人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第二冊-向量的數(shù)量積-1教案

這是一份人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第二冊-向量的數(shù)量積-1教案，共8頁。教案主要包含了課后作業(yè)1參考答案等內(nèi)容，歡迎下載使用。

教學(xué)基本信息
課題
向量的數(shù)量積
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段：高中
年級
高一
教材
書名：普通高中教科書 數(shù)學(xué)必修 第二冊 出版社：人民教育出版社 A版
出版日期：2019年6月
教學(xué)設(shè)計參與人員
姓名
單位
設(shè)計者
趙麗艷
北京市龍?zhí)吨袑W(xué)
實(shí)施者
趙麗艷
北京市龍?zhí)吨袑W(xué)
指導(dǎo)者
雷曉莉
東城區(qū)教師研修中心
課件制作者
趙麗艷
北京市龍?zhí)吨袑W(xué)
其他參與者
康杰
北京教科院
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
本節(jié)主要通過物理中功的模型，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義；通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義；探究向量數(shù)量積的重要性質(zhì)，并能運(yùn)用數(shù)量積的概念及性質(zhì)解決相關(guān)問題，從中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
教學(xué)重點(diǎn)：向量數(shù)量積的概念、向量投影的概念以及投影向量的意義．
教學(xué)難點(diǎn)：投影向量的意義．
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)
環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動
設(shè)置
意圖
創(chuàng)設(shè)
問題
情境
引出
新課
前面我們類比實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)了向量，類比實(shí)數(shù)的加法學(xué)習(xí)了向量的加法，類比實(shí)數(shù)的減法學(xué)習(xí)了向量的減法，知道了向量加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．向量的加法運(yùn)算是向量與向量相加的運(yùn)算，結(jié)果是向量，向量的減法運(yùn)算是向量與向量相減的運(yùn)算，結(jié)果仍是向量，向量的數(shù)乘運(yùn)算可以看作是實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算，結(jié)果也是向量，自然我們會類比實(shí)數(shù)的乘法提出問題：向量與向量能否相乘呢？相乘的結(jié)果還是向量嗎？
激發(fā)學(xué)生探究新知的興趣，
引出新課．
探究向量
數(shù)量
積的
概念
問題1：回顧之前學(xué)習(xí)向量線性運(yùn)算的過程，我們都是按照怎樣的路徑學(xué)習(xí)的？
物理模型→概念→性質(zhì)→運(yùn)算律→應(yīng)用．
問題2：物理知識中，有沒有關(guān)于兩個矢量相乘的背景?
一起回顧物理中學(xué)過的功的概念：
如圖所示，如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的的功為
,
其中是F與s的夾角．
觀察這個公式的特點(diǎn)，
等號左邊的W（功）是標(biāo)量，等號右邊的力F和位移s都是矢量．
問題3：功是一個標(biāo)量，由力和位移兩個向量來確定，能否把“功”看成兩個“向量”相乘的結(jié)果呢？受此啟發(fā)，要定義向量的乘法，我們需要先定義什么？
觀察力做功的計算公式，其中除了涉及力和位移兩個向量，還涉及力與位移的夾角，所以我們先定義向量夾角．
已知兩個非零向量，，O是平面上的任意一點(diǎn)，作，
，則
叫做向量與的夾角．
注意：向量夾角遵循“同起點(diǎn)”原則.
思考 如圖，在中，你能指出向量與的夾角嗎？向量與的夾角呢？
向量與的夾角為，
向量與的夾角為.
問題4：根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，兩個向量有哪些特殊的位置關(guān)系？這些特殊的位置關(guān)系時，兩個向量的夾角是什么？
（1）當(dāng)向量與同向時，，當(dāng)時，向量與同向；
（2）當(dāng)向量與反向時，，當(dāng)時，向量與反向；
（3）當(dāng)向量與垂直時，，反之，若，則向量與垂直，記作．
定義向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量的數(shù)量積（或內(nèi)積（inner prduct）），記作，即
．
對定義進(jìn)行說明：
（1）首先注意：“”中間的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替；
（2）“規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零．
問題5：對比向量的加減法，兩個非零向量的數(shù)量積是向量還是數(shù)量？它與哪些量有關(guān)？數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果的符號由什么決定？
（1）兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量；
（2）這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及夾角有關(guān).
；
；
．
通過物理中功的模型引出向量夾角概念及向量數(shù)量積概念．
例題
講解
鞏固
新知
例1 已知，，與的夾角，求.
解：
.
例2 已知，，，求與的夾角.
解：由得
.
因為，所以.
注意：（1）求向量夾角時，注意夾角范圍；
（2）已知，，，中任意三個量，可求另外一個量.
通過例題，鞏固加深對數(shù)量積定義的理解，在知三求一過程中體會方程思想．
深化理解定義
探究投影向量的表示
問題6：我們在研究力F所做的功W時得到，力F在位移方向上的分力對功W起到最關(guān)鍵的作用，如何做力F在位移方向上的分力?
找力在位移方向的分力的過程抽象成數(shù)學(xué)問題就是通過投影找投影向量的過程，接下一起認(rèn)識向量投影和投影向量．
如圖1，設(shè),是兩個非零向量，，,我們考慮如下的變換：過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，向量叫做向量在向量上的投影向量.
如圖2，我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.
圖1 圖2
追問1:投影向量是向量，它的大小和方向如何表示呢？
數(shù)乘運(yùn)算中得到如下結(jié)論：任一向量都可表示為它的模與它同方向的單位向量的乘積：
=| | （是與同向的單位向量）.
追問2：投影向量有類似結(jié)論嗎？
問題7：如圖，設(shè)與方向相同的單位向量為，與的夾角為，那么與，，之間有怎樣的關(guān)系？
顯然，與共線，于是
.
下面我們探究與，的關(guān)系，進(jìn)而給出的明確表達(dá)式.
我們分為銳角、直角、鈍角以及，等情況進(jìn)行討論.
當(dāng)為銳角時，與方向相同，，
，所以
；
當(dāng)為直角時，，所以
；
當(dāng)為鈍角時，與方向相反，，所以

，
即.
當(dāng)時，，所以
；
當(dāng)時，，所以
；
從以上的討論可知，對于任意的，都有
.
借助力做功模型，引出向量投影與投影向量的概念，通過分類討論，探究投影向量的明確表達(dá)式，加深對投影向量意義的理解.
探究向量的數(shù)量積的性質(zhì)
在探究投影向量的表達(dá)式時，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個非零向量處于特殊位置關(guān)系時，投影向量也具有特殊性，那它們的數(shù)量積又有怎樣的特殊性？
問題8：當(dāng)向量特殊時，它們的數(shù)量積有怎樣的特殊性？
特殊向量：零向量、單位向量.
零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
追問：設(shè)為任一非零向量， 是單位向量，與的數(shù)量積有怎樣的特殊性？
.
證明：因為；
；
所以.
此性質(zhì)體現(xiàn)了單位向量與任一向量數(shù)量積的可交換性.
問題9：當(dāng)兩向量的位置關(guān)系特殊時，它們的數(shù)量積有怎樣的特殊性？
設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，若與垂直，它們的數(shù)量積有怎樣的特殊性？
.
證明：當(dāng)向量時，， ，
所以.
反之當(dāng)時，由于，
則， ，因此.
設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，若與共線，它們的數(shù)量積有怎樣的特殊性？
當(dāng)與同向時，；
當(dāng)與反向時，.
特別地，或.
問題10：設(shè)，是非零向量，與有怎樣的大小關(guān)系？
由可以得到.
證明：由數(shù)量積的定義，
可以導(dǎo)出，
由于， 即，
所以.
通過對特殊向量及向量特殊位置關(guān)系時數(shù)量積的探究，總結(jié)向量數(shù)量積的性質(zhì)，深化理解向量的數(shù)量積.
總結(jié)
1．向量與的夾角；
2．向量與的數(shù)量積；
已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量的數(shù)量積（或內(nèi)積（inner prduct）），記作，即
．
3．向量在向量上的投影向量：；
（是與方向相同的單位向量）
4．?dāng)?shù)量積的重要性質(zhì)：
設(shè),是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則
（1）；
（2）；
（3）當(dāng)與同向時，；
當(dāng)與反向時，.
特別地，或；
此外，由還可以得到
（4）.
對本節(jié)課知識進(jìn)行總結(jié)回顧，構(gòu)建向量數(shù)量積的知識體系.
作業(yè)
作業(yè)1
1．已知，，和的夾角是，求.
2．已知中，，當(dāng)或時，試判斷的形狀.
3．已知，為單位向量，當(dāng)向量， 的夾角分別等于，，時，求向量在向量上的投影向量.
作業(yè)2
結(jié)合下面問題寫出你的學(xué)習(xí)感想.
你認(rèn)為本節(jié)中哪個知識最重要？最有用？需要注意的關(guān)鍵之處是什么？
【課后作業(yè)1參考答案】
1．.
2．當(dāng)時，為鈍角三角形；當(dāng)時，為直角三角形.
3．投影向量分別為，0，.
實(shí)施
應(yīng)用