人教A版（2019）高一數(shù)學必修第二冊-平面向量數(shù)乘運算的坐標表示-1教案

這是一份人教A版（2019）高一數(shù)學必修第二冊-平面向量數(shù)乘運算的坐標表示-1教案，共13頁。

教學基本信息
課題
平面向量數(shù)乘運算的坐標表示
學科
數(shù)學
學段： 高中
年級
高一
教材
書名：普通高中教科書數(shù)學必修第二冊A版 出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年6月
教學設(shè)計參與人員
姓名
單位
設(shè)計者
趙猛
北京市廣渠門中學
實施者
趙猛
北京市廣渠門中學
指導者
雷曉莉
北京市東城區(qū)教師研修中心
課件制作者
趙猛
北京市廣渠門中學
其他參與者
教學目標及教學重點、難點
本節(jié)課主要研究平面向量數(shù)乘運算的坐標表示；探究如何用坐標表示兩個向量共線的充要條件。教學中關(guān)注向量具有幾何與代數(shù)雙重屬性，通過應(yīng)用向量共線的坐標表示判斷三點共線問題，解決定比分點確定分點的坐標公式的問題，體會向量坐標運算所帶來的優(yōu)越性，提高轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合和分類討論的意識，共設(shè)計4道例題。
教學過程(表格描述)
教學環(huán)節(jié)
主要教學活動
設(shè)置意圖
引入
在前面的學習中，我們理解了平面向量基本定理及其意義；借助平面直角坐標系，掌握了平面向量的正交分解及坐標表示；會用坐標表示平面向量的加、減運算.首先我們一起來回顧平面向量加、減運算的坐標表示.
已知向量，則
用文字語言表述為：兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和（差）.
請大家思考，我們當時探究的過程中是通過怎樣的路徑解決的呢？
我們首先已知向量的坐標，利用向量的正交分解，取與軸，軸方向相同的兩個單位向量，向量和向量作為一組基底，則向量可以分解為，向量可以分解為，接著利用向量的加、減運算，得到新向量，這里所得向量也是用向量和向量線性表示的.最后，我們再根據(jù)正交分解，利用向量的坐標定義，得到新向量對應(yīng)的坐標表示，從而形成由已知向量坐標到向量線性運算后所得向量的坐標的研究路徑.
回顧所學，提煉解決問題的一般路徑，引導學生進一步探索研究.
新課
我們知道，平面向量的線性運算包括加、減運算和數(shù)乘運算，那么平面向量的數(shù)乘運算該如何用坐標來表示呢？我們可否延續(xù)這樣的研究路徑，去探究平面向量數(shù)乘運算的坐標表示呢？
下面，我們來思考這樣的一個問題：
問題1 已知向量，你能得出()的坐標嗎?
我們延續(xù)研究平面向量加、減運算的坐標表示的路徑，已知向量的坐標為，利用向量的正交分解，取與軸，軸方向相同的兩個單位向量，向量和向量作為一組基底，則向量可以分解為，現(xiàn)在我們的目的求解的坐標，因此，根據(jù)向量數(shù)乘運算滿足分配律，可將表示為再根據(jù)向量數(shù)乘運算滿足結(jié)合律，得到，原式等于 此時，我們就得到了用基底向量和向量線性表示的形式，因此，我們再根據(jù)正交分解，利用向量的坐標定義，得到：
這就是平面向量數(shù)乘運算的坐標表示.
用文字語言表述為：實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標.
至此，我們得到了平面向量的加、減、數(shù)乘這三個線性運算的坐標表示.
我們來提煉一下整個探究過程中的方法，我們從已知向量出發(fā)，利用向量的正交分解，取一組基底向量和向量，將向量分解為用向量和向量的表達式，通過向量已有的加、減、數(shù)乘運算，得到和向量、差向量、以及數(shù)乘運算后所得向量的表達式，在正交分解情景下，從而得到加、減、數(shù)乘運算的坐標表示.實現(xiàn)了從已知向量坐標到向量線性運算后所得向量坐標的研究路徑.
下面我們通過一個例題，具體體會平面向量數(shù)乘運算的坐標表示.
已知，求的坐標.
根據(jù)平面向量數(shù)乘運算的坐標表示，我們得到：
根據(jù)平面向量加法運算的坐標表示，原式
即利用平面向量數(shù)乘運算的坐標表示，我們求出了這兩個向量的線性組合的坐標.
在學習平面向量的數(shù)乘運算時，我們利用向量的數(shù)乘運算刻畫了兩個向量共線的充要條件，接下來，一個自然的想法是，向量的共線是否也能通過坐標來表示呢？
下面我們一起探究問題2：如何用坐標表示兩個向量共線的條件？
首先，請大家回憶什么是向量共線？
我們稱：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量.并且我們規(guī)定：零向量與任意向量平行（或共線）.
接著，回憶兩個向量共線的充要條件是什么？
前面我們已經(jīng)證明過兩個向量共線的充要條件，即對于向量，其中，共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)，使現(xiàn)在，我們的目標是用坐標表示兩個向量共線的充要條件，因此我們需要先將向量的坐標表示出來，這樣，我們的核心問題就轉(zhuǎn)化到了將向量用坐標表示了.
因此，我們首先設(shè)設(shè)，其中請大家思考這里，那對應(yīng)的坐標有何要求呢？不難發(fā)現(xiàn)，向量，即對應(yīng)的橫縱坐標至少有一個不為零.
因為向量共線，根據(jù)向量共線的充要條件，所以存在唯一的實數(shù)，使得根據(jù)平面向量數(shù)乘運算的坐標表示，等于根據(jù)相等向量的定義，得到如下方程組：
我們現(xiàn)在的目標是用向量坐標來表示這一條件，因此我們要對方程
組進行消元，消去，那么如何進行消元呢？
有的同學可能會說，將方程組的兩個方程相除，消去，得到：，這里我們要注意，該條件中要求且，而這與至少有一個不為零這一條件顯然是不等價的，忽略了且這一情況，因此這種消元的方式不嚴謹.
同理，消元得到的這一條件中，顯然忽略了且這一情況，同樣是不可取的.
或許，還有同學選擇將方程組中分別除到等式左側(cè)，得到，從而得到這一條件，而這一條件中要求且，同樣的，這與至少有一個不為零這一條件顯然是不等價的，忽略了或這兩種情況，所以這種消元的方式也不嚴謹.
那么我們怎么消元，才能避開出現(xiàn)不嚴謹?shù)那闆r呢？我們不妨采取交叉相乘的方式，得到，從而得到
這里同樣的，我們檢驗一下，當或當時，該條件是否依舊成立？
當時，由方程得，，此時，條件成立.
當時，由方程得，，此時，條件仍然成立.由此，我們判斷這個條件是嚴謹?shù)模?br>因此，通過以上分析和探究，我們最終得到：已知向量，其中則向量共線的充要條件是.
我們來提煉一下整個探究過程中的方法，上述過程我們探究了向量共線的充要條件的坐標表示，過程中，我們將我們已有的向量形式的充要條件坐標化，利用坐標運算，得到坐標形式下的充要條件，本質(zhì)上是將幾何的問題代數(shù)化的一個過程，這也為我們后續(xù)解決向量共線問題提供了兩條路徑.
下面，我們利用這一充要條件來解決一個向量共線的問題：
已知，且//，求.
因為平行向量又稱共線向量，所以根據(jù)兩個向量共線的充要條件的坐標表示，得到解得
以上是向量共線的充要條件的坐標表示的直接應(yīng)用.
溫故知新，通過對平面向量加、減運算的坐標表示的研究路徑的復習，引入本節(jié)新課，探究平面向量數(shù)乘運算的坐標表示。建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力.
應(yīng)用本節(jié)課所學，進一步探索、解決平面向量共線的充要條件的坐標表示，提高學生對坐標運算的應(yīng)用意識，體會坐標運算的簡潔性.
過程中關(guān)注代數(shù)運算的嚴謹性.
直接應(yīng)用，深化概念.
例題
已知，判斷三點之間的位置關(guān)系.
請大家利用本節(jié)課所學內(nèi)容解決這一問題.
我們要判斷三點之間的位置關(guān)系，需要從“形”的角度入手，在平面直角坐標系中作出三點，如圖，觀察圖形，我們猜想三點共線，想要證明三點共線，我們可將問題轉(zhuǎn)化為證明含有公共點的任意兩個向量共線的問題，比如：向量，共線的問題.利用今天學習的兩個向量共線的充要條件的坐標表示，或者兩個向量共線的概念均可證明這一問題.下面我們從這兩個角度分別求解，先考慮坐標表示：
方法1，根據(jù)向量的坐標與點坐標之間的聯(lián)系，
得到向量

因為所以根據(jù)向量共線的充要條件的坐標表示，得到//因為直線，直線有公共點，所以三點共線.這里我們要關(guān)注兩點，第一點，由得到的//，我們的依據(jù)是坐標形式下的向量共線的充要條件.另外，在證明三點共線的問題時，要注意轉(zhuǎn)化成為具有公共點的向量共線的問題.
下面我們再通過向量共線的充要條件的另外一種形式，證明向量，共線.
在剛剛得到向量，坐標的基礎(chǔ)上，由得到即：存在一個實數(shù)，使得又因為直線，直線有公共點，同樣的，我們證明了三點共線.這里我們關(guān)注到，在解法2中，通過向量的坐標運算，得到了 利用向量共線充要條件的數(shù)乘運算形式，最終證明了三點共線.
我們來提煉一下上述過程中的兩種處理策略，我們首先將證明三點共線的問題轉(zhuǎn)化為證明具有公共點的兩個向量，向量，共線的問題，方法1應(yīng)用了本節(jié)課所學習的坐標形式下的向量共線的充要條件，證明了向量，共線.方法2，則側(cè)重了向量共線的概念，從向量間滿足的數(shù)乘運算關(guān)系，證明了向量，共線.這兩種方法也成為我們后續(xù)解決向量共線問題的兩種基本策略.
下面看這樣一個問題：
設(shè)是線段上的一點，點的坐標分別是
（1）當是線段的中點時，求點的坐標；
（2）當是線段的一個三等分點時，求點的坐標.
這里我們要求點的坐標，可以根據(jù)向量的坐標與點坐標之間的聯(lián)系，將其轉(zhuǎn)化為以原點O為起點，為終點的向量的坐標.同理，點的坐標可轉(zhuǎn)化為向量的坐標.如圖，根據(jù)平面向量基本定理，我們可以選取已知向量為一組基底，將向量用向量線性表示，再代入坐標，實現(xiàn)向量的坐標化表示.
下面我們具體求解：
（1）當是線段的中點時，
因為的坐標分別是， 所以向量
如圖，我們的目標是用已知向量為一組基底，將向量用向量線性表示，顯然向量是以為鄰邊的平行四邊形的對角線的一半，利用平行四邊形法則，由向量的線性運算可知：向量 ，代入坐標，等于，等于，所以點的坐標是
相信同學們還會有不同的解法，我們再通過另外一種角度來思考這個問題，當是線段的中點，根據(jù)上面例題的求解過程帶給我們的啟示，如圖，這里我們可以看到點三點共線，且向量，我們現(xiàn)在的目標是求點的坐標，因此，需要將這個向量的表達式坐標化，這里我已知點的坐標，想要表示向量的坐標，還需設(shè)出點的坐標，通過坐標運算，利用方程的思想，尋找之間滿足的關(guān)系.下面我們沿著這條思路具體求解.
設(shè)點的坐標，則向量，
因為，且，
代入坐標，所以
根據(jù)相等向量的定義，所以得到方程組 解得
所以，點的坐標是
下面我們一起小結(jié)一下這兩個方法，方法一是將所求點的坐標轉(zhuǎn)化為向量的坐標，結(jié)合幾何圖形，利用已知向量為一組基底，通過線性運算求解得到的，突出了“以形助數(shù)”的特點；方法二則從代數(shù)方法的角度入手，設(shè)出所求點的坐標，將線段的分點用向量表達式，即：向量來刻畫，再把向量表達式坐標化，利用方程的思想，把問題轉(zhuǎn)化為求解一個二元一次方程組的問題，體現(xiàn)了“以數(shù)輔形”的特點.最終，得到了線段中點的坐標.
下面我們提煉出這一結(jié)論：
若點的坐標分別為，線段的中點的坐標為，則
此公式為線段的中點坐標公式.
接下來我們再看第二小問，當是線段的一個三等分點時，求點的坐標.
根據(jù)第一問的已知經(jīng)驗，我們同樣可以從幾何和代數(shù)兩個角度分別求解.這里我們只介紹方法一，我們從幾何圖形的角度考慮，如圖，當是線段的一個三等分點時，有兩種情況，因此我們需要分類討論
（i）如圖，我們現(xiàn)在的目標是用已知向量為一組基底，將向量用向量線性表示，顯然這里不可能直接得到這樣的線性關(guān)系，因此，我們先將向量放在△，利用三角形法則，得到向量，接著我們的目標轉(zhuǎn)化為將向量用基底向量表示，那如何構(gòu)建向量與向量的聯(lián)系呢？
這里，我們觀察圖形，可以得到向量或向量，這里我們的目標是用基底向量表示，因此，我們選擇將向量代換為，得到接著，我們就可以在△中，將向量分解為向量，得到原式等于繼續(xù)整理，得到代入坐標，原式 即 點的坐標是
（ii）同理，第二類情況，如圖，我們現(xiàn)在的目標仍然是用已知向量為一組基底，將向量用向量線性表示，顯然這里同樣不能直接得到這樣的線性關(guān)系，因此，我們先將向量放在△，利用三角形法則，得到向量，同樣的，我們需要將向量用基底向量表示，構(gòu)建向量與向量的關(guān)系.根據(jù)第一類討論的經(jīng)驗，這里我們將向量代換為，得到，接著，在△中，將向量分解為向量，得到原式等于繼續(xù)整理，得到代入坐標，原式 那么，點的坐標是
以上我們利用向量的線性運算及其坐標表示這一工具，充分討論，得出了線段的中點和三等分點的坐標公式.這里，我們不妨對比一下這兩個公式，從結(jié)構(gòu)上看，我們看到中點的坐標公式中，橫縱坐標分母都是2，而三等分點的坐標公式中，橫縱坐標分母都是3，大家思考這是為什么呢？不難發(fā)現(xiàn)，中點，三等分點，實質(zhì)上都是幾何圖形線段上的一個特殊的分點位置，中點將線段等分為兩份，三等分點則將線段等分為三份，因此在公式的代數(shù)表達上也有著類似的體現(xiàn)，所以說幾何特征與代數(shù)表達之間有著緊密的聯(lián)系.通過以上的探究，我們也體會到了利用向量的坐標運算在解決問題中所帶來的優(yōu)越性.
那前面我們探究的是線段的中點和三等分點的坐標表示，能否將上述特殊位置推廣至一般情況呢？
我們來探究如下問題：
顯然，該問題是前面兩問的推廣，前面我們向量和分別滿足的是向量、或的關(guān)系，而這里只是將向量間的數(shù)乘關(guān)系用一個實數(shù)來表示，將問題一般化.因此，我們可以延續(xù)前面的思路求解.我們可以考慮第一種解法，利用平面向量基本定理，用基底向量表示向量，求得向量的坐標，從而求得點的坐標.也可以采取第二種策略，應(yīng)用方程的思想，通過設(shè)點的坐標，將已知的向量式用坐標表示.前面第2小問，我們應(yīng)用的是方法一，這里我們再用方法二進行探究.
首先，設(shè)點的坐標為，則向量
因為向量，坐標化，
則有
根據(jù)平面向量數(shù)乘運算的坐標表示，原式等于
根據(jù)相等向量的定義，得到方程組：
解得
所以，點的坐標是.
我們稱上述探究的問題為定比分點問題，這里的點坐標稱為定比分點坐標公式，
其中，當時，點的坐標是顯然，中點坐標公式是定比分點坐標公式的一種特例.至此，我們通過由特殊到一般的數(shù)學方法，延續(xù)前面探究問題的一般思路，拓展延伸，求出了一般情況下的定比分點坐標公式.
下面，我們來梳理，提煉一下整個過程的方法.本題將所求的點坐標轉(zhuǎn)化為一個向量的坐標，利用幾何關(guān)系，找到向量的線性運算表達式，再將向量表達式坐標化，得到所求向量的坐標，最終求出所求點的坐標.形成了從代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題，再回到代數(shù)問題的一個回路.
通過例題的講解，引導學生用代數(shù)方法刻畫幾何對象的特征，進而用代數(shù)方法證明幾何關(guān)系.體會向量的工具性.
通過對圖形的分析，找尋向量間的關(guān)系，引導學生在研究平面向量問題的過程中，充分挖掘題目中已有圖形的特征.培養(yǎng)學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學思想，增強學生的應(yīng)用意識.
通過兩種方法的對比，在學生體會不同解決策略的本質(zhì)的同時，對比幾何和代數(shù)兩種方法，感受到向量坐標運算的優(yōu)勢，引入坐標運算解決幾何問題的必要性.
延續(xù)第一問的探索思路，繼續(xù)挖掘線段三等分點中的幾何圖形特征，選取已知向量作為基底，應(yīng)用平面向量基本定理求解.培養(yǎng)學生分類討論的意識、轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合思想.
對比第二問的方法，第三問采取代數(shù)法，應(yīng)用本節(jié)課學習的坐標運算，應(yīng)用方程思想進行求解，感受代數(shù)運算在解決幾何問題中的優(yōu)越性.
通過設(shè)未知量求解向量的過程，讓學生體會數(shù)學建模和方程思想在用向量法研究幾何問題中的應(yīng)用.
總結(jié)
同學們，今天我們在學習了平面向量加、減運算的坐標表示的基礎(chǔ)上，學習了平面向量數(shù)乘運算的坐標表示，得到以下結(jié)論：
已知向量的坐標為，則并利用數(shù)乘運算的坐標表示，得到了向量共線的充要條件的坐標表示，即：
若向量，其中，則向量共線的充要條件是.
并在已有的坐標運算的基礎(chǔ)下，進而探索求解得到了定比分點的坐標公式，特別地，當時，得到了中點坐標公式，在求解過程中，我們充分體會了利用向量研究幾何性質(zhì)與代數(shù)表達的優(yōu)越性.
通過對平面向量加、減運算、數(shù)乘運算的坐標表示的學習和研究，相信同學們對于向量數(shù)量積運算是否也能用坐標表示？有了一定的想法，大家也不妨嘗試著去主動探究.
通過本節(jié)課例題的分析與講解，顯然面對幾何問題時，對比選取基底，構(gòu)造向量間的線性運算關(guān)系的方法，引入向量的坐標運算后，我們可以應(yīng)用向量的坐標運算，將幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)運算，從而形成代數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)關(guān)系“翻譯”為幾何特征，即：利用向量的坐標運算實現(xiàn)了幾何問題的代數(shù)表達，這也為后面學習解析幾何、立體幾何，研究“形”的問題，提供了基礎(chǔ)與便利.這里在處理代數(shù)關(guān)系時，要注意明確我們的運算對象，準確地掌握運算法則.
通過小結(jié)與展望，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提煉本節(jié)課的解決問題的基本策略，提高學生的概括能力.再一次體會平面向量坐標運算的引入，為利用向量法研究幾何圖形的性質(zhì)與度量帶來了便捷.
作業(yè)
1.若點，則與是否共線？
2.已知點，向量，點是線段的三等分點，求點的坐標.
幫助學生鞏固所學內(nèi)容，通過基本應(yīng)用對本節(jié)課知識進行檢測與反饋.