廣東省東莞市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題目要求的.
1. 的值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式即可求解.
詳解】
故選：
2. 設(shè)集合，，滿足，則實數(shù) a 的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】利用集合包含關(guān)系得不等關(guān)系，從而求解．
【解答】，，，
由題意如圖：
，解得 a
故選：C．
3. 已知函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 單調(diào)遞增且是偶函數(shù) B. 單調(diào)遞增且是奇函數(shù)
C. 單調(diào)遞減且是偶函數(shù) D. 單調(diào)遞減且是奇函數(shù)
【答案】B
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【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義結(jié)合指數(shù)運算判斷奇偶性，應(yīng)用指數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷單調(diào)性即可判
斷.
【詳解】由，其定義域為 R，關(guān)于原點對稱，
，所以是奇函數(shù).
又，
因為指數(shù)函數(shù) 在 R 上單調(diào)遞增，且，那么在 R 上單調(diào)遞增，且，
所以在 R 上單調(diào)遞減，則在 R 上單調(diào)遞增，
那么在 R 上單調(diào)遞增.
故單調(diào)遞增且是奇函數(shù).
故選：
4. 設(shè) a，，則“ ”是“ ”的（）
A. 既不充分也不必要條件 B. 充要條件
C. 必要不充分條件 D. 充分不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】求出的等價條件為，再根據(jù)推出關(guān)系，結(jié)合充分條件與必要條件的定義判斷
即可.
【詳解】，
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是的充分不必要條件，
故選：D.
5. 如圖，單位圓 O 內(nèi)接一個圓心角為的扇形，則扇形的面積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù) ，結(jié)合單位圓的半徑為 1，求得，由三角形為等邊三
角形可得扇形的半徑，利用扇形的面積公式可得答案.
【詳解】由單位圓 O 內(nèi)接一個圓心角為的扇形，
則，故，
又，所以三角形為等邊三角形，
故
由扇形的面積公式可得：
故選：A.
【點睛】
6. 已知函數(shù) ，若方程有三個不同的實數(shù)解，則 k的取值范圍為（
）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系 ,把方程看作兩個函數(shù)：和，在同一個坐標系
中畫出圖象分析即可．
【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù) 和的圖象如下圖：
當(dāng) 時，，，，
由圖象可知當(dāng) 時，方程有三個解．
故選：C
7. 為了得到函數(shù) 的圖象，只需要把函數(shù) 上所有的點（）
A. 向右平移個單位，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍
B. 向左平移個單位，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2 倍
C. 橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，向左平移個單位
D. 橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2 倍，向左平移個單位
【答案】A
【解析】
【分析】由，依據(jù)函數(shù) 的圖象平移伸縮變換的規(guī)則逐一判定即
可.
【詳解】，向右平移個單位，，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，
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可得
故選：A
8. 設(shè)函數(shù) 在上的零點為，，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式化簡函數(shù)解析式，令，可得或分別求出方
程在上的解即可得答案.
【詳解】由，
令，即，
則或
當(dāng) 時，，
對于，，在上，
時，時，
時，時，
時，時，
時，
對于，，在上，
時，，舍去
時，，時，，
時，，舍去
所以這些零點之和為：
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故選：
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選
對的得 6 分，部分選對的得 2 分，有選錯的得 0 分.
9. 已知，，則下列運算正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】對 A，根據(jù) 判斷；對 B，根據(jù) 判斷；對 C，根據(jù) ，
，結(jié)合換底公式判斷即可；對 D，根據(jù)對數(shù)的運算判斷即可.
【詳解】對于 A，由，故 A 正確；
對于 B，，故 B 正確；
對于 C，由指對互換可知，因為，，那么，，
由換底公式可得：，故 C 正確；
對于 D，因為，，所以，故 D 錯誤.
故選：ABC
10. 若 a，，且，則下列說法中正確的是（）
A. 的最大值為 6 B. 的最小值為 6
C. ab 的最大值為 9 D. ab 的最小值為 9
【答案】BD
【解析】
【分析】正數(shù) a，b 滿足，可得，解出即可得出 ab 的最小值，正
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數(shù) a，b 滿足，可得，解出即可得出的最小值.
【詳解】正數(shù) a，b 滿足，
，即，
解得，即 ab ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，
，即 ab 的最小值為 9，
正數(shù) a，b 滿足，
，即，
解得，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，
，即的最小值為
故選：BD.
11. 我們知道：函數(shù) 的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是為奇函
數(shù)，類比以上結(jié)論也可得到函數(shù) 的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形的充要條件.已知函數(shù) 的
定義域為 R，其圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形，且為奇函數(shù)，當(dāng) 時，
，則下列說法中正確的是（）
A. 的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形
B. 為偶函數(shù)
C. 的最小正周期為 12
D. 當(dāng) 時，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的對稱性新定義得出函數(shù)的對稱中心，對稱軸及周期判斷 A，B，C，
再根據(jù)函數(shù)周期性得出函數(shù)解析式判斷 D.
【詳解】對于 A，由為奇函數(shù)，所以關(guān)于中心對稱，
又函數(shù) 關(guān)于直線對稱，
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所以不能得到函數(shù) 關(guān)于中心對稱，故 A 錯誤;
對于 B，類比題目所給條件，函數(shù) 關(guān)于直線對稱，
那么關(guān)于對稱，
由偶函數(shù)的定義可知為偶函數(shù)，故 B 正確;
對于 C，由關(guān)于中心對稱，所以，即，
又函數(shù) 關(guān)于直線對稱，則，即，
所以，故，
所以，
則的最小正周期為 12，故 C 正確;
對于 D，當(dāng) 時，，
所以，
由 C 選項所得結(jié)論：，
所以，故 D 正確.
故選：
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 命題：，的否定是____________.
【答案】，
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題否定即可求解.
【詳解】由題意得命題：，的否定是：， .
故答案為：， .
13. 已知，則 __________.
【答案】 ##
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【解析】
【分析】根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)公式及同角基本關(guān)系式化簡即可求解結(jié)論．
【詳解】
故答案：
14. 設(shè) ，用表示不超過 x 最大整數(shù)，稱為取整函數(shù).例如：，，
已知函數(shù) ，則 __________ 的值域為__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】將代入函數(shù)解析式，利用取整函數(shù)的定義即可求解函數(shù)值；根據(jù)三角函數(shù)的有界性分類討
論，利用取整函數(shù)的定義分別求出函數(shù)值即可求出函數(shù)的值域.
【詳解】因為，
所以；
，或，時，；
，或，時，；
，時，
，或，時，，
，時，，
所以的值域為
故答案為：，
四、解答題：本題共 5 小題，共 60 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
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15. 已知集合，集合
（1）在下面的直角坐標系中畫出函數(shù) 的圖象，求
（2）若全集，，求集合
【答案】（1）答案見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）描點可畫得的圖象，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域與對數(shù)函數(shù)的定義域求解即可；
（2）由（1）可得，再假設(shè) ，推出矛盾可得，進而同理可得
【小問 1 詳解】
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集合，
集合或 .
所以，
所以 .
【小問 2 詳解】
由（1）可得
因為，所以 2，3，6，且 2，3，6，
再由，
假設(shè) ，則由可得，
故，顯然矛盾，所以
同理，，
所以
16. 已知函數(shù) ，
（1）求，
（2）求的值;
（3）已知實數(shù) a 滿足，求的值.
【答案】（1），
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)對數(shù)轉(zhuǎn)換計算求解即可；
（2）根據(jù)指數(shù)的運算法則代入計算即可求解；
（3）根據(jù)指數(shù)的運算法則代入計算即可求解.
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【小問 1 詳解】
由題意得
由題意得
【小問 2 詳解】
由題意得
小問 3 詳解】
由題意得，
方法一由，得，
所以
方法二由，得，
因為，
所以，
所以
方法三由，得，
所以，
因為，
所以
17. 用水清洗一件衣服上的污漬，對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用 1 個單位量的水可洗掉衣
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服上污漬的，用水越多洗掉的污漬也越多，但總有污漬殘留在衣服上.設(shè)用 x 單位量的水清洗一次以后，
衣服上殘留的污漬與本次清洗前殘留的污漬之比為函數(shù)
（1）求的解析式，寫出應(yīng)該滿足的條件或具有的性質(zhì) 至少寫 2 條，不需要證明
（2）現(xiàn)有單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 2 份后清洗兩次.哪種方案清洗后衣服
上殘留的污漬比較少?請說明理由.
【答案】（1），答案見解析.
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）將點代入確定解析式，再得其性質(zhì)；
（2）利用作差法比較大小.
【小問 1 詳解】
因為
所以，即
函數(shù) 的定義域為，值域為，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
【小問 2 詳解】
，
，
，
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①當(dāng) 時，，此時清洗一次或兩次殘留污漬一樣，
②當(dāng) 時，，此時清洗一次殘留的污漬更少，
③當(dāng) 時，，此時清洗兩次殘留的污清更少，
綜上，時，清洗一次殘留的污漬更少;
時，清洗一次或兩次殘留的一樣;
時，清洗兩次殘留的污漬量更少.
18. 已知
（1）若，，且，求
（2）若在上單調(diào)，且在上恰有 3 個最值點，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用二倍角的余弦公式化簡函數(shù)解析式，由求出，再根據(jù)平方關(guān)系可求
的值；
（ 2）根據(jù) 在上單調(diào) 求得，由可得當(dāng) ，
，再利用可求的取值范圍
【小問 1 詳解】
由題意可得：
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當(dāng) 時，，，
所以，
因為，所以，
所以；
【小問 2 詳解】
當(dāng) ，，
因為在上單調(diào)，所以，所以，
當(dāng) ，，在上恰有 3 個最值點，
即在恰有 3 個最值點，分別是，，，
所以，解得，因為，所以
19. 對于任意兩正數(shù) u，，記區(qū)間上曲線下的曲邊梯形由直線，，和
曲線所圍成的封閉圖形面積為，并約定和，已知
（1）求，，
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（2）對正數(shù) k 和任意兩個正數(shù) u，v，猜想與的大小關(guān)系，并證明;
（3）（i）試應(yīng)用曲邊梯形的面積說明：對任意正數(shù) x，恒有
（ii）若，試說明：當(dāng) 時， .
【答案】（1），，
（2），證明見解析
（3）（i）答案見解析；（ii）答案見解析
【解析】
【分析】（1）（2）由新定義可直接計算判斷；
（3）（i）設(shè) ，由小于高為底為 1 的長方形面積、大于高為，
底為 1 的長方形面積，可得答案；（ii）利用（i）可得答案.
【小問 1 詳解】
由題意得，
，
；
【小問 2 詳解】
對正數(shù) k 和任意兩個正數(shù) u，v，，
由題知，
，
故；
【小問 3 詳解】
（i）設(shè) ，由題意得，
由小于高為，底為 1 的長方形面積，得，
由大于高為，底為 1 的長方形面積，得，
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所以對任意正數(shù) x，恒有
（ii）由（i）得
，
顯然，當(dāng) 時，，所以 .
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三額解題關(guān)鍵點是利用陰影部分的面積與相應(yīng)梯形矩形的面積大小，可推出不等
式.
第 17頁/共 17頁

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