1、答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)，座位號(hào)在答題卡上填
寫(xiě)清楚.
2、每小題選出答案后，用 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡
皮擦干凈后， 再選涂其他答案標(biāo)號(hào). 在試題卷上作答無(wú)效.
3、考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回. 滿分 150 分，考試用時(shí) 120 分鐘.
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，
只有一項(xiàng)是 符合題目要求的)
1. 已知集合 ，則 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，可求出 ，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解．
【詳解】由題意， ，故 ；
又因?yàn)榧?，
所以 .
故選：C.
2. 若 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式求解即可.
【詳解】由 ，得 .
故選：A
3. 已知向量 在向量 方向上的投影向量為 ，且 ，則 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的定義列方程求結(jié)果.
【詳解】依題意， ，
所以 .
故選：B
4. 直線 與圓 相交于 兩點(diǎn)，當(dāng) 面積最大時(shí) 的
值為（ ）
A. B. 2 C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式可以求出 的面積是關(guān)于 的一個(gè)式子，利用基本不等
式即可求出答案.
【詳解】圓心 到直線 的距離 ，
則弦長(zhǎng) 為 ，
，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)， 面積取得最大值.
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故選：B.
5. 在孟德?tīng)柾愣乖囼?yàn)中，子二代的基因型為 其中 為顯性基因， 為隱性基因，生
物學(xué)中將 和 統(tǒng)一記為 )，且這三種基因型的比為 . 如果在子二代中任意選取 2
株豌豆進(jìn)行雜交試驗(yàn)，那么子三代中基因?yàn)?的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】記事件 子三代中基因型為 ，記事件 選擇的是 、 ，記事件 選擇的是 、
，記事件 選擇的是 、 ，利用全概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】記事件 子三代中基因型為 ，記事件 選擇的是 、 ，記事件 選擇的是 、
，記事件 選擇的是 、 ，
則 ， ， .
在子二代中任取 顆豌豆作為父本母本雜交，分以下三種情況討論：
①若選擇的是 、 ，則子三代中基因型為 的概率為 ；
②若選擇的是 、 ，則子三代中基因型為 的概率為 ；
③若選擇的是 、 ，則子三代中基因型為 的概率為 .
綜上所述，
.
因此，子三代中基因型為是 的概率是 .
故選：D.
6. 已知高為 4 的圓臺(tái)存在內(nèi)切球，其下底半徑為上底半徑的 4 倍，則該圓臺(tái)的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助圓臺(tái)軸截面及內(nèi)切圓的性質(zhì)，求出圓臺(tái)的兩底半徑及母線長(zhǎng)，進(jìn)而求得表面積.
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【詳解】依題意，圓臺(tái)的軸截面截其內(nèi)切球得球的大圓，且該大圓是圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓，
等腰梯形 圓臺(tái)軸截面，其內(nèi)切圓 與梯形 切于點(diǎn) ，
其中 分別為上、下底面圓心，如圖，
設(shè)圓臺(tái)上底半徑為 ，則下底半徑為 ， ，
而等腰梯形 的高 ，因此 ，解得 ，
所以該圓臺(tái)的表面積為 .
故選：D
7. 已知拋物線 的焦點(diǎn)為 為拋物線上的兩點(diǎn)，滿足 ，線段 的中
點(diǎn)為 到拋物線 的準(zhǔn)線的距離為 ，則 的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用中位線定理和余弦定理的應(yīng)用可得 ，結(jié)合基本不等式計(jì)算
即可求解.
【詳解】設(shè) ，過(guò)點(diǎn) A，B 分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為 ，
則 ，如圖，
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因?yàn)辄c(diǎn) M 為線段 的中點(diǎn)，所以點(diǎn) M 到拋物線 C 的準(zhǔn)線的距離為 ，
在 中，因?yàn)?， ，
所以 ，
又 ，所以 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立），
所以 ，
即 的最大值為 ．
故選：C．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決本題的思路是利用余弦定理的應(yīng)用得出 ，結(jié)合
分析即可求解.
8. 已知對(duì)任意的正數(shù) ，不等式 恒成立，則正數(shù) 的最大值為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式兩邊同構(gòu)函數(shù)，設(shè) ，從而轉(zhuǎn)化問(wèn)題為 恒成立，進(jìn)
而結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù) 的單調(diào)性得到 對(duì) 恒成立，進(jìn)而得到 對(duì) 恒
成立，即 ，再構(gòu)造函數(shù) ， ，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可.
【詳解】由 對(duì) 恒成立，且 ，
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即 恒成立，
即 恒成立，
設(shè) ，則 ，
因?yàn)?，即 ，
即函數(shù) 上單調(diào)遞增，
則由 恒成立，
可以轉(zhuǎn)化為 恒成立，
即 對(duì) 恒成立，
即 對(duì) 恒成立，即 .
設(shè) ， ，則 ，
令 ，即 ；令 ，即 ，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
所以 ，即 ，
又 ，所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 .
故選： .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是觀察原不等式的特點(diǎn)，利用同構(gòu)函數(shù)思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為
恒成立，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共 3 個(gè)小題，每小題 6 分，共 18 分，在每個(gè)給出的四個(gè)選項(xiàng)中，
有多項(xiàng)符 合題目要求， 全部選對(duì)的得 6 分， 部分選對(duì)的得部分分， 有選錯(cuò)的得 0 分)
9. 復(fù)數(shù) 滿足 ，則（ ）
A. B. 為純虛數(shù)
C. D.
【答案】ACD
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【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】設(shè) ，其中 .
根據(jù) 列出方程： 根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，對(duì)于復(fù)數(shù) ，
其模 ，已知 ，則 ，兩邊同時(shí)平方可得 ①.
根據(jù) 列出方程： 先計(jì)算 ，
再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式可得 ，
已知 ，則 ，兩邊同時(shí)平方可得 ，
即 ②.
將①代入②可得： ，化簡(jiǎn)可得 ，解得 .
把 代入①可得： ，即 ， ，
解得 .所以 .
選項(xiàng) A： 根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)，對(duì)于復(fù)數(shù) ， ，已知 ，所以 ，正確.
選項(xiàng) B： 純虛數(shù)是指實(shí)部為 ，虛部不為 的復(fù)數(shù)，而 的實(shí)部 ，所以 不是純虛
數(shù)，錯(cuò)誤.
選項(xiàng) C： 當(dāng) 時(shí)， ，則 ；
當(dāng) 時(shí)， ，則 ，正確.
選項(xiàng) D： 當(dāng) 時(shí)， ，則 ；
當(dāng) 時(shí)， ，則 .
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所以 ，正確.
故選：ACD
10. 定義在 上的函數(shù) 滿足 ，且 的圖象關(guān)于 對(duì)稱，
設(shè) ，則（ ）
A. 為奇函數(shù)
B. 為偶函數(shù)
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由函數(shù)圖象變換可得對(duì)稱性，進(jìn)而可得周期性，可得答案.
【詳解】對(duì)于 A，函數(shù) 的圖象可由函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位得到，
直線 向右平移 個(gè)單位可得直線 ，
因?yàn)楹瘮?shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，
所以函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 ，即 軸對(duì)稱，函數(shù) 為偶函數(shù)，故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 BC，由 A 可知 ，由 ，
則 ，所以函數(shù) 的圖象關(guān)于 成中心對(duì)稱，
由 ，
則函數(shù) 的圖象可由函數(shù) 向左平移 個(gè)單位，再向下平移 個(gè)單位得到，
由點(diǎn) 與 軸向左平移 個(gè)單位，再向下平移 個(gè)單位得到點(diǎn) 與直線 ，
則點(diǎn) 與直線 分別是函數(shù) 圖象的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸，
易知函數(shù) 圖象的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸分別是點(diǎn) 與直線 ， ，
當(dāng) 時(shí)，直線 是函數(shù) 圖象的對(duì)稱軸，函數(shù) 是偶函數(shù)，故 B 正確，
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當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) 是函數(shù) 圖象的對(duì)稱中心，故 C 正確，
對(duì)于 D，由 ，則 ，
易知函數(shù) 的最小正周期 ，
則 ，易得 ， ， ， ，
所以 ，故 D 正確.
故選：BCD.
11. 數(shù)列 滿足 ，且 ，數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，從 的
前 項(xiàng)中任取兩項(xiàng)，它們之和為奇數(shù)的概率為 ，數(shù)列 的前 項(xiàng)積為 ，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可判斷 A，B；根據(jù)組合數(shù)以及概率的計(jì)算公式，即
可判斷 C；理解數(shù)列的前 n 項(xiàng)積的概念，并通過(guò)運(yùn)算即可判斷 D．
【詳解】對(duì)于 A ，當(dāng) 時(shí)， ，即 ，
又因?yàn)?br>的偶數(shù)項(xiàng)所成的數(shù)列是以首項(xiàng)為 4，公差為 2 的等差數(shù)列，
，故 A 正確；
對(duì)于 B，
，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，由選項(xiàng) A 得 的奇數(shù)項(xiàng)所成的數(shù)列是以首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列，
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偶數(shù)項(xiàng)所成 數(shù)列是以首項(xiàng)為 4，公差為 2 的等差數(shù)列，
，故 C 錯(cuò)誤；
當(dāng) 時(shí)，
，
又 ,
所以 ，故 D 正確.
故選：AD．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用數(shù)列的遞推關(guān)系得出 的偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)均為等差數(shù)列，根據(jù)組合數(shù)以及概率
的計(jì)算公式表達(dá)出 是解題關(guān)鍵.
三、填空題(本大題共 3 小題， 每小題 5 分， 共 15 分)
12. 在 的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為_(kāi)____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求結(jié)果.
【詳解】 的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 ,
所以系數(shù)為 ，其中 ，
當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)， 為負(fù)數(shù)，系數(shù)不是最大，
，
所以系數(shù)最大的項(xiàng)為
故答案為：
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13. 已知橢圓 的離心率為 ，其左、右焦點(diǎn)分別為 ，上頂點(diǎn)為 ，且
內(nèi)切圓的半徑為 ，則橢圓 的方程為_(kāi)____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得 ，從而求得橢圓 的方程.
【詳解】橢圓的離心率 ①
內(nèi)切圓的半徑 ，
則 ，
即 ②，
根據(jù)橢圓的知識(shí)有 ③，
由①②③解得 ，
所以橢圓 的方程為 .
故答案為：
14. 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，且對(duì)任意實(shí)數(shù) 在
第 11頁(yè)/共 23頁(yè)
上存在零點(diǎn)，則 的取值范圍為_(kāi)____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)、極值點(diǎn)的定義列不等式求參數(shù)范圍.
【詳解】由題意，當(dāng) 時(shí)， ，
因?yàn)楹瘮?shù) ，若 在 上有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則 ，解得 ．
又對(duì)任意實(shí)數(shù) ， 在 上存在零點(diǎn)，且 的長(zhǎng)度為 ，
而函數(shù) 的最小正周期為 ，則 ，解得 ，
綜上， 的取值范圍是 .
故答案為： .
四、解答題(共 77 分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)
15. 已知 的內(nèi)角 所對(duì)的邊分別為 ，面積為 ，且滿足
（1）求角 的大?。?br>（2）若 ，求 的周長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理與輔助角公式，可得答案；
（2）由正切的和角公式，利用直角三角形的性質(zhì)，可得答案.
第 12頁(yè)/共 23頁(yè)
【小問(wèn) 1 詳解】
由 ，則 ，
由余弦定理可得 ，
則 ，解得 或 （舍去），所以 .
【小問(wèn) 2 詳解】
由 ，則 ，
整理可得 ，則 ，
由 ，解得 ，則 ，
由 ，則 ，
由正弦定理可得 ，則 ， ，
所以 的周長(zhǎng) .
16. 如圖所示，在正三棱柱 中， .
（1）證明: ;
（2）點(diǎn) 在棱 上且滿足 ，求平面 和平面 所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
第 13頁(yè)/共 23頁(yè)
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理，可得答案；
（2）由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，根據(jù)公式，可得答案.
【小問(wèn) 1 詳解】
分別取 的中點(diǎn)分別為 ，連接 ，如下圖：
在正三棱柱 中，易知 平面 ， 為等邊三角形，
因?yàn)?平面 ，所以 ，
在正 中，由 為 的中點(diǎn)，則 ，
因 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得 平面 ，
因?yàn)?平面 ，所以 ，
因?yàn)?， ， 平面 ，所以 平面 ，
因?yàn)?平面 ，所以 ，
在三棱柱 中，易知四邊形 四邊形 ，則 ，
因?yàn)?平面 ， 平面 ，所以 ，
因?yàn)?， 平面 ，所以 平面 ，
因?yàn)?平面 ，所以 .
【小問(wèn) 2 詳解】
第 14頁(yè)/共 23頁(yè)
取 的中點(diǎn)為 ，連接 ，易知 兩兩垂直，
以 為原點(diǎn)，分別以 所在直線為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：
設(shè)底面正 的邊長(zhǎng)為 ，則 ， ，
因?yàn)?，所以 ，
在矩形 中， ，則 ，
由圖可得 ，解得 ，
則 ，
取 ， ， ， ，
設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，
令 ，則 ，所以平面 的一個(gè)法向量為 ；
設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，
令 ，則 ，所以平面 的一個(gè)法向量為 .
設(shè)平面 與平面 所成銳二面角的平面角為 ，
第 15頁(yè)/共 23頁(yè)
則 .
17. 甲、乙兩名同學(xué)參加科技周活動(dòng)，該活動(dòng)需要依次參加 兩個(gè)闖關(guān)環(huán)節(jié)，闖關(guān)規(guī)則如下:① ， 兩
個(gè)環(huán)節(jié)共有 3 次闖關(guān)機(jī)會(huì)，為了累計(jì)獎(jiǎng)金最高，甲、乙兩人都將 3 次機(jī)會(huì)全部用完；某同學(xué)參加 環(huán)節(jié)(或
環(huán)節(jié))闖關(guān)，無(wú)論闖關(guān)結(jié)果是成功還是失敗都視為已使用了一次闖關(guān)機(jī)會(huì).
②若 環(huán)節(jié)闖關(guān)成功即進(jìn)入 環(huán)節(jié)；若 環(huán)節(jié)闖關(guān)失敗，那么繼續(xù)重復(fù) 環(huán)節(jié)，直到 3 次機(jī)會(huì)用完；若進(jìn)
入 環(huán)節(jié)后，無(wú)論闖關(guān)成功還是失敗，一直都重復(fù) 環(huán)節(jié)，直到 3 次機(jī)會(huì)全部用完.
③參加 環(huán)節(jié)，闖關(guān)成功可以獲得獎(jiǎng)金 100 元；參加 環(huán)節(jié)，每次闖關(guān)成功可以獲得獎(jiǎng)金 200 元；不管參
加哪一個(gè)環(huán)節(jié)，闖關(guān)失敗均無(wú)獎(jiǎng)金.
已知甲同學(xué)參加每一個(gè)環(huán)節(jié)闖關(guān)成功的概率都是 ;乙同學(xué)參加 環(huán)節(jié)闖關(guān)成功的概率是 ，參加 環(huán)節(jié)闖
關(guān)成功的概率是 .甲、乙同學(xué)每次參加各個(gè)環(huán)節(jié)闖關(guān)是否成功是相互獨(dú)立的.
（1）已知甲同學(xué) 環(huán)節(jié)闖關(guān)成功(多次闖關(guān)中只要有一次成功即視為闖關(guān)成功)，求他參加了兩次 環(huán)節(jié)闖
關(guān)的概率;
（2）活動(dòng)結(jié)束時(shí)乙同學(xué)獲得的獎(jiǎng)金為 元，求 的分布列和期望.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用列舉法，列舉出符合題意的情況，根據(jù)概率的加法公式以及乘法公式，可得答案；
（2）由題意寫(xiě)出隨機(jī)變量的可能取值，利用概率的計(jì)算公式求得分布列，結(jié)合期望的公式，可得答案.
【小問(wèn) 1 詳解】
由題意可得甲同學(xué)闖關(guān)中符合題意的情況為：
①第一次機(jī)會(huì)， 環(huán)節(jié)闖關(guān)成功；第二次機(jī)會(huì)， 環(huán)節(jié)闖關(guān)成功；第三次機(jī)會(huì)， 環(huán)節(jié)闖關(guān)成功.
②第一次機(jī)會(huì)， 環(huán)節(jié)闖關(guān)成功；第二次機(jī)會(huì)， 環(huán)節(jié)闖關(guān)失??；第三次機(jī)會(huì)， 環(huán)節(jié)闖關(guān)成功.
③第一次機(jī)會(huì)， 環(huán)節(jié)闖關(guān)成功；第二次機(jī)會(huì)， 環(huán)節(jié)闖關(guān)成功；第三次機(jī)會(huì)， 環(huán)節(jié)闖關(guān)失敗.
所以符合題意的概率
【小問(wèn) 2 詳解】
第 16頁(yè)/共 23頁(yè)
由題意可知 的可能取值有 ，
則 ， ，
， ，
所以隨機(jī)變量 的分布列為
則 .
18. 已知函數(shù) .
（1）當(dāng) 時(shí)，求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程；
（2）討論 的單調(diào)性；
（3）若函數(shù) 在 上的最大值為 0，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
【答案】（1） ；
（2）答案見(jiàn)解析； （3）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)得 ，則得到切線斜率，再寫(xiě)出切線方程即可；
（2）求導(dǎo)得 ，再分 ， 和 討論即可；
（3）分 ， 和 討論即可.
【小問(wèn) 1 詳解】
當(dāng) 時(shí)， ，
， ，
所以 在點(diǎn) 處的切線方程為 ，即 ．
第 17頁(yè)/共 23頁(yè)
【小問(wèn) 2 詳解】
由題意得 的定義域?yàn)?，
，
①當(dāng) 時(shí)， ，
所以 上單調(diào)遞增．
②當(dāng) 時(shí)， ，
由 ，解得 ，
不妨設(shè) ，則由韋達(dá)定理有 ，
又 ，
，即 ，
故 在 上單調(diào)遞減，
在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減．
③當(dāng) 時(shí)， ，
可得 ，所以 在 上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，
在當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，
第 18頁(yè)/共 23頁(yè)
在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減；
當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減．
【小問(wèn) 3 詳解】
①當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增， ，矛盾；
②當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，
所以當(dāng) 時(shí)， ，矛盾；
③當(dāng) 時(shí)，所以 在 上單調(diào)遞減， ，符合題意，
綜上：所求實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是求導(dǎo)并因式分解得 ，再合
理分類討論即可.
19. 已知雙曲線 的離心率為 ，其虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)與右頂點(diǎn)所構(gòu)成的三
角形的面積為 2 .
（1）求雙曲線 的方程；
（2）設(shè) ，若點(diǎn) 在雙曲線 上， 在點(diǎn) 處的切線
與兩條漸近線分別交于 兩點(diǎn)， 是坐標(biāo)原點(diǎn)，且 .
（i）證明數(shù)列 是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式 ;
（ii）設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 .求證:
對(duì) .
(其中 表示不超過(guò) 的最大整數(shù)，例如 )
第 19頁(yè)/共 23頁(yè)
【答案】（1）
（2）（i）證明見(jiàn)解析； ；（ii）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）由題可得 ，然后由虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)與右頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積為 2 可得答案；
（2）（i）由（1）可得 ， ，然后由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得切線斜率，即可得切線方程，
與漸近線方程聯(lián)立后可得 坐標(biāo)，最后結(jié)合 可完成證明，并得到通項(xiàng)公式；
（ii）由 ，可證明 ；由題可得
，然后構(gòu)造函數(shù)證明
即可證明 .
【小問(wèn) 1 詳解】
由題可得 ，又 ，
則 ，又其虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)與右頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積為 2，
則 ，則 ，故雙曲線方程為： ；
【小問(wèn) 2 詳解】
（i）因 在雙曲線上，
則 .
因 ，則 在第一象限，
第 20頁(yè)/共 23頁(yè)
則此時(shí)點(diǎn) P 滿足方程： ，
則 ，故點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)切線斜率為：
.
則切線方程為： .
與漸近線 聯(lián)立，可得 ，同理可得 .
則 ，
又 ，
則 ，
又 ，則 ，
故數(shù)列 是以 1 為首項(xiàng)，公差為 1 的等差數(shù)列，則 ；
（ii）由（1）可得 ，則 .
則 ，
注意到
，
又 ，則 ；
第 21頁(yè)/共 23頁(yè)
另一方面， .
注意到 時(shí)， ，則 .
則
，又 ，
則 .
下面證明： ，
注意到 ，
則要證 ，即證 ，
注意到 ，
則證明 .
令 ，因 ，則 ，則對(duì)于函數(shù) .
有 ，
令 ，則 ，
則 ，
故 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
又注意到 ，則當(dāng) 時(shí)， .
第 22頁(yè)/共 23頁(yè)
則 .
最后由不等式同向可加性可得：
又注意到 ，則 ，
則 .
則
.
綜上可知， .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于圓錐曲線的切線，可利用導(dǎo)數(shù)，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算；對(duì)于數(shù)列不等式，多利用放縮法，
或?qū)⑿枳C不等式兩邊化為代數(shù)式相加的形式，再利用作差法，構(gòu)造函數(shù)，數(shù)學(xué)歸納法證明多項(xiàng)式的大小關(guān)
系.
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