一、單選題（本大題共8小題）
1．為了解某地區(qū)居民使用手機(jī)掃碼支付的情況，擬從該地區(qū)的居民中抽取部分人員進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)老、中、青三個年齡段的人員使用手機(jī)掃碼支付的情況有較大差異，而男、女使用手機(jī)掃碼支付的情況差異不大.在下面的抽樣方法中，最合理的是（ ）
A．抽簽法B．按性別分層隨機(jī)抽樣
C．按年齡段分層隨機(jī)抽樣D．隨機(jī)數(shù)法
2．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．角的終邊與單位圓O相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．已知角，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為90～139mmhg和60～89mmhg，心臟跳動時，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)為120/80mmhg為標(biāo)準(zhǔn)值．設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓（mmhg），為時間（min）．給出以下結(jié)論：
①此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)為140/90mmhg ②此人的血壓在健康范圍內(nèi)
③此人的血壓已超過標(biāo)準(zhǔn)值 ④此人的心跳為80次/分
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．孩子在成長期間最需要父母的關(guān)愛與陪伴，下表為2023年中國父母周末陪孩子日均時長統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)該圖，下列說法錯誤的是（ ）
A．2023年母親周末陪伴孩子日均時長超過8小時的占比大于
B．2023年父親周末陪伴孩子日均時長超過6小時的占比大于
C．2023年母親周末陪伴孩子日均時長的5個時段占比的極差為
D．2023父母周末陪伴孩子日均時長的10個時段占比的中位數(shù)為
7．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個不同的零點(diǎn)，，則（ ）
A．B．C．D．
8．如果對于任意整數(shù)都是有理數(shù)，我們稱正整數(shù)是“好整數(shù)”，下面的整數(shù)中哪個是最大的“好整數(shù)”（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多選題（本大題共4小題）
9．下列說法中正確的是（ ）
A．度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位
B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度
D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長短有關(guān)
10．下列各式中，值是的是（ ）
A．B．
C．D．
11．2023年是共建“一帶一路”倡議提出十周年．某校組織了“一帶一路”知識競賽，將學(xué)生的成績（單位：分，滿分：120分）整理成如圖的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），則（ ）
A．該校競賽成績的極差為70分
B．的值為0.005
C．該校競賽成績的平均分的估計(jì)值為90.7分
D．這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為81
12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．是的圖象的一條對稱軸
C．將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個單位長度，所得到的函數(shù)解析式為
D．在內(nèi)恰有3個零點(diǎn)
三、填空題（本大題共4小題）
13．某班級有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)測試平均成績是92分，如果30名男生的平均成績?yōu)?0分，那么20名女生的平均成績?yōu)? 分.
14．已知，，，，則 .
15．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的值為 .
16．的取值范圍是 ．
四、解答題（本大題共6小題）
17．已知
(1)化簡；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
18．據(jù)調(diào)查，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民用水量標(biāo)準(zhǔn)（單位：噸），月用水量不超過的部分按平價收費(fèi)，超出的部分按議價收費(fèi)．為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了戶居民某年的月均用水量（單位：噸），其中月均用水量在內(nèi)的居民人數(shù)為39人，并將數(shù)據(jù)制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求和的值；
(2)若該市政府希望使的居民月用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)噸，試估計(jì)的值；
(3)在（2）的條件下，若實(shí)施階梯水價，月用水量不超過噸時，按3元噸計(jì)算，超出噸的部分，按5元噸計(jì)算．現(xiàn)市政府考核指標(biāo)要求所有居民的月用水費(fèi)均不超過70元，則該市居民月用水量最多為多少噸？
19．已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的值域；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)，求m的取值范圍．
20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮（其覆蓋面積為k），這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積（單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇．
(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；
(2)求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份．
（參考數(shù)據(jù)：）．
21．已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖象的一條對稱軸．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記作，已知常數(shù)，且函數(shù)在內(nèi)恰有2023個零點(diǎn)，求常數(shù)與的值．
22．已知二次函數(shù)滿足：
(1)求的解析式；
(2)求的單調(diào)性與值域（不必證明）；
(3)設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的值．
答案
1．【正確答案】C
【分析】根據(jù)抽樣方法確定正確答案.
【詳解】依題意，“居民人數(shù)多”， “男、女使用手機(jī)掃碼支付的情況差異不大”，
“老、中、青三個年齡段的人員使用手機(jī)掃碼支付的情況有較大差異”，
所以最合理的是按年齡段分層隨機(jī)抽樣.
故選：C
2．【正確答案】B
【分析】AC項(xiàng)角度與弧度混用，排除AC；D項(xiàng)終邊在第三象限，排除D.
【詳解】因?yàn)?，終邊落在第四象限，且與角終邊相同，
故與的終邊相同的角的集合
即選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)AC書寫不規(guī)范，選項(xiàng)D表示角終邊在第三象限.
故選：B.
3．【正確答案】A
【分析】利用三角函數(shù)定義以及同角三角函數(shù)之間的平方關(guān)系即可得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可知，
又，則.
故選：A
4．【正確答案】B
【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以.
故選.
5．【正確答案】C
【分析】根據(jù)所給函數(shù)解析式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得到此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)，從而判斷①②③，再計(jì)算出最小正周期，即可判斷④.
【詳解】因?yàn)槟橙说难獕簼M足函數(shù)式，
又因?yàn)?，所以，即?br>即此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)為140/90mmhg，故①正確；
因?yàn)槭湛s壓為mmhg，舒張壓為mmhg，均超過健康范圍，
即此人的血壓不在健康范圍內(nèi)，故②錯誤，③正確；
對于函數(shù)，其最小正周期（min），
則此人的心跳為次/分，故④正確；
故選：C
6．【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意結(jié)合統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】由題圖可知：2023年母親周末陪伴孩子日均時長超過8小時的占比為，A說法正確；
2023年父母周末陪伴孩子日均時長超過6小時的占比為，B說法正確；
2023年母親周末陪伴孩子日均時長的5個時段占比的極差為，C說法錯誤；
2023年父母周末陪伴孩子日均時長的10個時段占比的中位數(shù)為，D說法正確．
故選：C．
7．【正確答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的變換可得，即可結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性得，進(jìn)而，即可求解.
【詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到的圖象，
再向右平移個單位長度，得到的圖象．
當(dāng)時，，令，，
則關(guān)于t的方程在上有兩個不等的實(shí)數(shù)根，，所以，
即，則，所以．
故選：B
8．【正確答案】A
【分析】利用三角函數(shù)定義域代入選項(xiàng)逐個驗(yàn)證即可得出結(jié)論.
【詳解】考慮三角函數(shù)的定義域，
對于選項(xiàng)A，當(dāng)時，對于任意整數(shù)，都是整數(shù)，滿足題意；
對于B，當(dāng)時，對于整數(shù)，沒有意義，不滿足題意；
同理可得對于C和D，當(dāng)或時，代入驗(yàn)證可知不滿足題意；
所以可知最大“好整數(shù)”為1
故選：A
9．【正確答案】ABC
【分析】根據(jù)角度制與弧度制的定義，以及角度制和弧度制的換算公式，以及角的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】根據(jù)角度制和弧度制的定義可知，度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位，所以A正確；
由圓周角的定義知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正確；
根據(jù)弧度的定義知，一定等于弧度，所以C正確；
無論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長短無關(guān)，只與弧長與半徑的比值有關(guān)，故D不正確.
故選：ABC.
10．【正確答案】ACD
【分析】利用兩角差的余弦公式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式即可逐個選項(xiàng)判斷.
【詳解】
，A正確；
，B不對；
，C正確；
，D正確.
故選：ACD
11．【正確答案】BC
【分析】利用頻率分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，樣本的極差、平均值、百分位數(shù)相關(guān)知識計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)橛深l率分布直方圖無法得出這組數(shù)據(jù)的最大值與最小值，
所以這組數(shù)據(jù)的極差可能為70，也可能為小于70的值，所以A錯誤；
因?yàn)?，解得?br>所以B正確；
該校競賽成績的平均分的估計(jì)值分，所以C正確．
設(shè)這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為，
則，解得，
所以D錯誤．
故選：BC．
12．【正確答案】AB
【分析】利用三角函數(shù)的定義求得，從而得到的解析式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)與平移的結(jié)論，逐一分析各選項(xiàng)即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以由三角函?shù)的定義得，，
所以，
則
，
A: ，故A正確；
B：因?yàn)椋允堑膱D象的一條對稱軸，故B正確；
C：將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個單位長度，
所得到的函數(shù)解析式為，故C錯誤；
D：令，得，
解得，
僅，1，即符合題意，
即在內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，故D錯誤.
故選：AB
13．【正確答案】95
【分析】利用平均數(shù)的求法計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)所求平均成績?yōu)?，由題意得，∴.
故95
14．【正確答案】/
【分析】根據(jù)題意，分別求得，再由余弦的差角公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榍?，則，
又，所以，且，
所以，則，
，
所以
.
故
15．【正確答案】
【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，得，再根據(jù)函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，可知，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而得解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，
則，即，
又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?br>故；
又因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)對稱，則，，所以，，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則，得；
所以，
故答案為.
16．【正確答案】
【分析】由和角的余弦公式變形給定函數(shù)，再利用輔助角公式變形，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)用含的關(guān)系式表示，再借助二次函數(shù)最值求解即得.
【詳解】
由，得，
令，則，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的取值范圍為.
故
17．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡即可；
（2）利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)?br>，
所以.
（2）由誘導(dǎo)公式可知，即，
又是第三象限角，所以，
所以.
18．【正確答案】(1)，
(2)16.6噸
(3)20.64噸
【分析】（1）頻率分布直方圖總面積為1，由此即可求解.
（2）先判斷所求值所在的區(qū)間，再按比例即可求解.
（3）按題意列不等式即可求解.
【詳解】（1），
用水量在的頻率為，（戶）
（2），
，
（噸）
（3）設(shè)該市居民月用水量最多為噸，因?yàn)椋裕?br>則，解得，
答：該市居民月用水量最多為20.64噸．
19．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式化簡可得的表達(dá)式，結(jié)合，確定的范圍，即可求得答案；
（2）由，確定，根據(jù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的零點(diǎn)，列出相應(yīng)不等式，即求得答案.
【詳解】（1）由題意得
，
當(dāng)，則，
則，則，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?br>（2）由題可得，當(dāng)時，，
，且在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)，
而在有且僅有2個零點(diǎn)，分別為，
故，即.
20．【正確答案】(1)選擇模型符合要求，
(2)六月份
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長速度即可選得哪一個模型，再利用待定系數(shù)法即可求出該模型的解析式；
（2）由（1）結(jié)合已知可得，再結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可得出答案.
【詳解】（1）函數(shù)與在上都是增函數(shù)，
隨著的增加，函數(shù)的值增加的越來越快，
而函數(shù)的值增加的越來越慢，
由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，因此選擇模型符合要求，
根據(jù)題意可知時，；時，，
所以，解得，
故該函數(shù)模型的解析式為；
（2）當(dāng)時，，元旦放入鳳眼蓮的覆蓋面積是，
由，得，
所以，
又，
所以，即鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是六月份．
21．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）由周期求得，再由對稱性求得得解析式；
（2）由圖象變換求得，然后可得的表達(dá)式，令，化為，則關(guān)于的二次方程必有兩不等實(shí)根，則，則異號，然后分類討論在上解的個數(shù)后得出結(jié)論．
【詳解】（1）由三角函數(shù)的周期公式可得，
令，得，
由于直線為函數(shù)的一條對稱軸，所以，，
得，由于，則，
因此，；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，
得到函數(shù)，
再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，
橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，
，
令，可得，
令，得，
則關(guān)于的二次方程必有兩不等實(shí)根，則，則異號，
（i）當(dāng)且時，
則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個根，
從而方程在也有偶數(shù)個根，不合乎題意；
（ii）當(dāng)時，則，當(dāng)時，只有一根，有兩根，
所以，關(guān)于的方程在上有三個根，
由于，則方程在上有個根，
由于方程在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根，
方程在區(qū)間上有兩個實(shí)數(shù)解，
因此，關(guān)于的方程在區(qū)間上有2024個根，不合乎題意，
（iii）當(dāng)，則，
當(dāng)時，只有一根，有兩根，
所以，關(guān)于的方程在上有三個根，
由于，則方程在上有個根，
由于方程在區(qū)間上只有一個根，
方程在區(qū)間上無實(shí)數(shù)解，
因此，關(guān)于的方程在區(qū)間上有2023個根，合乎題意；
此時，，，
綜上所述：．
22．【正確答案】(1)
(2)在上單調(diào)遞減，值域是．
(3)
【分析】（1）利用換元法，令，代入化簡即可求出函數(shù)的解析式；
（2）可設(shè)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得值域；
（3）由（2）知，，，結(jié)合的單調(diào)性可知當(dāng)時，時，，由恒成立，即為恒成立，設(shè)，只需不等式在上恒成立，討論的取值范圍即可求解.
【詳解】（1）由題意，令，則，
有，故
（2）函數(shù)，由，即定義域?yàn)椋?br>且在上單調(diào)遞減及單調(diào)遞增
所以在上單調(diào)遞減．
因?yàn)?，，所以的值域?br>（3）結(jié)合（2）結(jié)論知在上單調(diào)遞減且，
又在上單調(diào)遞增且
故當(dāng)時，時，，
由恒成立，
即在上恒成立，設(shè)，
則不等式在上恒成立，
①當(dāng)時，不等式化為，顯然不滿足恒成立；
②當(dāng)時，將代入得，與矛盾；
③當(dāng)時，只需，
綜上，實(shí)數(shù)的值為-1．
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了換元法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立，考查了分類討論的思想.

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