課程基本信息
課例編號
2020QJ10SXRA045
學科
數(shù)學
年級
高一
學期
第一學期
課題
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
教科書
書名：普通高中教科書數(shù)學必修第一冊 A版
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019 年 6 月
教學人員
姓名
單位
授課教師
李宏艷
北京市第五十中學分校
指導教師
李穎
北京市東城區(qū)教師研修中心
教學目標
教學目標：
借助單位圓掌握公式一，以及同角三角函數(shù)間的關(guān)系，初步體會三角函數(shù)的周期性；
加深三角函數(shù)概念的認識，體會三角函數(shù)的基本性質(zhì)，以及內(nèi)在聯(lián)系；
在同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用中，發(fā)展數(shù)學運算，數(shù)學推理的素養(yǎng).
教學重點：發(fā)現(xiàn)、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系并簡單應(yīng)用.
教學難點：對三角函數(shù)的基本性質(zhì)間的內(nèi)在聯(lián)系的把握
教學過程
時間
教學
環(huán)節(jié)
主要師生活動
2分鐘
一、
溫
故
舊
知
上節(jié)課我們學習了一種新的函數(shù)——三角函數(shù)，并對它的一些性質(zhì)進行研究，請同學們回憶：
問題1:
（1）是如何定義三角函數(shù)的呢？
定義
（2）根據(jù)定義以及點P所在象限可以判斷函數(shù)值的符號規(guī)律，比如點P在第二象限時，三個三角函數(shù)值的符號是什么？
師生活動：教師引導學生回顧上節(jié)課的內(nèi)容.
設(shè)計意圖：為本節(jié)課問題的提出和解決做出鋪墊.
5分鐘
3分鐘
二、
公
式
一
的
探
究
探究一：終邊相同角的同一三角函數(shù)值之間關(guān)系
問題2：
你能發(fā)現(xiàn)“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等”這個規(guī)律嗎？
你能用符號語言去表示“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等”嗎？
稱這組公式為公式一
從這組公式可知,三角函數(shù)值有“周而復始”的變化規(guī)律，說明角每繞原點旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復出現(xiàn)，這也是“單位圓上的點繞圓周旋轉(zhuǎn)整數(shù)周仍然回到原來位置”特征的反映.
師生活動：引導學生發(fā)現(xiàn)“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等”，并把它符號化得到公式一，討論公式一體現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)以及它的作用
設(shè)計意圖：引導學生通過建立相關(guān)知識的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)公式一及其所體現(xiàn)的三角函數(shù)周期性取值的規(guī)律，這是“單位圓上的點繞圓周旋轉(zhuǎn)整數(shù)周仍然回到原來位置”特征的反映.在此過程中，可以培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點看問題.
三、
學
以
致
用
例1：求下列三角函數(shù)值：
分析：
(1)我們可以利用三角函數(shù)的定義，在單位圓中,畫出角確定終邊的位置,求與單位圓交點坐標來求解,但是角不太好快速畫出，現(xiàn)在我們學習了公式一，能不能找到與
終邊相同的角，且這個角是在0~2， ，說明與的終邊相同，由公式一可知，它們的三角函數(shù)值相等.
(2)找到與終邊相同的角，且這個角是在0~2，，說明與的終邊相同，由公式一，則它們的三角函數(shù)值相等.
（3）是負角，找到與終邊相同的角，且這個角是在0~2，說明與的終邊相同，由公式一，則它們的三角函數(shù)值相等.
解：
追問：通過這三個小題的解答，你認為公式一有什么作用？
利用公式一可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0~2角的三角函數(shù)值，
由公式一體現(xiàn)的這種周期性，使得以后我們想研究在整個定義域中三角函數(shù)的性質(zhì)，只要討論清楚三角函數(shù)在上的性質(zhì)即可.
師生活動：學生思考回答，教師引導學生總結(jié)公式一的作用.
設(shè)計意圖：利用公式一可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0~2角的三角函數(shù)值，同時，由公式一可以發(fā)現(xiàn)，只要討論清楚三角函數(shù)在上的性質(zhì)，那么三角函數(shù)在整個定義域中的性質(zhì)就清楚了.在此過程中，可以培養(yǎng)學生邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng).
7分鐘
四、
同
角
三
角
函
數(shù)
基
本
關(guān)
系
的
探
究
探究二：同角的不同三角函數(shù)值之間關(guān)系
1.提出問題
問題3.1：公式一表明，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，那么，終邊相同的角的不同三角函數(shù)值之間是否也有某種關(guān)系呢？
分析：
（1）首先通過定義，我們知道三個三角函數(shù)的值都是由角的終邊與單位圓的交點坐標所唯一確定的，所以它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系.
（2）再者終邊相同的角有無數(shù)多個，不方便研究，怎么辦呢？
可以利用公式一，把這些終邊相同角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為同一個角的三角函數(shù)值，這時就可以將這個問題進一步轉(zhuǎn)化為“研究同一個角的三個三角函數(shù)值之間的關(guān)系” .
師生活動：引導學生討論，利用公式一，先把問題“終邊相同的角的不同三角函數(shù)值之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“同一個角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系”，然后讓學生自主探究，得出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
設(shè)計意圖：提出問題的關(guān)鍵在于終邊相同的角的三個三角函數(shù)的值都由單位圓上同一點的坐標所唯一確定，它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系；由“終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等”引出“終邊相同的角的不同三角函數(shù)之間有什么關(guān)系”的問題，再轉(zhuǎn)化為“同一個角的三個三角函數(shù)之間關(guān)系”的研究，可以培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.
2.發(fā)現(xiàn)并證明結(jié)論
問題3.2 ：給一個角,在單位圓中你能找到與點P坐標對應(yīng)的線段嗎？
從而建立x與y關(guān)系嗎？
過P作x軸的垂線，交x軸于M, |x|=OM, |y|=PM,
這時會發(fā)現(xiàn)?OMP是直角三角形，而且OP=1.由勾股定理有，OM2+MP2 =1, 因此，x2+y2=1，由定義可得
追問：你能證明這個結(jié)論嗎？
當角為象限角時，過P作x軸的垂線，交x軸于M，因為?OMP是直角三角形，而且OP=1.由勾股定理有，OM2+MP2 =1, 因此，x2+y2=1，即
當角的終邊與坐標軸重合時,例如:角的終邊與y軸的非正半軸重合時，OM=0, MP=1仍然有OM2+MP2 =1,其它同理，公式仍成立.
綜上，角為任意角時，都有.
問題3.3我們發(fā)現(xiàn)了同一個角的正弦、余弦的平方和等于1，大家想想，同一個角的三
角函數(shù)值還有什么關(guān)系？
同一個角的正切值與正弦值、余弦值之間會不會有某種關(guān)系？
由定義可知：
追問1：角為任意角時，公式都成立嗎？
要使公式成立，首先要使等式兩邊都有意義，等號左邊：正切函數(shù)的定義域是等號右邊：作為分母不等于0，即x≠0，所以，角的終邊不與y軸重合，即所以在這個公式中
追問2：我們用和單位圓相關(guān)的勾股定理說明了，你能在單位圓中構(gòu)造圖形解釋這個公式嗎？
把這個公式寫成分式的形式，你能在單位圓中找到對應(yīng)的線段嗎？
,過點B作OB的垂線，交OP于點C,因為,所以,因為OB=1，
師生活動：學生思考、獨立完成作圖，說理，討論角適用的范圍，教師適時引導.
設(shè)計意圖：通過對公式的探究，感受與單位圓相關(guān)的勾股定理與同角三角函數(shù)基本關(guān)系的一致性，培養(yǎng)學生運用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的能力，提高學生思維的嚴謹性，發(fā)展學生邏輯推理的素養(yǎng).
3分鐘
五、
公
式
理
解
與
認
識
同角三角函數(shù)基本關(guān)系的理解與認識
1.我們來一起分析兩個公式的結(jié)構(gòu)特點：
（1）：
第一個公式從左向右看,與的和為1;
也可以從右向左看,1也可以用替換.
.是的簡寫，讀作“的平方”，不能將寫成，前者是的正弦的平方，后者是的平方的正弦,表達不同的式子.
（2）：同一個角正弦與余弦的商等于這個角的正切.
第二個公式從左往右看，是把角的正弦余弦化為這個角正切，從右往左看，是把角的正切化為這個角的正弦余弦的比，所以看到角的正切就應(yīng)該馬上想到這個角的正弦與余弦的關(guān)系；同樣，看到正弦余弦商的關(guān)系就應(yīng)該想到了這個角的正切.
2同角的理解
這個“同角”應(yīng)該怎么理解？
（1）關(guān)系式中的角要相同，而且與角的形式無關(guān).
比如：這里的“同角”是15°
這里的“同角”是
這里的“同角”是
（2）只要能使得函數(shù)有意義，對任意一個角關(guān)系式都成立.
就像第二個公式中，為了使余弦值存在，x≠0，角的終邊不在軸上，也就是要
所以在這個公式中除了，其它角都可以.
3.公式等價變形：
當然，公式還可以寫成一些其它的形式供我們在解題中使用
第一個公式可變?yōu)?, 把公式進行開方運算的時候，，這里正負號不是兩個全都要，要受角所在象限的限制，二者取其一.舉例
第二個公式可變?yōu)?也可以進行乘法運算.
這兩個公式等價嗎？
師生活動：教師引導學生進一步理解公式
設(shè)計意圖：分析結(jié)構(gòu)特征，體會數(shù)學中變與不變，無限與有限的辯證聯(lián)系，感受數(shù)學公式的結(jié)構(gòu)美.通過感念辨析，強化學生對同角三角函數(shù)基本關(guān)系式結(jié)構(gòu)的認知，給出從數(shù)到字母再到式子的變化，加深學生對同角的認識.
5分鐘
六、
學
以
致
用
例2 ：已知,為第三象限角，求，的值.
思考1：條件“α是第三象限角”有什么作用？
解：由，得
因為為第三象限角，那么，
從而
這里不能表述為，因為受為第三象限角的限制，余弦值只能取負值.
思考２：若是把題目中的“角是第三象限的角”這個條件舍去，該如何解答？
解：因為，所以是第三象限或第四象限角，
如果為第三象限角，那么，
如果為第四象限角，那么，
小結(jié)本題：
如果已知某個三角函數(shù)值，且角所在象限是確定的，那么可以通過同角三角函數(shù)關(guān)系式，求出其它三角函數(shù)，而且只有一種結(jié)果.
如果只給了某個三角函數(shù)值，那么要按角所在象限進行討論，分別寫出答案，這時一般有兩組結(jié)果.所以在求值中，確定角的終邊位置是解題關(guān)鍵.
師生活動：學生獨立思考，師生共同分析解題思路，教師給出解答示范．
設(shè)計意圖：例1把角的象限給出，直接應(yīng)用公式解題，降低難度，變式中去掉角范圍，提升對角所在象限判斷的重要性.
例3：已知，求，的值.
有學生的做法是：因為，所以，則
請問這樣做可以嗎？為什么？
分析:不對的，首先因為為第二或第四象限角， 所以不能僅取
解: 因為為第二或第四象限角，
如果為第二象限角，
同理，如果為第四象限角，，
補充說明：在第二象限中，其實是可以用為代表計算正弦值和余弦值，因為雖然在第二象限中正切值等于的角有無數(shù)多個，但是都是與終邊相同的角，那公式一可以保證它們的三角函數(shù)值是相同的，所以可以由作為代表計算，在第四象限中，就不能用代替計算，因為它們?nèi)呛瘮?shù)值的符號不同.
變： ，求，的值.
解： 解得
因為，為第二或第四象限角
如果為第二象限角，那么
如果為第四象限角，那么
師生活動：學生分析解題思路，教師給出解答示范．
設(shè)計意圖：以同角三角函數(shù)的基本關(guān)系為基礎(chǔ)，以方程為核心思想，旨在幫助學生從方程的角度理解同角基礎(chǔ)關(guān)系，明確“知一求二”的基本方法，進而以方程滲透消元思想.
練習：教科書第184頁練習1、2、3
師生活動：學生做練習，教師根據(jù)學生練習情況給予反饋．
2分鐘
七、
歸納
總結(jié)、
布置
作業(yè)
這節(jié)課我們學習了公式一以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
1. 公式一體現(xiàn)了三角函數(shù)周而復始的變化規(guī)律，同角基本關(guān)系式反映了各種三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系.
2.思想方法：利用數(shù)形結(jié)合思想發(fā)現(xiàn)并證明同角關(guān)系式，利用方程思想解決了求值問題 .
3.而且我們收獲了一個經(jīng)驗：三角函數(shù)是“一個背景下定義的三個函數(shù)”，因此可以預見它們一定有內(nèi)在聯(lián)系，而且可以相互轉(zhuǎn)化，這是發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的指路明燈，其中蘊含的思想可遷移以后我們的學習生活中.
師生活動：先由學生交流討論，再由教師總結(jié).
設(shè)計意圖：從知識內(nèi)容和研究方法兩個方面對本節(jié)課進行小節(jié)．
布置作業(yè)：教科書習題5.2第6、11、12題．

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5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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