教材引入&任意角的三角函數(shù)定義
【導(dǎo)入】因?yàn)槿齻€(gè)三角函數(shù)都是由角的終邊與單位圓的交點(diǎn)確定的,所以它們之間 必然有內(nèi)在的關(guān)系.如圖,設(shè)點(diǎn)P 是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn),過(guò)P 作 軸的垂線,交 軸與M,則△OMP是直角三角形,且OP=1,由勾股定理有
也就是說(shuō),同一個(gè)角α的正弦余弦的平方和等于1,商等于正切.
OM2+MP2=1,即 ,也就是
顯然,當(dāng)α的終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí),這個(gè)公式也成立.根據(jù)三角函數(shù)的定義,當(dāng) 時(shí),有:
這兩個(gè)公式稱為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.★ 基本關(guān)系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函數(shù)關(guān)系,但 并不是不同的角這兩個(gè)關(guān)系一定不成立,sin230°+cs2150°=1也成立,不過(guò)這 種關(guān)系不具有一般性.
★ “同角”指的是廣義上的,與表達(dá)形式無(wú)關(guān),30°和30°是同角,α和α也是同角
★ sin2α是(sinα)2的縮寫,讀作“sinα的平方”,不能寫成sinα2
【例1】已知 ,求 , 的值.
【解】因?yàn)? ,所以α是第三或者第四象限角.
由 ,得 ,則 或
若α是第三象限角,則 ,所以
若α是第四象限角,則 ,所以
【證法一】由 知 ,所以 ,于是
且 ,
【例3】已知 ,α為第三象限角,求 , 的值.
由 ,得 ,則 或
又因?yàn)棣潦堑谌笙藿?,則 ,所以
【題型1】利用弦切互化求值.
【例6】已知 ,求下列各式的值.
【解】由 ,得
【題型2】與 有關(guān)的求值.
【例7】已知 ,求下列各式的值.
【解】
【題型4】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明恒等式.
【例8】已知 ,求證:
【證明】由 ,可得
即 ,也就是
整理得: ,即
展開得: ,即
【例9】化簡(jiǎn):
【證明】由題意可知 ,
所以sinA>0,csA<0

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

版本: 人教A版 (2019)

年級(jí): 必修 第一冊(cè)

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