1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)的取值情況，分析判斷集合中元素的特征得不等式，求解即得.
【詳解】因，
則，
故.
故選：D.
2. 設，則對任意實數(shù)，“”是“”的（ ）條件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)且單調遞增，再分別判斷充分性和必要性得到答案.
【詳解】定義域為，
，函數(shù)為奇函數(shù)
易知：在0,+∞上單調遞增，
且
故在上單調遞增
當時，，充分性；
當時，即，必要性；
故選：
【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調性，充分必要條件，意在考查學生的綜合應用能力.
3. 已知函數(shù)，則的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通過函數(shù)的奇偶性可排除CD，利用可排除B，由此得到結果.
【詳解】函數(shù)的定義域為，且，
是奇函數(shù)，圖象關于坐標原點對稱，可排除C，D；
當時，，排除B.
故選：A.
【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：
(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．
(2)從函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢；
(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；
(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.
4. 設集合，且，函數(shù)（且），則（ ）
A. 為增函數(shù)B. 為減函數(shù)
C. 為奇函數(shù)D. 為偶函數(shù)
【答案】D
【解析】
【分析】結合指數(shù)函數(shù)的單調性與奇偶性檢驗各選項即可.
【詳解】當時，，時，在上不是增函數(shù)，故A不正確；
當時，，時，在上為增函數(shù)，B不正確；
當時，，，為偶函數(shù)，故C不正確；
當時，，，為偶函數(shù)，故D正確；
故選：D.
5. 已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將函數(shù)的零點轉化為方程在區(qū)間有且僅有3個根，由三角函數(shù)性質可解.
【詳解】函數(shù)的零點，
即方程的根，
當時，，方程在區(qū)間有且僅有3個根，
則，解得.
故選：D.
6. 若關于的函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)定義域為實數(shù)集，轉化為且恒成立，
結合二次不等式恒成立求解即可.
【詳解】由題意，，且對任意，
，①
且，②
對于①，，結合，得.
若，由②知對任意，矛盾；
若，由②知對任意，即，
則，得，
綜上，當時，對任意，①②同時成立.
故選：C
7. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質，結合基本不等式能證明，由此能證明，再構造函數(shù)，，由，可得 ，則，由此能求出結果．
【詳解】解： ，，
，
，等號取不到，
，
，
，
，
令，
∵，∴單調遞減，且，
，可得
于是 ，
，
故選：A.
8. 存在函數(shù)滿足對于任意都有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
該題的意思是由四個選項中的等式哪一個能夠確定出一個函數(shù)，舉例說明A、B、C不正確；求出滿足的函數(shù)解析式說明D正確.
【詳解】解：A.，一個對應兩個，錯誤；
B.，
，一個對應兩個，錯誤；
C. ，
，一個對應兩個，錯誤；
D. ，則，正確.
故選：D.
【點睛】本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，關鍵是對題意的理解，是中檔題.
二、多選題（本題共3個小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分）
9. 下列說法正確的有（ ）
A. 的最小值為2B. 最大值為
C. 的最小值為D. 的最小值為2
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式的應用，結合選項依次求解即可.
【詳解】A：當時，，
當且僅當即時等號成立，故A錯誤；
B：，
當且僅當即時等號成立，故B正確；
C：，
當且僅當時等號成立，故C正確；
D：
當且僅當時等號成立，故D錯誤．
故選：BC
10. ，則（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先利用的單調性證明，然后直接得到，并通過證明，得出，即可驗證C，D正確；然后利用該范圍直接估計出的下界，即可得到A正確，B錯誤.
【詳解】對于D，構造，易得在上遞增，
而，，
所以有唯一的正根，且該根位于區(qū)間，
因為，所以，
則，故，.
所以，故D正確；
對于C，而，，故，而，
所以有，故C正確；
對于AB，由，知.
從而，故A正確，B錯誤.
故選：ACD.
11. 已知定義在上的函數(shù)的圖像關于中心對稱，則下列說法一定正確的是（ ）
A. 若周期為2，則為奇函數(shù)B. 為奇函數(shù)
C. 若周期為4，則為偶函數(shù)D. 為奇函數(shù)
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)周期性以及對稱性即可判斷A，結合對數(shù)的運算性質即可求解D，舉反例即可求解BD.
【詳解】由于的圖像關于1,0中心對稱，所以，
對于A, 若周期為2，則，
所以，故為奇函數(shù)，A正確，
對于B，若，顯然的圖像關于1,0中心對稱，
但是，
故不是奇函數(shù)，B錯誤，
對于C, 若，顯然的圖像關于1,0中心對稱，且周期為4，
當時，則故不為偶函數(shù)，C錯誤

對于D，，
所以，
故為奇函數(shù)，D正確，
故選：AD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案直接填在答題卷中的橫線上.
12. 已知角的終邊過點，且，則角的弧度數(shù)是______.
【答案】
【解析】
【分析】首先判斷角為第二象限角，再根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導公式得到，即可得解.
【詳解】因為角的終邊過點，
又，所以，，所以角為第二象限角，
因為，所以，
所以，
又，所以.
故答案為：
13. 已知函數(shù)，若的圖象上存在不同的兩個點關于原點對稱，則實數(shù)的取值范圍為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)的圖象上存在不同的兩個點關于原點對稱列方程，利用換元法來求得的取值范圍.
【詳解】，
由于的圖象上存在不同的兩個點關于原點對稱，
所以f?x=?fx有解，
即，
①，
令，當且僅當時等號成立，
則，則①可化為，
依題意，此方程在上有解，
當，解得，
當時，，符合題意.
當時，，不符合題意.
當，即②時，
設，的開口向上，對稱軸，
要使在上有零點，
則或，
所以，
結合②得.
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】易錯點睛：
對稱點條件的正確使用：在列出關于原點對稱的條件時，容易因條件代入不準確而導致方程錯誤.在運用對稱點條件時，需確保每個代入步驟的符號處理正確.
一元二次方程的解集判斷：在判斷一元二次方程的解的存在性時，特別是對參數(shù)的范圍進行分類討論時，容易遺漏某些特殊情況或邊界條件.因此，在討論每種情況時，要確保所有可能性都得到了充分考慮.
14. 若存在（互不相等），滿足，則的取值范圍為____________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得，不妨設，再分和兩種情況討論，分別求出，進而可得出答案.
【詳解】存在（互不相等），滿足，
則，
不妨設，且是相鄰最值點.
當時，
則，解得，
由，解得，
當時，，
當時，，
當時，，
所以，
當時，
則，解得，
由，解得，
當時，，
當時，，
所以，
綜上所述，.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：由題意可得，不妨設，再分和求出是解決本題的關鍵.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)的定義域為A，函數(shù)，則的值域是B，不等式的解集為C.
（1）求；
（2）若，則實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)根式的意義求集合A，根據(jù)求集合B，進而求并集；
（2）分、和三種情況解不等式求集合C，再結合即可得結果.
【小問1詳解】
因為，解得或，即；
又因為，當且僅當時，等號成立，則，
可得，即；
所以.
【小問2詳解】
對于不等式，令，可得或，
當時，則，可知不成立，不合題意；
當時，則，可知不成立，不合題意；
當時，則，若，則；
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為.
16. 已知
（1）化簡；
（2）若，求的值：
（3）若為第三象限角，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式化簡，從而得解；
（2）利用（1）中結論，直接代入，結合三角函數(shù)的誘導公式即可得解；
（3）根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的誘導公式與基本關系式依次求得，從而得解.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
因為，
所以.
【小問3詳解】
因為，所以，
又為第三象限角，所以，
所以.
17. 已知函數(shù)是定義在R上奇函數(shù).
（1）求實數(shù)的值；
（2）若，不等式對恒成立，求實數(shù)得取值范圍.
【答案】（1）1； （2）或.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質求參數(shù)值；
（2）根據(jù)已知可得，應用單調性定義判斷單調性，再由單調性、不等式恒成立、一元二次不等式解法求參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
因為為奇函數(shù)，
所以，
解得.
【小問2詳解】
由（1）知，又，所以.
任取且，
則，
所以，，故，
則為R上的減函數(shù).
所以恒成立等價于恒成立，
令，則，因為，所以，
所以，解得或，
所以的取值范圍為或.
18. 已知函數(shù)，為常數(shù).
（1）證明：的圖象關于直線對稱.
（2）設上有兩個零點，.
（ⅰ）求的取值范圍；
（ⅱ）證明：.
【答案】（1）證明見解析
（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用平方關系將函數(shù)變形為，再計算即可證明；
（2）（?。┝顒t，問題轉化為關于的方程在上有兩個不相等實數(shù)根，即可得到，從而求出參數(shù)的取值范圍；（ⅱ）令，，根據(jù)韋達定理得到，將兩邊平方可得，再結合函數(shù)的單調性即可證明.
【小問1詳解】
因為
，
因為，
所以圖象關于直線對稱.
【小問2詳解】
（?。┝睿驗?，所以，則，
則，，
因為在上單調遞減，
所以關于的方程在上有兩個不相等實數(shù)根，
所以，解得，
即的取值范圍為.
（ⅱ）令，，則，為關于的方程的兩根，
所以，，
所以，
所以，即，
因為，
所以，所以，
由于，，所以，
則，即，
又在上單調遞減，所以，即.
【點睛】關鍵點點睛：第一問關鍵是推導出，第二問關鍵換元，將問題轉化為一元二次不等式在給定區(qū)間上有兩解問題.
19. 已知函數(shù)，函數(shù)
（1）證明函數(shù)的奇偶性，并求的值；
（2）判斷函數(shù)在上的單調性，并利用定義法證明；
（3），使在區(qū)間上的值域為，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析，0；
（2）單調遞減，證明見解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質即可求解；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調性即可求解；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調性，將問題轉化為，進而轉化為在0,+∞內有兩不等實根，利用換元法和分離參數(shù)，結合對勾函數(shù)的性質求解.
【小問1詳解】
由于函數(shù)的定義域為且，關于原點對稱；
又，故為奇函數(shù)；
則；
【小問2詳解】
函數(shù)在1,+∞上單調遞減，證明如下：
當時，，
設
由于且，
故，則，
因此，
故函數(shù)在1,+∞上單調遞減.
【小問3詳解】
因為，且在1,+∞上單調遞減，為單調遞增函數(shù)，
所以在0,+∞上單調遞減，
所以在上的值域為，
，即
整理得：
即在0,+∞內有兩不等實根，
令，當時，則關于的方程在內有兩個不等實根，
整理得：，令，則，
故題設等價于函數(shù)與在有兩個不同的交點，
由對勾函數(shù)性質知函數(shù)上遞減，在上遞增，且x=1時，，如圖，
所以函數(shù)在上值域為.
，即.
【點睛】方法點睛：處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：
（1）消元法：把多變量問題轉化單變量問題，消元時可以用等量消元，也可以用不等量消元.
（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時可以利用基本不等式來處理，用這個方法時要關注代數(shù)式和積關系的轉化.

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