教學(xué)基本信息
課題
向量的數(shù)乘運(yùn)算的應(yīng)用
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段：高中
年級(jí)
高一
教材
書名： 普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊 出版社：人教社A版 出版日期： 2019年 6月
教學(xué)設(shè)計(jì)參與人員
姓名
單位
聯(lián)系方式
設(shè)計(jì)者
廖北懷
北京景山學(xué)校
實(shí)施者
廖北懷
北京景山學(xué)校
指導(dǎo)者
雷曉莉
東城教師研修中心
課件制作者
廖北懷
北京景山學(xué)校
其他參與者
許云堯
北京景山學(xué)校
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
本節(jié)課由向量數(shù)乘運(yùn)算的定義出發(fā)，探究非零向量a與向量b共線的充要條件，即向量共線定理，并對該定理的應(yīng)用進(jìn)行探究和練習(xí)。在這個(gè)過程中，體會(huì)數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，以及向量在解決幾何問題中的工具性，提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動(dòng)
設(shè)置意圖
引入
上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了向量的數(shù)乘運(yùn)算，這節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量數(shù)乘運(yùn)算的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)之前，我們先復(fù)習(xí)一下向量的數(shù)乘的定義：
一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λ倍向量a，它的長度與方向規(guī)定如下：
(1) | λa | ＝ | λ | | a | ；
(2) 當(dāng) λ > 0 時(shí)，λa 與 a 的方向相同；
當(dāng) λ < 0 時(shí)，λa 與 a 的方向相反.
特別地，當(dāng) λ ＝ 0 時(shí)，λa ＝ 0.
(2) 當(dāng) λ > 0 時(shí)，λa 與 a 的方向相同；
當(dāng) λ < 0 時(shí)，λa 與 a 的方向相反.
特別地，當(dāng) λ ＝ 0 時(shí)，λa ＝ 0.
承上啟下，為本節(jié).課的學(xué)習(xí)做好鋪墊。
新課
探究1
若 b ＝ λa，那么 b 與 a 有怎樣的位置關(guān)系？
當(dāng) λ > 0 時(shí)，λa 與 a 的方向相同；
當(dāng) λ < 0 時(shí)，λa 與 a 的方向相反.
當(dāng) λ ＝ 0 時(shí)，λa ＝ 0.
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
規(guī)定零向量與任意向量平行.
平行向量也叫共線向量.
結(jié)論： b = λa b // a .
a
λa
探究2
若b//a ，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得b=λa？
(1)當(dāng)a≠0， b≠0時(shí)，存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.
(2)當(dāng)a≠0， b=0時(shí)，存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.
(3)當(dāng)a=0， b≠0時(shí)，不存在這樣的實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.
(4)當(dāng)a=0， b=0時(shí)，λ取任意實(shí)數(shù)，都使得b=λa.
結(jié)論：
所以當(dāng)b//a ，a≠0時(shí)，存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.

問題：
若存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa能推出 b//a ，a≠0嗎？
分析：
若a=0，則b=λa=0，此時(shí)，λ可以取任意實(shí)數(shù)，不唯一
.
定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.
判斷：
(1) 向量a(a≠0)與b共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb； ( )
(2) b//a的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)λ和μ，使得λa=μb； ( )
(3)若向量a與b不共線，且λa=μb，則實(shí)數(shù)λ=μ=0.
( )
應(yīng)用1
若存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa，則向量a與b共線。
1．證明向量共線
例如：已知，試證向量a，b共線。
2．證明兩直線平行
，且直線AB與CD不重合
直線 AB//CD
3．證明三點(diǎn)共線
A,B,C三點(diǎn)共線
或 或 ……
引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量的數(shù)乘運(yùn)算中其實(shí)就蘊(yùn)含了向量的平行，并從幾何角度進(jìn)行了適當(dāng)?shù)年U述，希望學(xué)生能直觀地角度加以理解。進(jìn)而得出要推證的定理。
提出探究問題
通過對不同情形的分析，培養(yǎng)學(xué)生思考問題的嚴(yán)密性，邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性
推理得出結(jié)論是正確的
進(jìn)一步提出要探究的問題引發(fā)學(xué)生的思考
學(xué)生體會(huì)反證法在證明中的作用
師生一起歸納得出定理的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力，語言表達(dá)能力
通過辨析題，讓學(xué)生加深對定理的理解與認(rèn)識(shí)
引導(dǎo)學(xué)生從多方面發(fā)現(xiàn)定理的運(yùn)用必要性解決問題的常見類型：
（1）證明向量共線，并舉例說明，(2) 證明兩直線平行,(3) 證明三點(diǎn)共線
培養(yǎng)學(xué)生善于思考，勇于探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣
例題
例1 已知任意兩個(gè)非零向量a，b，試作
，．猜想 A，B，C三點(diǎn)之
間的位置關(guān)系，并證明你的猜想．
猜想：A，B，C三點(diǎn)共線.
證明：
∴ A，B，C三點(diǎn)共線.
通過學(xué)生操作、觀察，掌握利用向量共線判斷三點(diǎn)共線的方法，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用向量知識(shí)解決問題的能力，發(fā)展直觀相象和邏輯推理素養(yǎng)。
新課
應(yīng)用2
若向量a(a≠0)與b共線，則 存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.
與非零向量a同向的單位向量為_______ .
與非零向量a共線的單位向量為_____.
進(jìn)一步提出定理的用法，加深對定理的理解
例題
例2 已知a，b是兩個(gè)不共線的向量，向量b－ta，
共線，求實(shí)數(shù)t的值．
解：∵ a，b不共線，
，
∵ a，b不共線，
∴a // b .
與已知矛盾.
讓學(xué)生熟練運(yùn)用向量共線定理，體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系。
總結(jié)
本節(jié)課從復(fù)習(xí)向量數(shù)乘運(yùn)算的定義出發(fā)，探究了非零向量a與向量b共線的充要條件（定理），并對該定理的應(yīng)用進(jìn)行了探究和練習(xí)。在這個(gè)過程中，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，向量在解決幾何問題中的工具性，讓我們的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以提升。
總結(jié)概況所學(xué)內(nèi)容，方法，讓學(xué)生形成反思的習(xí)慣，提升分析問題解決問題的能力。
業(yè)
1．已知a，b是不共線的向量，且 ，
， ，則( )．
(A) A，B，D三點(diǎn)共線
(B) A，B，C三點(diǎn)共線
(C) B，C，D三點(diǎn)共線
(D) A，C，D三點(diǎn)共線
2．已知若 ， 是不共線的向量，且， ，若a與b是共線向量，求實(shí)數(shù)k的值．
鞏固所學(xué)內(nèi)容

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