一、單選題（本大題共8小題）
1．下列直線中，傾斜角最大的是（ ）
A．B．
C．D．
2．雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，則（ ）
A．B．2C．D．1
4．若圓的圓心到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則（ ）
A．B．1C．D．
5．已知，分別是橢圓的左、右焦點，過點且與長軸垂直的直線交C于A，B兩點.若為直角三角形，則C的焦距為（ ）
A．B．C．D．
6．已知圓與圓的公共弦與直線垂直，且垂足為，則圓N的半徑為（ ）
A．B．C．2D．
7．已知A，B分別為雙曲線的左、右頂點，P是C上一點，直線PA，PB的斜率分別為和3，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
8．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，定義：經(jīng)過點且一個方向向量為的直線l的方程為，經(jīng)過點且一個法向量為的平面的方程為.已知在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，經(jīng)過點的直線l的方程為，經(jīng)過點P的平面的方程為，則直線l與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知曲線，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若，則是橢圓B．若是圓，則
C．若，則是雙曲線D．若，則是兩條平行于軸的直線
10．在四棱錐中，，，，，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．四邊形為正方形
B．四邊形的面積為
C．在上的投影向量的坐標(biāo)為
D．點P到平面的距離為
11．已知，，是曲線上的任意一點，若的值與x，y無關(guān)，則（ ）
A．m的取值范圍為B．m的取值范圍為
C．n的取值范圍為D．n的取值范圍為
三、填空題（本大題共3小題）
12．直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則m的值為 .
13．在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點E滿足，點F滿足，若P，A，C，F(xiàn)四點共面，則 .
14．已知P是橢圓位于第一象限上的一點，，分別是C的左、右焦點，，點Q在的平分線上，O為坐標(biāo)原點，，且，則C的離心率為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知圓M經(jīng)過點，，.
(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若傾斜角為的直線l經(jīng)過點，且l與圓M相交于E，F(xiàn)兩點，求.
16．如圖，在正方體中，分別為和的中點.
(1)證明：直線平面.
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
17．一束光線從點射出，經(jīng)直線反射后，與圓相切于點M.
(1)求光線從點P到點M經(jīng)過的路程；
(2)求反射光線所在直線的方程.
18．已知等軸雙曲線C的焦點在x軸上，且實軸長為.直線與C交于A，B兩點.
(1)求C的方程；
(2)若點為線段AB的中點，求k的值；
(3)若，且A，B兩點都位于y軸的右側(cè)，求k的取值范圍.
19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意一點，總存在一個點滿足關(guān)系式：，則稱為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換.
(1)在同一直角坐標(biāo)系中，求平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，使得圓變換為橢圓.
(2)在同一直角坐標(biāo)系中，橢圓經(jīng)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換得到曲線C.
（i）求曲線C的方程；
（ii）已知曲線C與x軸交于A，B兩點，P是曲線C上異于A，B的任意一點，直線AP交直線于點M，直線BP交直線于點N，證明以MN為直徑的圓G與x軸交于定點H，并求出點H的坐標(biāo).
答案
1．【正確答案】C
【詳解】對于A，直線的斜率，則傾斜角；
對于B，直線的傾斜角；
對于C，直線的斜率，則傾斜角；
對于D，直線的傾斜角，
所以直線的傾斜角最大.
故選C.
2．【正確答案】B
【詳解】雙曲線的焦點在軸上，，，所以漸近線方程為.
故選B.
3．【正確答案】A
【詳解】因為，所以，則，，所以.
故選A.
4．【正確答案】C
【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則圓心為，半徑，
由題意得，解得.
故選C.
5．【正確答案】A
【詳解】由題可求得，則.
根據(jù)橢圓對稱性，可知為等腰直角三角形，
所以，則，解得，
所以橢圓C的焦距為.
故選A.
6．【正確答案】B
【詳解】因為圓與圓，
所以它們的公共弦方程為.
因為公共弦與直線垂直，所以，解得.
將點的坐標(biāo)代入，可得，
圓可化為，故圓N的半徑為.
故選B.
7．【正確答案】D
【詳解】設(shè)，則，因為，，所以，則C的離心率.
故選D.
8．【正確答案】B
【詳解】經(jīng)過點的直線的方程為，即，
則直線的一個方向向量為.
又經(jīng)過點的平面的方程為，
即，所以的一個法向量為.
設(shè)直線與平面所成的角為，則.
故選B.
9．【正確答案】CD
【詳解】對于A選項，若且，則是橢圓；
對于B選項，則是圓，則；
對于C選項，若，則是雙曲線；
對于D選項，若，方程為，則是兩條平行于軸的直線.
故選CD.
10．【正確答案】BCD
【詳解】對于A，，
則，
所以，與不垂直，
所以四邊形為平行四邊形，故A錯誤；
對于B，，所以，
所以四邊形的面積為，故B正確；
對于C，，
則在上的投影向量為，故C正確；
對于D，設(shè)平面的法向量為，
則有，令x=1，則，
所以點到平面的距離為，故D正確.
故選BCD.
11．【正確答案】BC
【詳解】由曲線，得，則（），
所以曲線表示以為圓心，半徑的半圓（x軸及以上部分）.
若的值與x，y無關(guān)，
則該曲線在兩平行直線：與：之間.
當(dāng)與該曲線相切時，，解得，
則m的取值范圍為.
當(dāng)經(jīng)過點時，，解得，則n的取值范圍為.
故選：BC
12．【正確答案】或
【詳解】令，則，令，則，
則，即，解得或.
故或.
13．【正確答案】
【詳解】連接BD，由題可知.
又，所以，且P，A，C，F(xiàn)四點共面，
所以，解得.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】設(shè)，，延長OQ交于點A.
由題意知，O為的中點，故A為的中點.
由，，得是等腰直角三角形，
則化簡得即
代入得，即.
因為，所以，所以，所以.
故答案為.
15．【正確答案】(1);
(2)
【詳解】（1）設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
將點，，代入方程，可得
解得，，，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）直線l的方程為，即.
圓心到l的距離，所以.
16．【正確答案】(1)證明見解析;
(2)
【詳解】（1）如圖，以點A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)正方體的棱長為，
則，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
則，所以，
又平面，所以直線平面；
（2）A0,0,0，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
所以，
即平面與平面夾角的余弦值.
17．【正確答案】(1)4;(2)或
【詳解】（1）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，
則，解得，即.
又圓心，所以，
則光線從點P到點M經(jīng)過的路程為.
（2）由題可知反射光線經(jīng)過點，易知反射光線的斜率存在，
故設(shè)反射光線為，即.
又圓心，所以，解得或.
故反射光線所在直線的方程為或.
18．【正確答案】(1);(2)3;(3)
【詳解】（1）由題可設(shè)，
因為實軸長為，所以，即.
故C的方程為.
（2）設(shè)，
則兩式相減得，整理得.
因為線段AB的中點坐標(biāo)為，所以，，
所以直線AB的斜率.
（3）由可得.
因為直線與C的右支交于不同的兩點，所以，
故，即k的取值范圍為.
19．【正確答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析，或
【詳解】（1）將伸縮變換代入，
得到，則.
將上式與比較，得，，，所以，
故所求的伸縮變換為
（2）（i）由可得代入橢圓可得，
則，所以曲線C的方程為.
（ii）不妨令點，點.設(shè)點，
則，直線AP的方程為，所以直線AP與直線的交點為.
直線BP的方程為，所以直線BP與直線的交點為.
設(shè)點，則，.
因為以MN為直徑的圓G與x軸交于定點H，
所以，
解得，所以定點H的坐標(biāo)為或.

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