一、單選題（本大題共8小題）
1．命題“存在一個五邊形，它是軸對稱圖形”的否定是（ ）
A．存在無數(shù)個五邊形，它是軸對稱圖形
B．存在一個五邊形，它不是軸對稱圖形
C．任意一個五邊形，它是軸對稱圖形
D．任意一個五邊形，它不是軸對稱圖形
2．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知某扇形的面積為12，半徑為4，則該扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（ ）
A．3B．2C．D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．若函數(shù)的圖象與直線沒有交點，則的最小值為（ ）
A．0B．C．D．
6．已知，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則A的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．把某種物體放在空氣中冷卻，若該物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后該物體的溫度可由公式求得.若將溫度分別為和的兩塊物體放入溫度是的空氣中冷卻，要使得兩塊物體的溫度之差不超過，則至少要經(jīng)過（?。海? ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為B．是奇函數(shù)
C．的圖象關(guān)于直線軸對稱D．的值域為
10．已知且，，則函數(shù).與的圖象可能是（ ）
A． B． C．D．
11．已知函數(shù)滿足，則的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函數(shù)且，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．的圖象與直線一定沒有交點
C．若的圖象與直線有2個交點，則的取值范圍是
D．若的圖象與直線交于兩點，則線段長度的取值范圍是
三、填空題（本大題共4小題）
13．已知函數(shù)，則 ．
14．已知是角終邊上一點，則 .
15．已知實數(shù)a，b滿足，則的最大值為 .
16．已知函數(shù)在上有且僅有2個零點，則的取值范圍為 ．
四、解答題（本大題共6小題）
17．已知集合．
(1)求；
(2)求．
18．已知定義在R上的函數(shù)為偶函數(shù).
(1)求a的值；
(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明.
19．已知函數(shù)．
(1)求的最小正周期；
(2)當時，求的最小值及取最小值時x的集合．
20．已知函數(shù)（且），且．
(1)求的解析式：
(2)若函數(shù)在上的最小值為0，求m的值．
21．某企業(yè)生產(chǎn)的一款新產(chǎn)品，在市場上經(jīng)過一段時間的銷售后，得到銷售單價x（單位：元）與銷量Q（單位：萬件）的數(shù)據(jù)如下：
為了描述銷售單價與銷量的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：．
(1)選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；
(2)已知每生產(chǎn)一件該產(chǎn)品，需要的成本（單位：元）與銷量Q（單位：萬件）的關(guān)系為，不考慮其他因素，結(jié)合（1）中所選的函數(shù)模型，若要使生產(chǎn)的產(chǎn)品可以獲得利潤，問該產(chǎn)品的銷售單價應(yīng)該高于多少元？
22．已知函數(shù)且.
(1)若，函數(shù)，求的定義域；
(2)若，求的取值范圍.
答案
1．【正確答案】D
【分析】由存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，寫出命題的否定.
【詳解】命題“存在一個五邊形，它是軸對稱圖形”的否定是“任意一個五邊形，它不是軸對稱圖形”.
故選：D
2．【正確答案】A
【分析】解不等式化簡集合，再由交集運算可得.
【詳解】，
，
則．
故選：A.
3．【正確答案】C
【分析】利用扇形的面積公式計算可得答案.
【詳解】設(shè)該扇形的圓心角為，則，解得．
故選：C.
4．【正確答案】B
【分析】解不等式，然后根據(jù)充分條件必要條件的概念得到答案.
【詳解】因為，所以，因為，所以.
故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
5．【正確答案】C
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，代入求值.
【詳解】函數(shù)的圖象與直線沒有交點．
若函數(shù)的圖象與直線沒有交點，
則，，,，
則的最小值為．
故選：C
6．【正確答案】C
【分析】首先根據(jù)指對互化求，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，和臨界值比較大小，即可判斷.
【詳解】由題意可知，，
，則，，即，
，即
所以．
故選：C
7．【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性的判定方法，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則滿足，解得，即實數(shù)的取值為．
故選：B.
8．【正確答案】A
【分析】根據(jù)題中定義的公式，代入相關(guān)數(shù)值，再列出不等式求解即可.
【詳解】的物塊經(jīng)過后的溫度，
的物塊經(jīng)過后的溫度.
要使得兩塊物體的溫度之差不超過，則，
即，解得.
故選：A.
9．【正確答案】AD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由正弦型函數(shù)的性質(zhì)，可得的最小正周期為，所以A正確；
對于B中，由，所以不是奇函數(shù)，所以B錯誤；
對于C中，由不是函數(shù)的最值，所以的圖象不關(guān)于軸對稱，所以C錯誤；
對于D中，由，可得，所以函數(shù)的值域為，所以D正確.
故選：AD.
10．【正確答案】BD
【分析】根據(jù)條件確定的范圍，利用與的單調(diào)性分析即得.
【詳解】因且，，則中必有一個大于1，一個小于1且大于零.
當時，有，則B項符合，當時，有，則D項符合.
故選：BD.
11．【正確答案】BC
【分析】利用特值法判斷A；代入驗證可判斷B；由條件結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得0，展開進而可判斷C；由的解析式判斷單調(diào)性，及由條件得出的單調(diào)性，從而可判斷D.
【詳解】若，令，則，此時，A錯誤.
若，因為，所以，B正確.
若，因為當時，，
所以0，則，即，
所以，C正確.
若，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)是增函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減，且.
若函數(shù)滿足，下證為增函數(shù).
令，
則，
即，
所以在上單調(diào)遞增，與的單調(diào)性矛盾，D錯誤.
故選：BC．
12．【正確答案】ABC
【分析】對于A，利用偶函數(shù)的定義判斷即可；對于B，討論和時的單調(diào)性及最值即可判斷；對于C，的圖象與直線有2個交點，等價于方程有兩個實數(shù)根，根據(jù)的圖象即可得到結(jié)果；對于D，由C項分析知，線段的長度為即可判斷選項.
【詳解】，所以是偶函數(shù)，正確.
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，此時的圖象與直線沒有交點.
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，此時的圖象與直線沒有交點，
故的圖象與直線一定沒有交點，B正確.
令，則，即.若的圖象與直線有2個交點，
則1，解得.又因為且，所以的取值范圍是，C正確.
由，解得，所以，錯誤.
故選：ABC.
13．【正確答案】
【分析】首先求，再求的值.
【詳解】．
故-1
14．【正確答案】
【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的定義，求得，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，即可求解.
【詳解】因為是角終邊上一點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，
則.
故答案為.
15．【正確答案】4
【分析】利用基本不等式即可得到關(guān)于的一元二次不等式，解出即可.
【詳解】，則，
解得，則的最大值為4，當且僅當時等號成立，
故4.
16．【正確答案】
【分析】首先求的取值范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象，列式求的取值范圍.
【詳解】當時，．因為在上有且僅有2個零點，所以，，解得．
故
17．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)交集的定義，即可求解；
（2）首先求，再求其補集.
【詳解】（1）因為，所以；
（2），
．
18．【正確答案】(1)；
(2)在上單調(diào)遞減，證明見解析.
【分析】（1）由偶函數(shù)的概念即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用定義法證明即可.
【詳解】（1）由題意可得，則，解得.
（2）在上單調(diào)遞減.
證明如下：由（1）可得，令，則，
又，
即，故在上單調(diào)遞減.
19．【正確答案】(1)
(2)的最小值為，取最小值時x的集合為
【分析】（1）代入三角函數(shù)周期公式，即可求解；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，代入公式，即可求解.
【詳解】（1）的最小正周期．
（2）的最小值為-1，
當取最小值時，，即．
因為，所以或．
故的最小值為，取最小值時x的集合為.
20．【正確答案】(1)
(2)6
【分析】（1）代入條件，即可求解；
（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果，換元，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，求最小值，即可求解.
【詳解】（1）因為，所以，解得或，
所以．
（2）．
令 ，設(shè)，
則
因為，所以,,
則 ，所以在單調(diào)遞增，
所以，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．
因為在上的最小值為0，所以，解得．
綜上，m的值為6．
21．【正確答案】(1)最合適，
(2)元．
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合給定的函數(shù)模型，代入驗證，即可求解；
（2）由成本與銷量Q的關(guān)系為，列出不等式，結(jié)合不等式的解法，即可求解.
【詳解】（1）解：若選擇模型，將代入可得，即，
經(jīng)驗證，均不滿足，故模型不合適．
若選擇模型，因為過點，所以模型不合適．
若選擇模型，將代入可得，即，
經(jīng)驗證，，均滿足，故模型最合適，且．
（2）解：由成本與銷量Q的關(guān)系為．
要使生產(chǎn)的產(chǎn)品可以獲得利潤，則．
因為，所以，即．
因為，所以．
故該產(chǎn)品的銷售單價應(yīng)該高于元．
22．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解析式有意義的x的范圍即可；
（2）分和兩種情況，分別研究和恒成立問題，即可得到答案.
【詳解】（1），代入可得：
，
有意義可得，所以，
的定義域為.
（2）.
因為且，所以恒成立.
若，則函數(shù)是增函數(shù).
因為，所以，即.
設(shè)，要使時，恒成立，
只需或
解得.
故符合題意.
若，則函數(shù)是減函數(shù).
因為，所以，即.
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當時，不等式不可能恒成立.
故不符合題意.
綜上，的取值范圍為.元
1
2
3
4
萬件
3
2
1.5
1.2

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