教學基本信息
課題
平面向量加、減運算的坐標表示
學科
數(shù)學
學段： 高中
年級
高一
教材
書名：普通高中教科書數(shù)學必修第二冊A版 出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年6月
教學設計參與人員
姓名
單位
設計者
蘇萌萌
北京市第二十五中學
實施者
蘇萌萌
北京市第二十五中學
指導者
雷曉莉
北京市東城區(qū)教師研修中心
課件制作者
蘇萌萌
北京市第二十五中學
其他參與者
教學目標及教學重點、難點
本節(jié)課主要探究平面向量加、減運算的坐標表示，在教學中始終抓住向量具有幾何與代數(shù)雙重屬性，引導學生在了解向量知識網(wǎng)絡結構的基礎上，進一步熟悉向量的坐標表示及運算法則、運算律；熟悉向量代數(shù)化的重要作用和在實際生活中的應用，加強方程思想和數(shù)學應用意識。
教學過程(表格描述)
教學環(huán)節(jié)
主要教學活動
設置意圖
引入
在前面的學習中，我們學習了平面向量的加、減運算，從圖形的角度明確了向量線性運算的幾何意義；隨后，我們又借助平面直角坐標系，通過正交分解的方法將向量用唯一的有序?qū)崝?shù)對表示出來；引入坐標后可使向量中形的運算轉(zhuǎn)化成數(shù)的運算，將數(shù)與形緊密地結合起來.本節(jié)課我們將一起繼續(xù)學習平面向量加、減運算的坐標表示.
回顧所學，讓學生自由思考，引導學生進一步觀察.研探.
新課
問題1已知向量向量你能得出的坐標嗎？向量的坐標是怎么得到的？
在平面直角坐標系中，設與軸，軸方向相同的兩個單位向量分別為，取作為一組正交分解的基底，則向量可以分解為.
同理，向量的坐標為，即向量可由與軸、軸方向相同的兩個單位向量向量和向量表示為
那么，將向量和向量作和，得到，
首先去括號，觀察式子結構，根據(jù)平面向量加法的交換律，我們可以將x2i和y1j交換順序
又因為向量的數(shù)乘運算滿足分配律：(λ+μ)a=λa+μa
進一步化簡得，
從而得到向量的坐標表示，即向量.
因此我們得到，兩個向量的和的坐標表示，就是將兩個向量的橫坐標相加作為和向量的橫坐標，縱坐標相加作為和向量的縱坐標.
同理，我們也可利用上述方法，得到向量和向量的差為.
就此，我們得到了平面向量加、減運算的坐標表示.
因此，兩個向量和或差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和或差.
方法提煉：因為向量是可以進行運算的，在前面的學習中我們已經(jīng)掌握了向量間符號運算、幾何運算的方法，那么這兩者與向量的坐標運算有著緊密的聯(lián)系，我們利用正交分解的意義將向量的坐標表示回歸到幾何本質(zhì)，再通過向量的幾何運算，得到在正交分解情景下和向量與差向量的表達式，從而得到加、減運算坐標的表達形式.
例 已知向量求的坐標.
根據(jù)平面向量加法的坐標表示，我們可以得到：橫坐標相加作為和向量的橫坐標，縱坐標相加作為和向量的縱坐標.
同理，根據(jù)平面向量減法的坐標表示，橫坐標相減得到差向量的橫坐標，縱坐標相減得到差向量的縱坐標.
得到兩向量的差為
練習 已知向量若求的坐標.
此題中的坐標已知，與的和向量的坐標已知，
所以我們不妨先設要求的未知向量的坐標為.
向量根據(jù)平面向量加法的坐標表示，
得到即，
得到方程組；進一步得到，即
方法提煉：任意向量坐標，與表示此向量的有向線段的起點坐標，終點坐標，三者“知二求一”，在求解過程中往往用到設未知量的方法，應用方程思想求解.
問題2 如圖所示，已知點點你能得出向量的坐標嗎？
根據(jù)上述，我們先在平面直角坐標系中畫出示意圖，其中點為向量的起點，點為向量的終點.
要想求一個向量的坐標，我們可以把這個向量平移到以原點為起點的位置，用平移后的終點坐標來表示向量的坐標，那么這里有沒有更簡單的方法呢？
根據(jù)平面向量坐標表示的定義可以知道， 點的坐標就是向量的坐標，點的坐標就是向量的坐標，由此，我們作出向量，將點的坐標與向量的坐標統(tǒng)一起來，進而，再根據(jù)平面向量減法的定義，用向量表示與向量的差你表示向量，即 .根據(jù)平面向量減法的坐標表示；
進一步表示為.
因此，一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.
方法提煉：向量的坐標只與起點、終點的相對位置有關，而與向量所在的位置無關；當一個向量確定以后，向量的坐標就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標不變；在求一個向量的坐標時，可以先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再用終點坐標減去起點坐標即可得到該向量的坐標，簡記為“任意向量坐標=終點坐標-起點坐標”.
鞏固練習，已知兩點坐標，分別求的坐標.
①
由上述探究結論，我們知道，向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.
向量是由指向的有向線段，點為起點，點為終點，
因此向量的坐標就應該用點坐標減去點坐標，
即向量；
向量是由指向的有向線段，
因此向量的坐標就應該用點坐標減去點坐標，
即.
②
同理可得：.
在前面的學習中，我們學習了相反向量的概念，即長度相等，方向相反的向量；任意向量與其相反向量的和是零向量. 觀察上題中的結果，不難發(fā)現(xiàn)，如果我們已經(jīng)求出了向量??的坐標表示，也可以通過相反向量的關系得到向量??的坐標表示.
溫故知新，通過對向量坐標定義的復習，引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力.
通過思考，得到向量加法、減法的坐標表示，提高學生分析問題、推理能力.
通過例題講解，讓學生明白怎樣求向量加法、減法的坐標運算，提高學生解決問題的能力。
練習提高，深化概念.
通過探究，總結如何由向量起點、終點坐標求向量的坐標，提高學生解決問題的能力，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想.
通過鞏固練習，進一步理解向量加法、減法的坐標運算，提高學生解決問題的能力.
例題
例 若點，則與有什么位置關系？證明你的猜想.
我們在平面直角坐標系中畫出四個點的位置，猜想與是平行的.數(shù)學中的結論需要有嚴格的數(shù)據(jù)作為支撐.
要想判斷和的位置關系，問題可以轉(zhuǎn)化為研究向量和向量的位置關系;我們來具體通過向量的坐標計算，證明猜想
由點，點坐標可得向量；
同理，由點，點坐標可得向量.
所以，.根據(jù)向量相等的定義，向量和向量的方向是相同的，即向量和向量是平行向量；這兩個向量是平行的，那么與之對應的直線呢？向量的平行和直線的平行有什么不同之處？
其本質(zhì)區(qū)別就是平行向量可以是重合的，而平行的直線不能重合！
因此，我們還要借助圖形，辨析兩線段最準確的位置關系；
通過畫圖，我們得到兩條直線并不重合，所以.
例 如圖所示，已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為求頂點的坐標.
首先我們思考一個問題，題目中的已知向量有哪些，能否用它們來表示點D的坐標? 點D的坐標又可以等價于什么呢?
根據(jù)向量坐標表示的定義可以知道，點D的坐標就是向量OD的坐標.
因此這道題可以由點坐標的求解轉(zhuǎn)化成向量坐標的求解問題；觀察圖形，相信同學們不難發(fā)現(xiàn)：
題目中已知三點坐標即向量坐標，能否通過向量的運算求得向量的坐標呢？其實，我們只需把向量OD分別放在以A，B，C三點為頂點的三角形中即可利用三角形法則求解
例如：
①路徑1：可以將向量表示成向量和向量的和，即，方程中的和都是未知量，但因為向量和向量是相等向量，
因此：.帶入向量坐標，求得向量OD坐標為（2,2）.
所以頂點的坐標為.
②路徑2：我們可以將向量表示成向量和向量的和，
即
根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，求得向量BD坐標為（2,2）
因此：.因此，將上面求得的坐標帶入求得
所以頂點的坐標為.
③路徑3：我們還可以將向量表示成向量和向量的和，即，方程中的和都是未知量，但因為向量和向量是相等向量，
所以頂點的坐標為.
以上三條路徑，都是在找尋題目中兩個已知的向量使其和向量為向量OD，進一步應用向量加法的三角形法則進行求解，具體來說就是把向量OD放到三角形OAD，三角形OBD，三角形OCD中，雖然在選擇上有所不同，但本質(zhì)都是在利用向量加法的三角形法則進行求解.
通過三條路徑的計算，我們也不難發(fā)現(xiàn)，這其中蘊含著策略的選擇，如果我們選擇了三角形OAD、三角形OCD這兩條路徑，則可以直接利用相等向量求解出向量OD，
但如果我們選擇利用三角形OBD，則需要先求出向量BD，才能求出向量OD的坐標表示.
因此同學們在動筆做題之前，一定要先分析好題目中各個向量之間的關系，尋求最佳的路徑！
在實際學習中，我們了解到平行四邊形的性質(zhì)還有很多，利用不同的性質(zhì)還可以得到本題的不同解答，構造出以向量OD為一條邊的不同三角形.
如利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，就可以得到路徑4
④路徑4：連接對角線，設相交于點，則點既是的中點，又是的中點.由點是的中點，得向量.
同理，由點是的中點，得向量，
所以，即.
于是，
將向量坐標帶入，得，
所以頂點的坐標為.
上述問題四種路徑的求解過程中，都是利用圖形中已有的向量關系，通過向量的加減運算求出目標向量.
除了上述方法，同學們還有其他思路，求解未知點或者未知向量的坐標嗎？
我們還可以，利用前面練習中，在求解向量坐標問題中使用過的設未知量求解的方法除了上述方法，同學們還有其他思路求解未知點或者未知向量的坐標嗎？
我們還可以，利用前面在求解向量坐標問題中使用過的設未知量求解的方法.
先來分析一下設未知量求解目標對象的過程，我們不妨先設點設點D(x,y ，
坐標中有兩個未知量和需要求解，求解的過程需要建立方程組；
如何建立方程，需要我們仔細觀察幾何圖形中的關系；
在之前的學習中，我們已經(jīng)研究過平面幾何中的特殊位置關系和數(shù)量關系
因為題目中明確指出了該四邊形為平行四邊形，所以我們應用平行四邊形中的不同性質(zhì)，應該能構造不同的方程組求解點坐標.
根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)，我們得到線段和線段平行且相等，即向量，根據(jù)兩個向量相等，則它們的坐標相等，向量坐標已知，向量坐標未知，聯(lián)系方程思想，構建兩向量坐標間的關系，從而求解問題.
解法2：因為向量，向量
，
又因為，
所以，解得.所以頂點的坐標為.
方法小結，解法2在求解過程中主要的方法是尋找與D有關的相等向量，例如：向量AB和向量DC，再比如：向量AD和向量BC等等.
至此，我們探究了求解此題的兩種方法.解法1：利用向量加法的三角形法則求解，解法2：設未知量求解.我們來比較一下兩種解法在思想方法上的異同點.
解法1利用平面向量加法的平三角形法則，通過求解向量OD的坐標，進而得到點D的坐標，解題過程中應用了數(shù)形結合的思想方法.
解法2找尋題目中的等量關系，直接設未知量求解，解題過程中應用了方程思想.
但兩種方法的解題核心是不變的，都是通過找尋一組相等的向量，其中一個向量已知，另一個未知，利用坐標的相等，建立方程組求解.
通過例題的講解，引導學生用代數(shù)方法刻畫幾何對象，進而用代數(shù)方法論證幾何關系.體會向量的工具性.
通過對圖形的分析，找尋向量間的關系，引導學生在研究平面向量問題的過程中，充分挖掘題目中已有圖形的特征.培養(yǎng)學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學思想，增強學生的應用意識.
比較三條路徑在計算中的不同之處，引導學生思考對于解題策略的選擇.
繼續(xù)挖掘題目中幾何圖形的特征，構造輔助線，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想.
復習回顧設未知量求解向量的過程，讓學生體會數(shù)學建模和方程思想在用向量法研究幾何問題中的應用.
方法類比，引導學生思考了，挖掘題目中已知圖形的特征，利用圖形中元素的基本關系列出向量等式，結合向量的坐標運算，使計算與圖形融為一體.
總結
今天我們學習了平面向量加、減運算的坐標表示，得到了以下結論：
1.若則；
.
2.若則.
3.數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的過程。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇適當?shù)倪\算路徑，求得運算結果等。在這一節(jié)的學習中，我們需要明確運算對象為向量，掌握其運算法則，明確向量坐標運算的步驟和順序，將向量坐標形式的運算與學習過的向量符號形式、幾何圖形形式的運算聯(lián)系起來.
4.在向量坐標運算問題的求解中，常常需要利用已有的平行和相等關系，通過設未知量的方法，建立方程組求解；因此向量法是以基本的幾何圖形及其相互關系為出發(fā)點解決問題，由此可以把眾多的平面幾何知識串聯(lián)起來，形成有機聯(lián)系的整體.平面向量坐標運算的引入，為用向量研究幾何圖形的性質(zhì)與度量帶來了便捷.
通過總結，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力,提高學生的數(shù)學運算能力和邏輯推理能力，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合思想和方程思想.
作業(yè)
已知作用在坐標原點的三個力分別為求作用在原點的合力的坐標.
幫助學生鞏固所學內(nèi)容，對本節(jié)課知識進行檢測與反饋.

相關教案

人教A版 (2019)必修 第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示教案及反思：

這是一份人教A版 (2019)必修 第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示教案及反思，共10頁。

高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示教案：

這是一份高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示教案，共4頁。

數(shù)學人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐標表示教案：

這是一份數(shù)學人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐標表示教案，共4頁。

英語朗讀寶

相關教案 更多

人教A版 (2019)必修 第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示教案

人教A版 (2019)必修 第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示教案
高中人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐標表示教學設計

高中人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐標表示教學設計
2020-2021學年6.3 平面向量基本定理及坐標表示精品教案設計

2020-2021學年6.3 平面向量基本定理及坐標表示精品教案設計
必修 第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示教案設計

必修 第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示教案設計
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
學業(yè)水平
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部