【開(kāi)學(xué)摸底考】2024-2025學(xué)年春季期八年級(jí)數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷（全國(guó)通用）（原卷+解析+答題卡）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（考試時(shí)間：120 分鐘試卷滿分：120 分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如
需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)
在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．測(cè)試范圍：人教版八年級(jí)上冊(cè)全部。
第一部分（選擇題共 16 分）
參考答案與試題解析
一、選擇題（共 16 分，每題 2 分）第 1-8 題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．
1．中國(guó)“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國(guó)教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，如圖四幅作品分別代
表“立春”，“芒種”“白露”“大雪”，其中是軸對(duì)稱圖形的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義逐一判斷，即可解答．
【解答】解：、不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；
、不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；
、不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；
、是軸對(duì)稱圖形，故符合題意；
1 / 21

故選：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．
2．地處北京懷柔科學(xué)城的“北京光源”
微振動(dòng)控制”的要求，控制精度級(jí)別達(dá)到納米
表示應(yīng)為
是我國(guó)第一臺(tái)高能同步輻射光源，在施工時(shí)嚴(yán)格執(zhí)行“防
級(jí)．
．將 0.000000001 用科學(xué)記數(shù)法
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】絕對(duì)值小于 1 的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為
，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不
同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的 0 的個(gè)數(shù)所決定．
【解答】解：
故選：
．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為
一個(gè)不為零的數(shù)字前面的 0 的個(gè)數(shù)所決定．
3．下列計(jì)算正確的是
，其中
，為由原數(shù)左邊起第
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；合并同類項(xiàng)法則；
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：
、
、
，故此選項(xiàng)不符合題意；
，故此選項(xiàng)符合題意；
、
、
與
不是同類項(xiàng)，不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；
，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算
性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，要使△
△
，下面給出的四組條件，錯(cuò)誤的一組是
2 / 21

A．
C．
，
B．
D．
，
，
，
【答案】
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：
、
，
，又
，根據(jù)
和△
證明△
和△
全等，故本
項(xiàng)正確，不符合題意；
、
，
，
，又
，根據(jù)
，又
證明△
，根據(jù)
全等，故本項(xiàng)正確，不符合題意；
和△ 全等，故本項(xiàng)正確，
、
，
證明△
不符合題意；
、
，又
，不能證明△
和△
全等，故本項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
故選：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定方法，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
5．正六邊形的外角和是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和是 360 度即可求出答案．
【解答】解：六邊形的外角和是
故選：
．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的外角和定理，關(guān)鍵是掌握任何多邊形的外角和是 360 度，外角和與多邊形的
邊數(shù)無(wú)關(guān)．
6．下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長(zhǎng)度，用它們能擺成三角形的是
A．
C．
，
，
B．
D．
，
，
，
，
，
，
【答案】
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
3 / 21

【解答】解：
，不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng) 不符合題意；
，能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng) 符合題意；
，不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng) 不符合題意；
，不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng) 不符合題意；
故選：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
7．若把分式
中的
和
都擴(kuò)大為原來(lái)的 3 倍，那么分式的值
A．?dāng)U大為原來(lái)的 3 倍
C．縮小為原來(lái)的
B．不變
D．縮小為原來(lái)的
【答案】
【分析】先根據(jù)題意得出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)得出即可．
【解答】解：
，
所以如果把分式
故選：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能正確根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．
中的和都擴(kuò)大為原來(lái)的 3 倍，那么分式的值縮小為原來(lái)的，
．
8．如圖，在
中，
，
是
內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)
，
，
分別是點(diǎn) 關(guān)于直線
，
，
的對(duì)稱點(diǎn)，給出下面三個(gè)結(jié)論：
①
②
③
；
；
．
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是
4 / 21

A．①②
【答案】
【分析】連接
再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得
為矩形，即可判斷②．
【解答】解：如圖，連接
B．①③
C．②③
D．①②③
，
，
，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得
，
，
分別為
，
，
的垂直平分線，
，可得四邊
，
，
，即可判斷①③，根據(jù)
形
，
，
，
點(diǎn)
，
，
，
，
分別是點(diǎn) 關(guān)于直線
，
，
的對(duì)稱點(diǎn)，
，
分別為
，
，
，
的垂直平分線，
，故①正確；
，
分別為
，
的垂直平分線，
，
四邊形
為矩形，
，故②正確；
的垂直平分線，
為
，
，
，
，
，
同理得
，
，
，
，故③錯(cuò)誤；
5 / 21

故選：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是關(guān)鍵．
第二部分（非選擇題共 84 分）
二、填空題（共 16 分，每題 2 分）
9．若代數(shù)式
有意義，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
．
【分析】直接利用分式的定義進(jìn)而分析得出答案．
【解答】解：代數(shù)式
實(shí)數(shù) 的取值范圍是：
有意義，
．
故答案為：
．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式有意義的條件，正確把握分式的定義是解題關(guān)鍵．
10．分解因式：
．
【答案】
．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．
【解答】解：
．
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解決本題的關(guān)鍵．
11．已知點(diǎn) 與點(diǎn) 關(guān)于軸對(duì)稱，則
【分析】直接利用關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出
．
5
．
，
的值，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：
點(diǎn)
與點(diǎn)
關(guān)于軸對(duì)稱，
，
，
則
．
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的符號(hào)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
12．計(jì)算：
．
【分析】原式利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可．
【解答】解：原式
6 / 21

．
故答案為：
．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
13．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則等腰三角形的底角度數(shù)為
【答案】
或
．
或
．
【分析】分類討論：①當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時(shí)；②當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時(shí)；結(jié)合題意，
先分別求出頂角的大小，從而即可求出其底角的大?。?br>【解答】解：分兩種情況：
①如圖 1，當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時(shí)，
由題意可知：
，
，
，
，
；
②如圖 2，當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時(shí)，
由題意可知：
，
，
，
；
或
綜上，這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)為
．
7 / 21

故答案為：
或
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論
的思想是解題關(guān)鍵．
14．如圖，在△
，則
中，
的長(zhǎng)為
，
垂直平分
，垂足為，交
于
，若△
的周長(zhǎng)
為
8
．
【答案】8．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知
，再利用已知條件結(jié)合三角形的周長(zhǎng)計(jì)算即可．
【解答】解：
，
垂直平分
，
△
的周長(zhǎng)
，
，
，
，
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意等量代換思想
的應(yīng)用．
15．將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則的度數(shù)為
．
【分析】由平行線的性質(zhì)得到
【解答】解：如圖，
，求出
，
，再利用平角的定義可得
．
8 / 21

，
，
，
，
．
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角板有關(guān)的角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行、同位角相等．
16．閱讀材料：
如果整數(shù)
得
，
滿足
，
，其中
，
，
，
都是整數(shù)，那么一定存在整數(shù)
，，使
．
例如，
，
，
或
，
根據(jù)上述材料，解決下列問(wèn)題：
（1）已知
（2）已知
，
，
或
，
，若
，則
9
；
，
，
為整數(shù)），
．若
，則用含，的式子表
示
為
．
【答案】（1）9；
（2）
【分析】（1）先根據(jù)已知條件
或
．
，求出，然后根據(jù)平方根的定義求出答案即可；
（2）根據(jù)
，
，
，把用含有和的式子表示出來(lái)，最后根據(jù)平方根
定義求出答案即可．
【解答】解：（1）
，
，
，
，
，
9 / 21

故答案為：9；
（2）
，
，
，
，
，
或
，
故答案為：
或
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解及其應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和平方根的定義．
三、解答題（共 68 分，第 17-19 題每題 5 分，第 20-21 題每題 6 分，第 22-23 題每題 5 分，第 24 題 6 分，
第 25 題 5 分，第 26 題 6 分，第 27-28 題每題 7 分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．
17．計(jì)算：
．
【分析】先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，準(zhǔn)確熟
練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
18．因式分解：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
（2）
；
．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答．
10 / 21

【解答】解：（1）
；
（2）
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先
提公因式．
19．計(jì)算：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；
（2）
．
【分析】（1）根據(jù)分式的乘法計(jì)算即可；
（2）根據(jù)分式的除法法則計(jì)算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的乘法，除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
20．解方程：
．
【答案】
．
11 / 21

【分析】根據(jù)分式方程的解法步驟求解即可．
【解答】解：
，
，
，
解得：
，
經(jīng)檢驗(yàn)：
是原方程的解，
原方程的解是
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解法，解決本題的關(guān)鍵是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，檢驗(yàn)也是解分式方
程時(shí)經(jīng)常容易被忽略的步驟．
21．已知
（1）求
（2）求
，
．
的值；
的值．
【答案】（1）8；（2）0．
【分析】（1）將
按照完全平方公式展開(kāi)并將
按照完全平方公式展開(kāi)并將的值和
代入，求出
的值即可；
（2）將
代入求解即可．
【解答】解：（1）
，
，
；
（2）
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式，熟練掌握和靈活運(yùn)用它是本題的關(guān)鍵．
22．補(bǔ)全證明過(guò)程：如圖，已知
，
，
，
四個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，
，
，
．
求證：△
證明：
△
．
，
，
即
在△
和△
中，
12 / 21

△
△
．
【答案】
；
；
；
；
．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理求證即可．
【解答】證明：
，
，
即
，
在△
和△
中，
，
△
△
．
故答案為：
；
；
；
；
．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，在
（1）求證：
中，
，
于
．
；
（2）若
平分
分別交
、
于
、
，求證：
．
【分析】（1）由于
與
都是
的余角，根據(jù)同角的余角相等即可得證；
，再根據(jù)角平分線的定義
（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出
，
得出
，然后由對(duì)頂角相等的性質(zhì)，等量代換即可證明
．
【解答】證明：（1）
，
于
，
13 / 21

，
，
；
（2）在
同理在
又
中，
中，
，
．
平分
，
，
，
又
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形角平分線的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，難度適中．
24．如圖，在
（1）求
中，
的度數(shù)；
的形狀，并說(shuō)明理由．
，
，
，
分別平分
，
．
（2）試判斷
【答案】（1）
的度數(shù)是
；
（2）
是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解答．
【分析】（ 1）先證明
，再由
；
，
，得
，則
（2）先證明
，
，
，再求得
，
則
是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）
，
，
，
14 / 21

，
分別平分
，
，
，
，
，
，
的度數(shù)是
是等腰直角三角形，
理由：由（1）得
．
（2）
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查三角形的內(nèi)角和等于
等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．
、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、全等三角形的判定與性質(zhì)
25．為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，某校初二年級(jí)購(gòu)進(jìn)《紅樓夢(mèng)》和《西游記》兩種書(shū)籍，花費(fèi)分別是 14000 元
和 7000 元，已知《紅樓夢(mèng)》的訂購(gòu)單價(jià)是《西游記》訂購(gòu)單價(jià)的 1.4 倍，并且訂購(gòu)的《紅樓夢(mèng)》的數(shù)量比
《西游記》的數(shù)量多 300 本．設(shè)購(gòu)買(mǎi)《西游記》的單價(jià)為元．
（1）根據(jù)題意，用含的式子填寫(xiě)下表：
單價(jià)（元
數(shù)量（本
總費(fèi)用（元
《西游記》
7000
《紅樓夢(mèng)》
14000
（2）根據(jù)題意列出方程，求該校初二年級(jí)購(gòu)買(mǎi)的《紅樓夢(mèng)》和《西游記》的單價(jià)各為多少元？
（3）該校初二年級(jí)某班計(jì)劃再訂購(gòu)這兩種書(shū)籍共 10 本來(lái)備用，其中《紅樓夢(mèng)》訂購(gòu)數(shù)量不低于 3 本，且
兩種書(shū)總費(fèi)用不超過(guò) 124 元，這個(gè)班訂購(gòu)這兩種書(shū)籍有多少種方案？按照這些方案訂購(gòu)最低總費(fèi)用為多少
15 / 21

元？
【答案】（1）
，
，
；
（2）該校初二年級(jí)購(gòu)買(mǎi)的《西游記》的單價(jià)為 10 元，《紅樓夢(mèng)》的單價(jià)為 14 元；
（3）這個(gè)班訂購(gòu)這兩種書(shū)籍有 4 種方案，按照這些方案訂購(gòu)最低總費(fèi)用為 112 元．
【分析】（1）根據(jù)題意分別列出代數(shù)式即可；
（2）利用數(shù)量總價(jià) 單價(jià)，結(jié)合花費(fèi) 14000 元訂購(gòu)《朝花夕拾》的數(shù)量比花費(fèi) 7000 元訂購(gòu)《西游記》的
數(shù)量多 300 本，列出關(guān)于的分式方程，解方程即可；
（3）設(shè)這個(gè)班訂購(gòu) 本《紅樓夢(mèng)》，則訂購(gòu)
本《西游記》，根據(jù)“《紅樓夢(mèng)》訂購(gòu)數(shù)量不低于 3 本，
且兩種書(shū)總費(fèi)用不超過(guò) 124 元”，列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，結(jié)合
為
正整數(shù)，得出各訂購(gòu)方案，再求出各訂購(gòu)方案所需總費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)該校初二年級(jí)購(gòu)買(mǎi)《西游記》的單價(jià)為元，則購(gòu)買(mǎi)《紅樓夢(mèng)》的單價(jià)為
元，
購(gòu)買(mǎi)《西游記》的數(shù)量為
本，購(gòu)買(mǎi)《紅樓夢(mèng)》的數(shù)量為
本，
故答案為：
，
，
；
（2）據(jù)題意得：
，
解得：
，
經(jīng)檢驗(yàn)，
是所列方程的解，且符合題意，
，
答：該校初二年級(jí)購(gòu)買(mǎi)的《西游記》的單價(jià)為 10 元，《紅樓夢(mèng)》的單價(jià)為 14 元；
（2）設(shè)這個(gè)班訂購(gòu) 本《紅樓夢(mèng)》，則訂購(gòu)《西游記》本，
根據(jù)題意得：
解得：
，
，
又
為正整數(shù)，
可以為 3，4，5，6，
這個(gè)班共有 4 種訂購(gòu)方案，
方案 1：訂購(gòu) 3 本《紅樓夢(mèng)》，7 本《西游記》，所需總費(fèi)用為
方案 2：訂購(gòu) 4 本《紅樓夢(mèng)》，6 本《西游記》，所需總費(fèi)用為
方案 3：訂購(gòu) 5 本《紅樓夢(mèng)》，5 本《西游記》，所需總費(fèi)用為
（元；
（元；
（元；
16 / 21

方案 4：訂購(gòu) 6 本《紅樓夢(mèng)》，4 本《西游記》，所需總費(fèi)用為
（元．
，
按照這些方案訂購(gòu)最低總費(fèi)用為 112 元．
答：這個(gè)班訂購(gòu)這兩種書(shū)籍有 4 種方案，按照這些方案訂購(gòu)最低總費(fèi)用為 112 元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）正確列出代數(shù)式；
（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（3）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
26．如圖，根據(jù)要求回答下列問(wèn)題：
（1）作出△
關(guān)于軸對(duì)稱的圖形△
；
（2）點(diǎn) 關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn) 的坐標(biāo)是
（3）在軸上找一個(gè)點(diǎn) ，使得
；
的和最?。?br>【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）
（3）見(jiàn)解析．
【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—軸對(duì)稱，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題：
（1）根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同得到
描出，再順次連接即可；
（2）根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同進(jìn)行求解即可；
；
、
、
對(duì)應(yīng)點(diǎn)
、
、
的坐標(biāo)，
、
、
、
、
（3）如圖所示，連接
【解答】解：（1）△
交
軸于，點(diǎn) 即為所求．
關(guān)于軸對(duì)稱的圖形△ ，如圖所示：
17 / 21

；
（2）
點(diǎn)
關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為點(diǎn)
，
，
，
故答案為：
；
（3）如圖所示，連接
交軸于，點(diǎn) 即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的
性質(zhì)．
27．閱讀下列材料，回答問(wèn)題：
“我們把多項(xiàng)式
及
叫做完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做
如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種
方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解
因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值、最小值等，例如：分解因式
，我們
可以進(jìn) 行以下操作：
；再如：求代數(shù)式
，再利用平方差公式可得
的最小值，我們可以將代數(shù)式進(jìn)行如下變形：
，于是由平方的非負(fù)性可知，當(dāng)
時(shí)，
有最小值
．
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根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問(wèn)題：
（1）若多項(xiàng)式
是一個(gè)完全平方式，則常數(shù)
，代數(shù)式
4
．
（2）分解因式：
（3）試判斷代數(shù)式
【答案】（1）4；
的最小值為
．
與
的大小，并說(shuō)明理由．
（2）
（3）
；
；
，理由見(jiàn)解析．
，再根據(jù)多項(xiàng)式恒等性質(zhì)列出方程組解答便可；
【分析】（1）設(shè)
（2）仿樣例進(jìn)行解答便可；
（3）用差值解答便可．
【解答】解：（1）設(shè)
，則
，
，
解得
，
故答案為：4；
（2）
，
，
由平方的非負(fù)性可知，當(dāng)
時(shí)，
；
有最小值
，
故答案為：
；
（3）
．理由如下：
，
．
19 / 21

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，將多項(xiàng)式配方，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答是解題
的關(guān)鍵．
28.（1）如圖①，已知：
中，
，
，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)
，
于
，
于
，求證：
；
（2）拓展：如圖②，將（1）中的條件改為：
中，
，
、
、
三點(diǎn)都在直線上，并且
，
為任意銳角或鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論
是否成立？如成立，請(qǐng)證明；
若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）應(yīng)用：如圖③，在
中，
是鈍角，
，
，
，
，
直線
與
的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) ，若
的面積是 12，求
與
的面積之和．
【分析】（1）根據(jù)
相等得
直線
，由
，
直線
得
，而
，根據(jù)等角的余角
，即可得出結(jié)論；
，得出
證得
，則
，
（2）由
，則
，由
證得
即可得出答案；
，
（3）由
，
，得出
，由
證得
即可
，得出
，再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，得出
得出結(jié)果．
【解答】（1）證明：
直線
，
直線
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
20 / 21

，
，
；
（2）解：結(jié)論
成立；理由如下：
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
；
（3）解：
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
設(shè)
的底邊
上的高為，則
，
的底邊
上的高為，
，
，
，
，
與
的面積之和為 6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，結(jié)合題
目所給條件，得出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
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