一、單選題（本大題共8小題）
1．?dāng)?shù)列的一個通項公式為（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直線的斜率為，則（ ）
A．3B．C．1D．
3．已知是拋物線上一點，點到的焦點的距離為9，到軸的距離為4，則（ ）
A．4B．5C．8D．10
4．在數(shù)列中，已知，則（ ）
A．4B．C．1D．2
5．若圓與圓恰有兩個公共點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如圖，三角形蜘蛛網(wǎng)是由一些正三角形環(huán)繞而成的圖形，每個正三角形的頂點都是其外接正三角形各邊的中點．現(xiàn)有17米長的鐵絲材料用來制作一個網(wǎng)格數(shù)最多的三角形蜘蛛網(wǎng)，若該三角形蜘蛛網(wǎng)中最大的正三角形的邊長為3米，則最小的正三角形的邊長為（ ）
A．米B．米C．米D．米
8．已知直線與交于點，則的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．已知是等差數(shù)列，公差不為0，若成等比數(shù)列，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，在同一個坐標(biāo)系下，曲線與直線的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知為正方體所在空間內(nèi)一點，且，，則（ ）
A．
B．三棱錐的體積為定值
C．存在唯一的，使得平面平面
D．存在唯一的，使得
12．已知F是橢圓的右焦點，直線與橢圓C交于A，B兩點，M，N分別為，的中點，O為坐標(biāo)原點，若，則橢圓C的離心率可能為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題（本大題共4小題）
13．已知點是點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則 .
14．等比數(shù)列的前項和為，若，則 .
15．若雙曲線的虛軸長為4，則該雙曲線的漸近線方程為 .
16．若是函數(shù)的兩個不同的零點，且這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則 .
四、解答題（本大題共6小題）
17．在數(shù)列中，.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列.
(2)求數(shù)列的前項和.
18．已知圓過點和，且圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)經(jīng)過點的直線與圓相切，求的方程.
19．已知動圓經(jīng)過點，且與直線相切，記動圓的圓心的運動軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)直線與都經(jīng)過點且互相垂直，與相交于兩點，與相交于兩點，求的最小值.
20．如圖，在三棱錐中，平面，，，F(xiàn)是的中點，且．
(1)求的長;
(2)求二面角的正弦值.
21．已知是首項為1的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且，．
(1)求和的通項公式；
(2)在中，對每個正整數(shù)k，在和之間插入k個，得到一個新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前n項和，比較與20000的大小關(guān)系．
22．已知橢圓經(jīng)過點和．
(1)求的方程；
(2)若點（異于點）是上不同的兩點，且，證明直線過定點，并求該定點的坐標(biāo)．
答案
1．【正確答案】C
【分析】排除法，代入求值即可判斷.
【詳解】對于A：時，，舍去；
對于B：時，，舍去；
對于D：時，，舍去；
經(jīng)檢驗數(shù)列的一個通項公式為，
故選：C.
2．【正確答案】B
【分析】由直線的一般式得斜率，即可求出答案.
【詳解】因為的斜率為，
所以，則.
故選：B.
3．【正確答案】D
【分析】確定拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的焦半徑公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知拋物線的準(zhǔn)線為，
因為點到的焦點的距離為9，到軸的距離為4，即A點縱坐標(biāo)為4，
所以,解得.
故選：D
4．【正確答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，依次求出即可.
【詳解】在數(shù)列中，已知，則.
故選：A
5．【正確答案】A
【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列不等式求解即可.
【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.
因為恰有兩個公共點,所以兩圓相交，所以，
解得或，即的取值范圍是.
故選：A
6．【正確答案】C
【分析】空間的基向量必定不共面，即不能互相表出，而判斷選項中的三個向量是否共面，只需判斷能否找到唯一的實數(shù)，使其中一個向量能用另外兩個向量線性表出即可.
【詳解】因構(gòu)成空間的一個基底，故不共面，
對于A項，若共面，則必存在唯一的，滿足，
即，顯然此方程組無解，即不共面，故A項錯誤；
對于B項，若共面，則必存在唯一的，滿足，
即，顯然此方程組無解，即不共面，故B項錯誤；
對于C項，因，故共面，即C項正確；
對于D項，若共面，則必存在唯一的，滿足，
即，顯然此方程組無解，即不共面，故D項錯誤.
故選：C.
7．【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造正三角形周長滿足的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式及指數(shù)不等式進行求解.
【詳解】由題可知，該三角形蜘蛛網(wǎng)中三角形的周長從大到小是以9為首項，為公比的等比數(shù)列.
設(shè)最小的正三角形的邊長為米，
則，則，即，得，
故最小的正三角形的邊長為米.
故選：B.
8．【正確答案】D
【分析】根據(jù)得點為圓上動點，用三角換元求的最大值.
【詳解】由題意可得直線恒過坐標(biāo)原點，直線恒過定點，
且，所以，
所以與的交點在以為直徑的圓上，
則點的坐標(biāo)滿足（不含點）．
可設(shè)，且，
則，
所以當(dāng)時，的最大值為．
故選：D
9．【正確答案】BC
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式和等比中項列出等式，化簡求解即可.
【詳解】因為成等比數(shù)列，所以，則，
又不為0，所以，
，符號不確定，故A錯誤.
，故B正確；
所以，故C正確；
，故D錯誤；
故選：BC.
10．【正確答案】BD
【分析】先根據(jù)題意得到曲線為，直線為，再根據(jù)當(dāng)，，，時，曲線及直線的橫截距與縱截距的關(guān)系即可逐項判斷．
【詳解】因為，所以曲線為，直線為，
當(dāng)時，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯誤；
當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；
當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；
當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負，則D正確．
故選：BD．
11．【正確答案】AB
【分析】對A：由可得點在線段上，建立空間直角坐標(biāo)系后由坐標(biāo)計算即可得；對B：借助線面平行得到三棱錐的高為定值，由底面積亦為定值，故體積為定值；對C：由題意可得平面，故C錯誤；對D：借助空間向量計算即可得.
【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，，,
因為，故，
即有，即，故點在線段上，有，
則有，，
則，故，故A正確；
由點在線段上，且，又平面，
平面，故平面，故點到平面距離不變，
故三棱錐的體積為定值，故B正確；
在正方體中，平面，，
又平面，故，又平面，
且平面，故平面，又平面，
故平面平面恒成立，故C錯誤；
，
故，
由，得，方程無解，
故不存在實數(shù)，使得，故D錯誤.
故選：AB.
12．【正確答案】BD
【分析】根據(jù)題意，先畫出圖象，然后判斷四邊形為平行四邊形，由可得，進而結(jié)合橢圓的定義與基本不等式可得有關(guān)的不等式，解不等式得到離心率的取值范圍，從而逐項判斷四個選項即可得到答案.
【詳解】根據(jù)題意，圖象如圖所示：
設(shè)為橢圓C的左焦點，因為直線與橢圓C交于A，B兩點，
所以由橢圓的對稱性得，又，
于是四邊形為平行四邊形.
因為M，N分別為，的中點，是中點，
所以，，
平行四邊中,，
在中，
.
因為直線斜率存在，所以A，B兩點不在y軸上，即，
又在中，，
所以，，即，
又，所以，即.
綜上所述，；
因為，故A，C錯誤；
，即，故B正確；
，即，故D正確.
故選：BD．
13．【正確答案】2
【分析】先求得點的坐標(biāo)，然后利用向量法求得兩點距離.
【詳解】因為點是點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以，
所以，所以.
故2
14．【正確答案】28
【分析】由題可知的公比不為，故成等比數(shù)列，列式即可求出答案.
【詳解】由題可知的公比不為，故成等比數(shù)列，
所以，因為，解得，
故28
15．【正確答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由雙曲線的虛軸長為4，可得，解得，
所以該雙曲線的漸近線方程為.
故答案為.
16．【正確答案】24
【分析】根據(jù)韋達定理得，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得，即可得解.
【詳解】由題可知，則，
這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則3必是等比中項，則，
這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，則3必不是等差中項，
若是等差中項，則，解得，
則，故，
若是等差中項，則，解得，
則.故.
故24
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，結(jié)合等差數(shù)列定義，即可證明結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）求出的通項公式，可得的表達式，利用裂項相消法，即可求得答案.
【詳解】（1）證明：因為，所以.
又，
所以是首項為，公差為的等差數(shù)列.
（2）由（1）可知，則，
則，
則.
18．【正確答案】(1)
(2)或
【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；
（2）根據(jù)題意，分直線的斜率不存在和存在，兩種情況討論，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，列出方程，即可求解.
【詳解】（1）解：設(shè)圓的方程為，
根據(jù)題意，可得，解得，
所以圓的方程為.
（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，
則直線的方程為，即.
故直線的方程為或.
19．【正確答案】(1)
(2)256
【分析】（1）設(shè)，由題列出方程化簡即可；
（2）設(shè)點設(shè)直線，聯(lián)立，韋達定理，利用拋物線定義表示弦長，然后利用基本不等式求最小值.
【詳解】（1）設(shè)圓心，因為動圓經(jīng)過點，且與直線相切,
則，所以，
整理得，
故的方程為.
（2）
由題可知，與的斜率均存在且不為0，設(shè)的方程為的方程為.
聯(lián)立方程組整理得，
則，
同理可得，
則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故的最小值為256.
20．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）結(jié)合垂直關(guān)系，以B為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用計算出的長度即可；
（2）利用向量法求出平面的法向量與平面的法向量，進而求出二面角的正弦值即可.
【詳解】（1）因為平面，，故以B為坐標(biāo)原點，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，由，得，，，．
因為F是的中點，所以，則，．
又，所以，
解得，故．
（2）由（1）可知，，則，，．
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得．
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得．
所以，
故二面角的正弦值為．
21．【正確答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式運算求解；
（2）根據(jù)題意分析可知，利用分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式以及錯位相減法運算求解.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，
因為，則，解得，
所以，．
（2）因為，
當(dāng)時，，
可知，
且，
令的前n項和為，
則，
可得，
兩式相減得，
即，可得，
所以．
22．【正確答案】(1)
(2)證明見解析，定點．
【分析】（1）將點代入橢圓方程即可求解，
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到韋達定理，即可得坐標(biāo)，進而根據(jù)點斜式求解直線方程即可求解定點，或者根據(jù)向量垂直滿足的坐標(biāo)運算，代入韋達定理化簡即可求解，結(jié)合分類討論, 進而得定點..
【詳解】（1）由題意得，把點的坐標(biāo)代入，得，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）（方法一）由 題意可知均有斜率且不為0，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組
消去得，可得，
解得，所以點的坐標(biāo)為．
因為，所以直線的斜率為，同理可得點．
當(dāng)時，有，解得，直線的方程為．
當(dāng)時，直線的斜率，
則直線的方程為，
即，
即，直線過定點．
又當(dāng)時，直線也過點．
綜上，直線過定點．
（方法二）當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組消去得，
，即．
設(shè)，則，
．
因為，所以，
即，
，
，
化簡得，
解得或，
所以直線的方程為或（過點A,不合題意，舍去），
所以直線過定點．
當(dāng)直線垂直于軸時，設(shè)它的方程為，
因為，所以．
又，解得或（過點A,不合題意，舍去），
所以此時直線的方程為，也過點．
綜上，直線過定點．
圓錐曲線中定點問題的兩種解法
（1）引進參數(shù)法：先引進動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.
（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).
技巧：若直線方程為,則直線過定點;
若直線方程為 (為定值),則直線過定點

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