數(shù)學(xué)?全解全析
（考試時間：100 分鐘 試卷滿分：100 分）
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用
橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．測試范圍：滬教版八年級第一學(xué)期+第 20 章。
一、選擇題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分，每小題只有一個正確選項.）
1．下列方程中，關(guān)于 x 的一元二次方程的是（ ）
A．
C．
B．
D．
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)一元二次方程的定義逐項分析判斷即可求解．一元二次方程定義：“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)項
的最高次數(shù)是 2 的整式方程叫做一元二次方程”．
【解析】解：A．方程
是一元二次方程，故本選項符合題意；
B．當(dāng)
時，
不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
C．方程
是分式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
D．方程
，未知數(shù)的最高次數(shù)是 3，不是一元二次方程，故本選項不符合題意．
故選：A．
2．下列二次根式中，與 是同類二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．各項化簡后，利
用同類二次根式定義判斷即可．
【解析】解：A．
與
不是同類二次根式，
B．
與
是同類二次根式，
1 / 22

C．
D．
與
不是同類二次根式，
與
不是同類二次根式，
故選：B．
3．下列函數(shù)中，當(dāng)
A．
時，y 隨 x 的增大而增大的是（
B． C．
）
D．
【答案】C
【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的增減性，結(jié)合自變量的取值范圍，逐一判斷．
【解析】解：A、 ， k＜0，故 y 隨著 x 增大而減小，故該選項不符合題意；
B、
C、
， k＜0，故 y 隨著 x 增大而減小，故該選項不符合題意；
，k=-5＜0，在每個象限里，y 隨 x 的增大而增大，故該選項符合題意；
D、
，k= ＞0，在每個象限里，y 隨 x 的增大而減小，故該選項不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的增減性，熟練掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題
的關(guān)鍵．
4．在
A．
中，
、
、
的對邊分別是 a、b、c，下列條件不能說明
是直角三角形的是（
）
B．∠
D．
C．
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識．根據(jù)
勾股定理及其逆定理可判斷 A、D 選項，根據(jù)三角形內(nèi)角和可判斷 B、C 選項，從而解題．
【解析】解答：解：
，
，
故 A 能，不符合題意；
，
，
，
，
故 B 能，不符合題意；
，
，
，
故 C 不能，符合題意；
，
2 / 22

，
故 D 能，不符合題意．
故選：C．
5．下列結(jié)論正確的是（
）
A．
B．
D．
不是最簡二次根式
C．
【答案】D
【分析】本題主要考查了化簡二次根式，最簡二次根式的定義，二次根式的除法計算，根據(jù)
可判斷
A、C；被開方數(shù)不含有分母且被開方數(shù)不含有開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式，
據(jù)此可判斷 B；根據(jù)二次根式除法計算法則可判斷 D．
【解析】解：A、
，原結(jié)論錯誤，不符合題意；
B、
C、
是最簡二次根式，原結(jié)論錯誤，不符合題意；
，原結(jié)論錯誤，不符合題意；
D、
，原結(jié)論正確，符合題意；
故選：D．
6．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，一次函數(shù)
的圖像如圖所示，那么下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)
C．當(dāng)
時，
時，
B．方程
的解是
的解集是
D．不等式
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象直接進(jìn)行解答即可．
【解析】解：由函數(shù) 的圖象可知，
，A 選項錯誤，不符合題意；
的解是 ，B 選項錯誤，不符合題意；
，故 C 正確，符合題意；
的解集是 ，故 D 錯誤，不符合題意．
當(dāng)
時，
方程
當(dāng)
時，
不等式
故選：C．
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【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共 12 小題，每小題 2 分，共 24 分.）
7．若
是關(guān)于 x 的一次函數(shù)，則 m 的值為
．
【答案】
【分析】由一次函數(shù)的定義得關(guān)于 m 的方程，解出方程即可．
【解析】解：∵函數(shù) 是關(guān)于 x 的一次函數(shù)，
∴
，
，
解得：
．
故答案為：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的定義，注意自變量 x 的系數(shù)不能等
于 0 這個條件．
8．已知一次函數(shù)
，則
．
【答案】
【分析】將
代入函數(shù)解析式進(jìn)行計算即可．
，
【解析】解：∵
∴
，
故答案為：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式
．
9．寫出二次根式
的一個有理化因式是
（答案不唯一）
．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的有理化，根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化．
二次根式的有理化的目的就是去掉根號，利用平方差公式可以得到
．
的一個有理化因式是
【解析】解：∵
，
∴
的一個有理化因式是
（答案不唯一）．
．
故答案為：
10．“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”的逆命題是
4 / 22
．

【答案】到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上
【分析】把一個命題的題設(shè)和結(jié)論互換即可得到其逆命題.
【解析】“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”的逆命題是“到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上”．
故答案為：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上．
【點(diǎn)睛】此題考查命題與定理，解題關(guān)鍵在于掌握如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另外一個命題的結(jié)論
和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題．
11．已知反比例函數(shù)
的圖像上有兩點(diǎn)
，如果
時，那么
．
（填“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本題考查比較反比例函數(shù)的函數(shù)值大小，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：∵
∴當(dāng) 時，
∵反比例函數(shù)
，
，
隨
的增大而減小，
的圖像上有兩點(diǎn)
，且
，
∴
；
故答案為：
．
12．若 A(8，4)和點(diǎn) B(5， )間的距離是 5，則
【答案】8 或 0
＝
．
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式解答即可.
【解析】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得 k=8 或 0，
故答案為：8 或 0.
【點(diǎn)睛】此題考查直角坐標(biāo)系中點(diǎn)與點(diǎn)間距離的計算公式，勾股定理，正確掌握計算公式是解題的關(guān)鍵.
13．函數(shù)
的圖像不經(jīng)過第一象限，則 a 的取值范圍是
．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，牢記
題的關(guān)鍵．由函數(shù)
關(guān)于 的一元一次不等式組，解之即可求出 的取值范圍．
【解析】解： 函數(shù) 的圖像不經(jīng)過第一象限，
的圖象不經(jīng)過第一象限是解
的圖像不經(jīng)過第一象限，利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，可得出
解得：
，
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的取值范圍是
．
故答案為：
．
14．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：
．
【答案】
【分析】本題考查在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，先令
分解即可．
，利用求根公式求出兩個根，根據(jù)
【解析】解：令
，
，
，
，
∴
，
故答案為：
．
15．已知直線
平行于直線
，且在 y 軸上的截距是 5，那么這條直線的表達(dá)式
．
【答案】
【分析】本題考查了兩直線平行問題，解題的關(guān)鍵是掌握平行直線解析式的 k 值相等，以及截距有正負(fù)．根
據(jù)平行得出
，根據(jù)與 y 軸截距為 5 得出
平行于直線
，即可解答．
，
【解析】解：∵直線
∴
，
∵在 y 軸上的截距是 5，
∴
，
∴這條直線的表達(dá)式為
，
故答案為：
．
16．已知甲乙兩地相距 500 千米，一輛汽車加滿 60 升油后由甲地開往乙地，油箱中的剩余油量 y（升）與
行駛路程 x（千米）之間是一次函數(shù)關(guān)系，其部分圖象如圖所示．當(dāng)油箱中的剩余油量為 20 升時，汽車距
離乙地
千米．
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【答案】100
【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再求出當(dāng)
【解析】解：設(shè)函數(shù)解析式為：
時 的值，最后求出剩余路程．
，
則：
，
解得：
，
，
當(dāng)
時，
，
解得：
，
（千米），
中，
故答案為：100．
17．如圖，在
．
，
，邊
的垂直平分線
交
于
，若
，則
【答案】
【分析】由直角三角形的兩個銳角互余可得
，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得
，由
等邊對等角可得
直角三角形的性質(zhì)可得
【解析】解：
，然后利用角的和差關(guān)系可得
，在
中，由含 度角的
，于是得解．
，
，
，
是
的垂直平分線，
，
，
，
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，
，
故答案為：
．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，含 度角的直角
三角形等知識點(diǎn)，熟練掌握含 度角的直角三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，已知直線
：
交
軸負(fù)半軸于點(diǎn) ，交 軸于點(diǎn) ，點(diǎn)
是
軸上的一點(diǎn)，且
，則 的度數(shù)為______________.
【答案】
【分析】令
或
，可得
，令
，可得
，利用勾股定理求出
，可得
，
分兩種情況考慮：① 點(diǎn)在 軸正半軸；② 點(diǎn)在 軸負(fù)半軸．分別計算出
的和差即為所求度數(shù)．
、
度數(shù)，兩個角
【解析】解： 直線
：
交
，
軸負(fù)半軸于點(diǎn) ，交 軸于點(diǎn) ，
令
令
，則
，解得
，
，則
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
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如圖，分兩種情況考慮：
①當(dāng)點(diǎn)
在
軸正半軸上時，
，
，
；
軸負(fù)半軸上時，
．
②當(dāng)點(diǎn)
在
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、含 度角的直角三角形、等腰直
角三角形的判定與性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（第 19-21 題每小題 3 分，第 22-25 每小題 4 分，第 26-27 題 5 分，第 28 題 6 分，
第 29 題 8 分，第 30 題 9 分，共 58 分）
19．計算：
．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計算，即可求解．
【解析】解：
．
20．（1）解方程：
（2）解方程：
；
．
【答案】（1）
，
；（2）
，
【分析】（1）用配方法解方程即可；
（2）用公式法解方程即可．
本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握公式法解方程是關(guān)鍵．
【解析】解：（1）∵
；
∴
，
9 / 22

則
∴
∴
∴
，
，
或
，
，
（2）∵
∴整理得
則
，
，
∴
，
∴
，
．
21．已知如圖，在
中，
，
，
，求證：
．
【答案】證明見解析
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，含 30 度角的直角三角形的小侄子，
先根據(jù)等邊對等角得到
，則由三角形內(nèi)角和定理得到
，進(jìn)一步證明
，由垂直的定義得到
，得到
，則
．
，則
【解析】證明：∵在
中，
，
，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
，
，
，
，
，
，
，
．
22．已知關(guān)于 x 的一元二次方程
(1)求 的取值范圍；
有兩個實(shí)數(shù)根．
(2)設(shè) 是方程的一個實(shí)數(shù)根，且滿足
【答案】(1)
，求 的值．
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(2)
【分析】本題考查了根的判別式，掌握方程根的情況與跟的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）由方程根的情況，根據(jù)判別式可得到關(guān)于 的不等式，則可求得 的取值范圍；
（2）由方程根的定義，可用 表示出 ，代入已知等式可得到關(guān)于 的方程。則可求得 的取值范圍．
【解析】（1）根據(jù)題意，得
，
，
；
（2）
是方程的一個實(shí)數(shù)根，
，
，
則
，
，
，
解得
或
（舍）
．
23．去年某商店第一季度營業(yè)額為 120 萬元，第二季度的營業(yè)額比第一季度增長了 25%，第三、第四季度
營業(yè)額的增長率相同，且第四季度的營業(yè)額為 216 萬元．
求：（1）該店第二季度的營業(yè)額；
（2）該店第三、第四季度營業(yè)額的增長率．
【答案】（1）150 萬元；（2）20%
【分析】（1）根據(jù)某商店第一季度營業(yè)額為 120 萬元，第二季度的營業(yè)額比第一季度增長了 25%，可以計
算出第二季度的營業(yè)額；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和第三、第四季度營業(yè)額的增長率相同，且第四季度的營業(yè)額為 216 萬元，可以
得到方程 150（1＋x）2＝216，然后求解即可．
【解析】解：（1）由題意可得，
第二季度的營業(yè)額為：120×（1＋25%）＝120× ＝150（萬元），
答：該店第二季度的營業(yè)額為 150 萬元；
（2）設(shè)該店第三、第四季度營業(yè)額的增長率為 x，
150（1＋x）2＝216，
解得 x ＝0.2，x ＝﹣2.2（舍去），
1
2
答：該店第三、第四季度營業(yè)額的增長率是 20%．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
24．求證：如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形. （提示：求證命
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題的步驟：1．根據(jù)題意畫出適當(dāng)?shù)膱D形；2．根據(jù)圖形寫出已知：…， 求證：…；3．寫出證明過程．）
已知：
求證：
證明：
【答案】見解析
【分析】如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，∠A=∠1，∠2=∠B，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，∠1+∠2
+∠A+∠B=180°，代入即可求出∠1+∠2=90°，即可推出答案．
【解析】
已知：如圖，在ΔABC 中，CD 是 AB 邊上的中線，且 CD= AB．
求證：ΔABC 是直角三角形．
證明：∵CD 是 AB 邊上的中線，
∴AD=BD= AB，
又 CD= AB，
∵AD=BD=CD，
∴∠A=∠1，∠2=∠B，
∴∠1+∠2=∠A+∠B，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°，
即 2（∠1+∠2）=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ABC 是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
25．已知
與
成正比例，且
時，
．
(1)求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)將（1）中函數(shù)圖象向上平移 5 個單位后得到直線 ，求直線 對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，并回答：點(diǎn)
是
否在直線 上？
【答案】(1)
(2)
，不在
12 / 22

【分析】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，掌握方法很重要：
（1）根據(jù) 成正比例，則 ，將 時， 代入計算即可；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)式和圖象平移規(guī)律：“上加下減”寫出直線 對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)行驗證即可．
與
【解析】（1）解：∵
∴設(shè)
與
成正比例，
，
當(dāng)
時，
,
所以
,
解得，
∴
，
，
∴
故 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式：
；
（2）解：由（1）知：
，
所以將圖象向上平移 5 個單位后得到直線
∴直線 對應(yīng)的函數(shù)解析式為
，
，即
，
當(dāng)
時，
故點(diǎn)
不在直線 上．
26．如圖，在直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知反比例函數(shù)
點(diǎn) A 作 AB⊥x 軸于點(diǎn) B，且△AOB 的面積為
（
）的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（2，m），過
．
（1）求 k 和 m 的值；
（2）點(diǎn) C（x，y）在反比例函數(shù)
的圖象上，求當(dāng) 1≤x≤3 時，函數(shù)值 y 的取值范圍．
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【答案】（1）
，
；（2）
．
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式先得到 m 的值，然后把點(diǎn) A 的坐標(biāo)代入
，可求出 k 的值；
（2）先分別求出 x=1 和 3 時，y 的值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解．
【解析】解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴
∴
=
OB?AB=
=
，
，
∴點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（2， ），把 A（2， ）代入
，
得
=
，
∴
；
（2）∵當(dāng) x=1 時，y=1；當(dāng)
時，
，
又∵反比例函數(shù)
∴當(dāng) 1≤x≤3 時，y 的取值范圍為
27．如圖，已知：
在
時，y 隨 x 的增大而減小，
．
．
(1)尺規(guī)作圖：在
邊上求作一點(diǎn) ，使得點(diǎn)
到
的距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）；
．
(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
是
的中點(diǎn)，求證：
【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖—作角平分線、角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，
熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
（1）首先以點(diǎn) 為圓心，以任意長度為半徑作弧，交
于點(diǎn)
，再分別以點(diǎn)
為圓心，以
大于 的長度為半徑作弧，交于點(diǎn) ，作射線
交
于點(diǎn) ，則
為
的角平分線，根據(jù)角
平分線的性質(zhì)定理“角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等”，即可獲得答案；
（2）由（1）可知， 的角平分線，過點(diǎn) ，垂足為
14 / 22
為
作
，結(jié)合點(diǎn)
是

的中點(diǎn)，證明
，由全等三角形的性質(zhì)可證明結(jié)論．
【解析】（1）解：如下圖，點(diǎn) 即為所求；
（2）由（1）可知，
為
的角平分線，
，垂足為 ，如圖，
過點(diǎn)
∴
作
，
∵點(diǎn)
∴
是
的中點(diǎn)，
，
和
在
中，
，
，
∴
∴
．
28．
中，
，點(diǎn) D、E 分別為邊 AB、BC 上的點(diǎn)，且
，
，聯(lián)結(jié) AE 交
CD 與點(diǎn) F，點(diǎn) M 是 AE 的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié) CM 并延長與 AB 交于點(diǎn) H．
（1）點(diǎn) F 是 CD 中點(diǎn)時，求證：
（2）求證：
；
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【分析】（1）聯(lián)結(jié) MD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得
,根據(jù)點(diǎn) F 是 CD 中點(diǎn)，
即可判斷 的垂直平分線；
是
15 / 22

（2）證明
是
的垂直平分線，可得
，進(jìn)而在
中，
，等量代換即
可得
【解析】（1）證明：聯(lián)結(jié) MD．
∵
∴
，
∵點(diǎn) M 是 AE 的中點(diǎn)，
∴
∴
．同理可證：
，
．
∵點(diǎn) F 是 CD 中點(diǎn)，
∴
．
（2）證明：∵
，
∴
．
∵點(diǎn) M 是 AE 的中點(diǎn)，
∴
∵
．
，
∴點(diǎn) M，點(diǎn) C 在線段 AD 的垂直平分線上．
∴CM 是線段 AD 的垂直平分線．
∴
∴
∴
∴
，
．
．
中，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，掌
握垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
29．綜合與實(shí)踐—探究特殊三角形中的相關(guān)問題．
問題情境：某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，將兩塊完全相同的且含 60°角的直角三角板 ABC 和 AFE 按如
圖 1 所示位置放置．現(xiàn)將 Rt△AEF 繞 A 點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn) （0°＜ ＜90°），如圖 2，AE 與 BC 交于點(diǎn)
16 / 22

M，AC 與 EF 交于點(diǎn) N，BC 與 EF 交于點(diǎn) P．
(1)初步探究：勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角 = 時，△AMC 是等腰三角形；
(2)深入探究：敏學(xué)小組的同學(xué)提出：在旋轉(zhuǎn)過程中．如果連接 AP，CE，那么 AP 所在的直線是線段 CE 的
垂直平分線，請幫他們證明；
(3)拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，△CPN 是否能成為直角三角形？若能，請求出旋轉(zhuǎn)角 的度數(shù)；若不能，請
說明理由．
【答案】(1)60°或 15°
(2)見解析
(3)能，30°或 60°
【分析】（1）分 AM=CM 和 AC=CM 兩種情況進(jìn)行討論求解即可；
（2）由題意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAM=∠FAN，根據(jù)全等
三角形的性質(zhì)得到 AM=AN，證明△MPE≌△NPC，得 PE=PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）當(dāng)∠CNP=90°時，依據(jù)對頂角相等可求得∠ANF=90°，然后依據(jù)∠F=60°可求得∠FAN 的度數(shù)，由旋
轉(zhuǎn)的定義可求得∠α的度數(shù)；當(dāng)∠CPN=90°時．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP 的度數(shù)，然后依據(jù)
對頂角相等可得到∠ANF 的度數(shù)，然后由∠F=60°，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠FAN 的度數(shù)，于是可
得到∠α的度數(shù)．
【解析】（1）解：當(dāng) AM=CM，即∠CAM=∠C=30°時，△AMC 是等腰三角形；
∵∠BAC=90°，
∴α=90°?30°=60°；
當(dāng) AC=CM，即∠CAM=∠CMA 時，△AMC 是等腰三角形，
∵∠C=30°，
∴∠CAM=∠AMC=75°，
∵∠BAC=90°，
∴α=15°，
17 / 22

綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=60°或 15°時，△AMC 是等腰三角形，
故答案為：60°或 15°；
（2）證明：由題意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，
∵將 Rt△AEF 繞 A 點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn) （0°＜ ＜90°），
∴∠BAM=∠FAN，
在△ABM 與△AFN 中，
，
∴△ABM≌△AFN(ASA)，
∴AM=AN，
∵AE=AC，
∴EM=CN，
在△MPE 與△NPC 中，
，
∴△MPE≌△NPC(AAS)，
∴PE=PC，
∴點(diǎn) P 在 CE 的垂直平分線上，
∵AE=AC，
∴點(diǎn) A 在 CE 的垂直平分線上，
∴AP 所在的直線是線段 CE 的垂直平分線；
（3）解：△CPN 能成為直角三角形．
如圖 1 所示：當(dāng)∠CNP=90°時，
18 / 22

∵∠CNP=90°，
∴∠ANF=90°．
又∵∠AFN=60°，
∴∠FAN=180° -60° -90°=30°．
∴
=30°．
如圖 2 所示：當(dāng)∠CPN=90°時，
∵∠C=30°，∠CPN=90°，
∴∠CNP=60°，
∴∠ANF=60°，
又∵∠F=60°，
∴∠FAN=60°，
∴
=60°．
綜上所述， =30°或 60°．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、
19 / 22

等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．
30．已知一次函數(shù) 的圖像與坐標(biāo)軸交于 點(diǎn)（如圖），
、
平分
，交 軸于點(diǎn)
．
(1)求點(diǎn) 的坐標(biāo)和點(diǎn) 的坐標(biāo)；
(2)求直線 的表達(dá)式；
，垂足為 ，交 軸于點(diǎn) ，連接
平分 ，交 軸于點(diǎn) ”改變?yōu)椤包c(diǎn) 是線段
(3)過點(diǎn)
作
，試判斷
的形狀并證明你的結(jié)論．
上的一個動點(diǎn)（點(diǎn) 不與點(diǎn)
(4)若將已知條件“
、
重合）”，過點(diǎn)
作
，垂足為 ．設(shè)
，
，試求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)
的定義域．
【答案】(1)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為
，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為
(2)
(3)
是等腰三角形
，定義域為
(4)
【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何圖形的綜合，勾股定理，三角形的面積，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的
解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用勾股定理求出
解題即可；
長，再利用
（2）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（3）設(shè)點(diǎn) F 的坐標(biāo)為
，利用勾股定理得到
，求出點(diǎn) F 的坐標(biāo)，然后判斷三角
形的形狀即可；
（4）先利用勾股定理得到
長，然后根據(jù)
，解得
解題計算即可．
【解析】（1）解：令
∴點(diǎn) B 的坐標(biāo)為
，則
，
，
20 / 22

當(dāng)
時，
，
∴點(diǎn) A 的坐標(biāo)為
，
∴
，
過點(diǎn) E 作
于點(diǎn) H，
∵
∴
平分
，
，
又∵
，
∴
，
∴點(diǎn) E 的坐標(biāo)為
；
（2）設(shè)直線
的解析式為
，把
和
代入得：
，解得
的解析式為
，
∴直線
；
（3）設(shè)點(diǎn) F 的坐標(biāo)為
，
∵
，
∴
，即
（舍去）或
，
解得：
，
∴點(diǎn) F 的坐標(biāo)為
，
，
∴
∴
∴
，
是等腰三角形；
（4）解：由勾股定理可得
，
∵
∴
，
，
21 / 22

又∵
，
∴
，
即
，
∵點(diǎn) 是線段
上的一個動點(diǎn)，
∴
．
22 / 22

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