命題人：劉宇生 審題人：陳晉
滿分：150分 時間：120分鐘
第一部分（選擇題 共58分）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)并集定義計算．
【詳解】由已知，
故選：D．
2. 命題：，，則是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題的否定為存在量詞命題即可求解.
【詳解】根據(jù)全稱命題的否定，：，.
故選：B.
3. 已知冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有公共點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由冪函數(shù)的定義及圖象性質(zhì)可得函數(shù)解析式，即可得函數(shù)值.
【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)，
則，解得或，
當(dāng)時，，過點，不滿足題意，
當(dāng)時，，與坐標(biāo)軸無公共點，
所以，
故選：A.
4. 若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出指數(shù)冪的范圍比較大小.
【詳解】因為單調(diào)遞增，所以,即得，
因為單調(diào)遞減，所以,即得，
所以.
故選：C.
5. 已知函數(shù)，則其圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)函數(shù)的定義域以及當(dāng)和時函數(shù)值的正負(fù)，即可排除求解.
【詳解】由于函數(shù)的定義域為，故可排除C，
當(dāng)時，，此時可排除A,
當(dāng)時，，此時可排除D,
故選：B
6. 設(shè)函數(shù)（且）在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可得，解得，
故選：A
7. 已知函數(shù)的定義域為，對于任意實數(shù)，滿足，且，則（ ）
A. 1014B. 2027C. 2028D. 4054
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題中抽象函數(shù)的性質(zhì)，對所求代數(shù)式化簡即可得結(jié)果.
【詳解】對于任意實數(shù)，滿足，且，
當(dāng)時，，
即.
故選：C
8. 已知函數(shù)，，，用表示，中的較大者，記為，若的最小值為1，則實數(shù)的值為（ ）
A 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象，分，和三種情況討論，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到取得最小值的點，進(jìn)而求出該點的坐標(biāo)，得到答案．
【詳解】令，定義域為，
，得，且在，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)圖象如下：
則的圖象如下：
當(dāng)，則，
在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，如下：
則的圖象如下：
顯然最小值為2，不合題意；
當(dāng)，則，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，如下：
畫出的圖象如下：
顯然函數(shù)在點取得最小值，令，解得，
令，解得，
當(dāng)，則，在同一坐標(biāo)系中作出圖象，如下：
畫出的圖象如下：
顯然函數(shù)點取得最小值，令，解得，
令，解得，
綜上，．
故選：B．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列各組函數(shù)中，是同一個函數(shù)的有（ ）
A. 與B. 與
C. 與D. 與
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷．
【詳解】對于A，兩個函數(shù)的對應(yīng)法則不同，不是同一函數(shù)，故A錯誤；
對于B，兩個函數(shù)的定義域都是，，對應(yīng)法則也相同，是同一函數(shù)，故B正確；
對于C，兩個函數(shù)定義域不相同，定義域是，定義域是，不是同一函數(shù)，故C錯誤；
對于D，定義域都是R，且，對應(yīng)法則也相同，是同一函數(shù)，故D正確.
故選：BD．
10. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間單調(diào)遞增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由奇偶性定義判斷奇偶性，再由單調(diào)性定義判斷單調(diào)性．
【詳解】由奇偶性定義知ABC三個選項中函數(shù)是偶函數(shù)，D選項中函數(shù)是奇函數(shù)，
在上，函數(shù)與是增函數(shù)，是減函數(shù)，
故選：AC．
11. 若正數(shù)，滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式判斷ABD，由不等式性質(zhì)判斷C．
【詳解】，
，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，A錯；
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即 時等號成立，B正確；
由已知，，，
所以，C正確；
由已知，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，D正確．
故選：BCD．
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12 已知函數(shù)，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式由內(nèi)向外計算即可.
【詳解】因為，
所以，.
故答案為：.
13. 函數(shù)的定義域為______.
【答案】且，
【解析】
【分析】根據(jù)根式以及分式，結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】的定義域滿足，解得且，
故定義域為且，
故答案為：且，
14. 已知函數(shù).若，則的取值范圍為______.
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)，可將問題轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】由于，
故，則，
由于函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
故為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，解得或，
故答案為：或，
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. （1）；
（2）.
【答案】（1）1；（2）1.
【解析】
【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可得解；
（2）利用對數(shù)的運(yùn)算法則即可得解．
【詳解】（1）；
（2）
．
16. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）解二次不等式得到集合，再由集合的并集得到結(jié)果；
（2）由必要不充分條件得到集合的關(guān)系，從而建立不等式求得實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
∵，∴或，即或，
當(dāng)時，，
或.
【小問2詳解】
若“”是“”的必要不充分條件，則是的真子集，
當(dāng)時，，解得，符合題意；
當(dāng)時，或，解得或；
綜上，
17. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）解關(guān)于的不等式：.
【答案】（1）；
（2）在上是增函數(shù)，證明見解析；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由奇函數(shù)的定義求解；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明；
（3）由奇偶性變形，再由單調(diào)性求解．
【小問1詳解】
由題意，即，
又，解得，
所以，經(jīng)檢驗符合題意；
【小問2詳解】
在上是增函數(shù)，
證明：設(shè)是上任意兩個實數(shù)且，
，
因為，所以，
所以，即，
所以在上是增函數(shù)；
【小問3詳解】
由得，
又是奇函數(shù)，所以，
因為在上是增函數(shù)，所以，解得．
18. 定義：對于定義域為的函數(shù)，若，有，則稱為的不動點.已知函數(shù).
（1）當(dāng)，時，求函數(shù)的不動點；
（2）若，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求實數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)且的兩個不動點為，，且，求實數(shù)的最小值.
【答案】（1）和；
（2）．
（3）12．
【解析】
【分析】（1）解方程可得；
（2）由有兩個不等實根，對恒成立，結(jié)合一元二次不等式的性質(zhì)可得；
（3），，由韋達(dá)定理得，兩者結(jié)合可把表示為的函數(shù)，再由基本不等式可得最小值．
【小問1詳解】
，，解得或，
所以的不動點是和；
【小問2詳解】
由題意，有兩個不等的實根，
即有兩個不等實根，
恒成立，即對恒成立，
所以，解得．
小問3詳解】
有兩個不等實根，，
所以，，
所以，解得，
，，
，即，所以，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以．
19. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，解不等式：；
（2）當(dāng)時，記，若對任意的，函數(shù)的圖像總在函數(shù)的圖像的下方，求正數(shù)的取值范圍；
（3）如果函數(shù)在上的最大值為，實數(shù)是否存在？若存在，求出的值；若不存在；說明理由.
【答案】（1）；
（2）．
（3）不存在，理由見解析．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式；
（2）由題意恒成立，再由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解；
（3）根據(jù)絕對值的定義結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定最大值，由最大值求出，若無解說明不存在．
【小問1詳解】
不等式為，
∴，解得,
解集為；
【小問2詳解】
由題意即在上恒成立，
，，
∴不等式在上恒成立，
∴，解得，又,
綜上，．
【小問3詳解】
假設(shè)存在滿足題意，
首先，時，恒成立，因此，
，，
若，則，
，，不合題意，舍去,
因此有，即，
在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
故在上最大值必定在端點處取得，
此時或，
若，解得，不合題意，舍去，
若，則，而，不合題意，舍去，
綜上，不存在實數(shù)，使得函數(shù)在上的最大值為．
【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)中的存在性問題求解方法，方法是假設(shè)存在，然后在時求出的最大值，由最大值滿足題意求得參數(shù)值，如果無解則說明不存在．

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