本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè)，滿分150分
注意事項(xiàng):
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卷上相應(yīng)位置.
2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填涂在試卷上無(wú)效.
3.非選擇題答案請(qǐng)使用黑色簽字筆填寫在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填寫在試卷上無(wú)效
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題（共40分）
1. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可得，利用集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)榧?，，且，則，
所以，.
故選：D.
2. 下列各圖中，一定不是函數(shù)圖象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)定義中與的對(duì)應(yīng)關(guān)系只能是一對(duì)一或多對(duì)一，不能一對(duì)多，由此可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，存在同時(shí)對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值，A選項(xiàng)中的圖象不是函數(shù)圖象；
對(duì)于B選項(xiàng)，由圖象可知，每個(gè)有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，B選項(xiàng)中的圖象是函數(shù)圖象；
對(duì)于C選項(xiàng)，由圖象可知，每個(gè)有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，C選項(xiàng)中的圖象是函數(shù)圖象；
對(duì)于D選項(xiàng)，由圖象可知，每個(gè)有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，D選項(xiàng)中的圖象是函數(shù)圖象.
故選：A.
3. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，命題“”，命題：“”，則命題是命題的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先寫出的表達(dá)式，由來(lái)判斷充分性，再由來(lái)對(duì)進(jìn)行縮小即可判斷必要性，從而得到正確答案.
【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得，
即，又.
當(dāng)時(shí)，令，則滿足，而不滿足，故充分性不成立；
當(dāng)，即時(shí)，，則滿足，故必要性成立.
綜上所述，命題是命題的必要不充分條件.
故選：C.
4. 已知，若，則的值為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算出，再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.
詳解】解：
，
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
5. 已知，，，則、、的大小順序正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把各個(gè)數(shù)都轉(zhuǎn)化為的形式，結(jié)合冪函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，且，所以.
故選：D.
6. 已知命題p：若，則；命題q：若，則．則下列是真命題的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】舉出反例得到命題p為假命題，再推導(dǎo)出命題q為真命題，從而得到答案.
【詳解】不妨設(shè)，滿足，但此時(shí)無(wú)意義，故命題p為假命題，
當(dāng)時(shí)，，故命題q為真命題，
故為假命題，為假命題，故為假命題，為真命題，為假命題.
故選：C
7. 某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長(zhǎng)率為，第二年的增長(zhǎng)率為，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】試題分析：設(shè)這兩年年平均增長(zhǎng)率為，因此解得．
考點(diǎn)：函數(shù)模型的應(yīng)用．
8. 已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是和3，函數(shù)，則函數(shù)在上的值域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得到，得到，得到其單調(diào)性，從而得到值域.
【詳解】由題意得，解得，
故，
由于與在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，
故，，
故在上的值域?yàn)?
故選：B
二、多選題（共18分）
9. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則（ ）
A. 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B. 在上單調(diào)遞增
C. 恰有2個(gè)極大值點(diǎn)D. 恰有1個(gè)極小值點(diǎn)
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷A，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷BCD.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，A正確；
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，則在上單調(diào)遞增，B正確；
顯然，令，得，分別作出，在區(qū)間上圖象，
由圖可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間上共有4個(gè)公共點(diǎn)，且兩圖象在這些公共點(diǎn)上都不相切，故在區(qū)間上有2個(gè)極大值點(diǎn)和2個(gè)極小值點(diǎn)，C正確，D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
10. 若，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. “對(duì)恒成立”的充要條件是“”
B. “”是“”的充分不必要條件
C. “”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件
D. “”是“無(wú)最小值”的既不充分也不必要條件
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)二次不等式的解法，不等式的性質(zhì)，二次方程的根的分布結(jié)合充分條件，必要條件的定義逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，推不出，故A錯(cuò)誤；
由可推出，而由，可得或，推不出，
所以“”是“”的充分不必要條件，故B正確；
由方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，可得，可推出，
由推不出，
故“”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件，故C正確；
由，，可得(當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào))，無(wú)最小值，
所以“”是“無(wú)最小值”的充分條件，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 是奇函數(shù)
B. 若在定義域上是增函數(shù)，則
C. 若的值域?yàn)?則
D. 當(dāng)時(shí)，若，則
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、值域，將分段函數(shù)分情況討論，逐一判斷即可．
【詳解】對(duì)于A，由題函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，，，；
當(dāng)時(shí)，，，，
則函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B，若在定義域上是增函數(shù)，則，即，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)值域，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)值域?yàn)?
要使的值域?yàn)?，則，即，故C不正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由于，則函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，
又函數(shù)是奇函數(shù)，故由，得，
則，且，且，
解得，故D不正確.
故選：AB
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（共20分）
12. 冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則=______．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：根據(jù)題意可知，解得或，又因?yàn)?，解得，故?br>考點(diǎn)：冪函數(shù)解析式的求解．
13. 2弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為6sin，則這個(gè)圓心角所夾的扇形面積是______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得扇形的半徑r，代入面積公式可得．
【詳解】由題意可得α=2，l=6sin=3，
∴扇形的半徑r==，
∴扇形面積S=lr=
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式，屬基礎(chǔ)題．
14. 設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則在下面結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是__________.
①圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③在上是增函數(shù)；④在上是增函數(shù)；⑤由可得必是的整數(shù)倍.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的周期和對(duì)稱軸可以得到解析式，然后對(duì)5個(gè)結(jié)論分別進(jìn)行判斷，從而得到答案.
【詳解】函數(shù)的最小正周期為，
所以，得到，
得到，
令，，
代入對(duì)稱軸，得，，
因?yàn)?，所以，得?br>所以函數(shù)解析式為，
令，，得，，
所以對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，，
所以，①圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤；
②圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，正確；
令，，
解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
所以③在上是增函數(shù)，錯(cuò)誤；
④在上是增函數(shù)，正確；
由函數(shù)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，，
可得相鄰零點(diǎn)的差是的整數(shù)倍，
所以⑤由可得必是的整數(shù)倍，錯(cuò)誤.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求正弦型函數(shù)解析式，求正弦型函數(shù)的對(duì)稱中心，單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題.
四、解答題（共70分）
15. 若集合，集合.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求解集合B，然后利用并集運(yùn)算求解即可；
（2）根據(jù)交集運(yùn)算得，然后根據(jù)和分類討論求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，集合，
又集合，所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋裕?br>①當(dāng)，即時(shí)，；
②當(dāng)，即時(shí)，要使，則必須，解得.
綜上，的取值范圍是.
16. 已知函數(shù)．
（1）若，求不等式的解集；
（2）已知，且在上恒成立，求a的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，求的取值范圍．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由題意得，求解即可得出答案；
（2）函數(shù)，可得二次函數(shù)圖象的開口向上，且對(duì)稱軸為，題意轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出答案；
（3）利用一元二次方程的根的判別式和韋達(dá)定理，即可得出答案．
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
，即，解得或，
∴不等式的解集為或；
【小問(wèn)2詳解】
，
則二次函數(shù)圖象的開口向上，且對(duì)稱軸為，
∴在上單調(diào)遞增，，
在上恒成立，轉(zhuǎn)化為，
∴，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；
【小問(wèn)3詳解】
關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
∵，，，
∴且，解得，
，
令（），
在上單調(diào)遞減，
，，
故的取值范圍為．
17. 已知函數(shù)．
（1）求的最大值及取得最大值時(shí)的值；
（2）若方程在(0，π)上的解為，，求的值．
【答案】（1）x＝π＋kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)取最大值，且最大值為1；（2）cs(x1－x2)＝．
【解析】
【分析】（1）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．
（2）求出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，利用方程在上的解，與對(duì)稱軸的關(guān)系，即可得出．
【詳解】解：（1）．當(dāng)，
即時(shí)，函數(shù)取最大值，且最大值為1．
（2）因?yàn)椋?，解?br>即函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸．
又方程在上的解為，．
，則，
，
又，
故．
18. 在無(wú)菌培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢，在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬(wàn)個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間x（單位：小時(shí)）的3組數(shù)據(jù)如下表所示.
（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別用模型和建立關(guān)于的函數(shù)解析式.
（2）若用某函數(shù)模型根據(jù)培養(yǎng)時(shí)間來(lái)估計(jì)某類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量，則當(dāng)實(shí)際的細(xì)菌數(shù)量與用函數(shù)模型得出的估計(jì)值之間的差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5時(shí)，稱該函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”，已知當(dāng)培養(yǎng)時(shí)間為9小時(shí)時(shí)，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量為6.2百萬(wàn)個(gè)，你認(rèn)為（1）中哪個(gè)函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”？說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：）
（3）請(qǐng)用（2）中“理想函數(shù)模型”估計(jì)17小時(shí)后，該類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量.
【答案】（1），
（2）模型①是“理想函數(shù)模型”，理由見解析
（3）（百萬(wàn)個(gè)
【解析】
【分析】（1）根據(jù)代入法、平方法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）結(jié)合代入法，結(jié)合題中理想函數(shù)模型的定義分類討論進(jìn)行求解即可；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，利用代入法進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
由圖表數(shù)據(jù)可得，
，，
聯(lián)立上式，解方程可得，，
則；
當(dāng)時(shí)，，
由圖表數(shù)據(jù)可得，
聯(lián)立上式，解方程可得，
則；
【小問(wèn)2詳解】
考慮①，由，
可得，而
，
可得模型①是“理想函數(shù)模型”；
考慮②，由，可得
而，
所以模型②不是“理想函數(shù)模型”；
【小問(wèn)3詳解】
由（2）可得時(shí)，
（百萬(wàn)個(gè)
19. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是是奇函數(shù)，給定函數(shù)．
（1）請(qǐng)你應(yīng)用題設(shè)結(jié)論，求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；
（2）用定義證明在區(qū)間上的單調(diào)性；
（3）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及對(duì)稱中心得到關(guān)系式，化簡(jiǎn)可求得對(duì)稱中心；
（2）根據(jù)定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可；
（3）先求出的值域，然后根據(jù)條件得到的值域是值域的子集，可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，
則，
即，
即，
，
整理得，
于是，
解得，
所以的對(duì)稱中心為；
【小問(wèn)2詳解】
任取，且，
則，
因?yàn)榍遥?br>所以，
即，
所以在上單調(diào)遞增；
【小問(wèn)3詳解】
由題意得：的值域是值域的子集，
由（2）知在上單調(diào)遞增，
故的值域?yàn)椋?br>于是原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上的值域，
因?yàn)閷?duì)稱軸為，在對(duì)稱軸處取得最小值，
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
同時(shí)的圖象恒過(guò)對(duì)稱中心，
可知在上也單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，
又，
故，
所以，
所以，解得，
又，故此時(shí)；
②當(dāng)，即時(shí)，
在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
又過(guò)對(duì)稱中心，
故在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
故此時(shí)
欲使，
只需，且，
解得且，
解不等式得：，又，
故此時(shí)；
③當(dāng)，即時(shí)，
在上單調(diào)遞減，在上也單調(diào)遞減，
由對(duì)稱性知在上單調(diào)遞減，
于是，
因?yàn)椋?br>故，解得，
又，故此時(shí)，
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.2
3
5
3.5
4.5
5.5

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