，并立即投入生產(chǎn)使用.該設(shè)備使用后，每年的總收入為50萬元.若該設(shè)備
使用年，則其所需維修保養(yǎng)費(fèi)用年來的總和為萬元，設(shè)該設(shè)備產(chǎn)生的盈利總額（純利潤）為萬元.
（1）寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；并求該設(shè)備使用幾年后，其盈利總額開始達(dá)到52萬元以上；
（2）該設(shè)備使用幾年后，其年平均盈利額達(dá)到最大？最大值是多少？（年平均盈利額）
【答案】（1），5年；
（2）年，最大值為萬元.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，再解不等式即可得解；
（2）求出平均盈利額的表達(dá)式，再利用基本不等式來求得最大值以及此時對應(yīng)的的值.
【小問1詳解】
依題意，
由，得，解得，
所以使用年后，盈利總額開始達(dá)到萬元以上.
【小問2詳解】
由（1）平均盈利額為，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，
所以使用年后，其年平均盈利額達(dá)到最大，最大值為萬元.
18. 已知函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求的值；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）設(shè)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）單調(diào)遞減，證明見解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由奇函數(shù)的定義列式計算，并驗證即得.
（2）利用單調(diào)性定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性推理得證.
（3）把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的最大值不大于在上的最大值求解.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為R，由是奇函數(shù)，得，
解得，，，函數(shù)是奇函數(shù)，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，在上的單調(diào)遞減，
，則，，于是，
，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減.
【小問3詳解】
對任意的，總存在，使得成立，
則函數(shù)在上的最大值不大于在上的最大值，
當(dāng)時，由（2）知函數(shù)在上的單調(diào)遞減，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，恒成立，符合題意，因此；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，
由，解得，因此；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，
顯然恒成立，因此，
所以實數(shù)的取值范圍是.
19. 已知函數(shù)滿足：且.
（1）求的解析式；
（2）已知的定義域為.
（i）求的定義域；
（ii）若方程有唯一實根，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）利用換元法以及，即可求解的解析式；
（2）（?。┙獠坏仁?，即可得出的定義域；
（ⅱ）結(jié)合函數(shù)的解析式將方程化為，利用換元法得出，討論的值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出實數(shù)的取值范圍.
小問1詳解】
令，則，所以，
因為，所以，
所以；
【小問2詳解】
（?。┮驗榈亩x域為，
所以，解得， 所以，
所以定義域為.
（ⅱ）（2）因為的定義域為，，解得，的定義域為.
，即在恒成立，
在單調(diào)遞減，當(dāng)時，最大值為1，.
又，，
化簡得，
令，則在有唯一實數(shù)根，
令，
當(dāng)時，令，得，即，得符合題意，所以；
當(dāng)時，，所以只需，解得，因為，所以此時無解；
綜上，實數(shù)k的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了利用換元法求函數(shù)解析式以及根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的范圍，已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

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