2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高三上冊1月期末數(shù)學(xué)模擬檢測試題（附解析）

這是一份2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高三上冊1月期末數(shù)學(xué)模擬檢測試題（附解析），共23頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題(共12題，每題5分，共60分)
1. 已知集合，，則
A. B. C. D.
【正確答案】D
【詳解】由，得：，，所以，故選D.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【正確答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，然后求出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而判斷所在象限.
【詳解】解：復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.
故選：D
3. 如圖，在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，那么
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】
利用三角形的加法法則，減法法則，線性運(yùn)算，就可得出結(jié)果．
【詳解】解：在中，.
因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)辄c(diǎn)為的一個三等分點(diǎn)，所以，
所以，
故選：C.
本題考查平面向量基本定理，向量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
4. 函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】函數(shù)見式識圖，該題型不是要求畫函數(shù)圖像，而是識別判斷圖像，因此只需要分辨即可.
【詳解】從表達(dá)式可以判斷出，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)D不對；利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長得快慢，即指數(shù)函數(shù)有爆炸函數(shù)之稱，可以得到分母增長速度更快，所以當(dāng)自變量趨于正無窮時，因變量趨于0，所以選項(xiàng)C不正確；對于選項(xiàng)AB在自變量1處的單調(diào)性不同，所以可以選擇特值來判斷，，所以B不對.
故選:A.
5. 在如圖所示的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，其中圖中的圓弧為該正方形的內(nèi)切圓，以及以正方形的頂點(diǎn)為圓心以正方形邊長的一半為半徑的圓弧，則點(diǎn)恰好取自陰影部分的概率為
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】
設(shè)正方形的邊長為2，分別求出正方形及陰影部分的面積，再由測度比是面積比得答案．
【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為2，則正方形面積為4．
圖中陰影部分的面積可看作8個弓形的面積和，
其面積為．
所求概率．
故選：．
本題考查幾何概型概率的求法，關(guān)鍵是求出陰影部分的面積，屬于基礎(chǔ)題．
6. 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為
A. 14B. -14
C. 16D. -16
【正確答案】A
【分析】
把按照二項(xiàng)式定理展開，可得的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．
【詳解】解：，
故它的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，
故選：．
本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
7. 已知為銳角，且，則的值為
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】
直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和角公式的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】解：由可得，
即，
所以，
又為銳角，故，
故選：B.
本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，和角公式的運(yùn)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
8. 設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn).已知動點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)，，不共線，若的周長的最小值為，則橢圓的離心率為
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】
當(dāng)，，共線時，此時的周長的最小，即可得到，再根據(jù)離心率公式計(jì)算即可．
【詳解】解：的周長為，
當(dāng)，，共線時，此時周長最小，
，
，
，
故選：．
本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)和離心率，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題，
9. 設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】
直棱柱的外接球的球心是過底面外接圓的圓心做垂直于底面的直線與中截面的交點(diǎn)，而底面為直角三角形，所以底面外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，且半徑為斜邊的一半，根據(jù)底面外接圓的半徑與球的半徑和直棱柱的高的一半構(gòu)成直角三角形，由題意求出外接球的半徑，求出外接球的表面積．
【詳解】解：由題意知底面外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，則外接圓的半徑，而，，
所以，所以，過中點(diǎn)做垂直于底面的直線交中截面與點(diǎn)，則為外接球的球心，
由題意得：，所以外接球的表面積，
故選：．
考查直棱柱的外接球的求法及球的表面積公式，屬于中檔題．
10. 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的前99項(xiàng)和為
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】
利用兩式作差，代入求出，再利用裂項(xiàng)相消法求出和即可．
【詳解】解：當(dāng)時，，則，
即，則，從而，
故.
故選：．
考查數(shù)列的性質(zhì)，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，注意式子的靈活變換，屬于中檔題．
11. 已知函數(shù)，若，則ab的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】畫出的圖像，結(jié)合圖像，根據(jù)，求得的取值范圍.令，將用表示，由此求得的表達(dá)式，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值.
【詳解】畫出圖像如下圖所示，令，解得.
所以.
令，由圖可知.，
所以.所以.
構(gòu)造函數(shù)（稍微放大范圍）..
令，，
所以在上遞減.而.
由于，
所以，，，
所以. ，
故存在，使.
所以在上遞增，在上遞減.
所以對于來說，最小值只能在區(qū)間端點(diǎn)取得.
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
所以的最小值為.
故選：B
本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.
12. 已知雙曲線：，過其右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，交軸于點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，并且點(diǎn)位于點(diǎn)，之間.已知為原點(diǎn)，且，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】設(shè)出右焦點(diǎn)的坐標(biāo)和漸近線的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求得，結(jié)合直角三角形勾股定理和三角函數(shù)的定義、兩直線的夾角公式，求得的關(guān)系，由此求得的長，進(jìn)而求得
【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)，漸近線的方程為，即，漸近線的方程為，即.
所以，，.
所以，而，
解得或（舍去）.
所以.
在中，由射影定理得，所以，
所以.
故選：B
本小題主要考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運(yùn)用，考查直角三角形的射影定理、兩直線的夾角公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
二、填空題(共4題，每題5分，共20分)
13. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______.
【正確答案】
【分析】
根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義可得，即，據(jù)此變形分析可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)椋?br>若為偶函數(shù)，則，
則有，
變形可得：，
必有；
故．
本題考查函數(shù)的性質(zhì)以及判斷，關(guān)鍵是掌握偶函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
14. 已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S3，S9，S6成等差數(shù)列，a2+a5=6，則a8=____.
【正確答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為，當(dāng)時，顯然S3，S9，S6不成等差數(shù)列，
當(dāng)時，因?yàn)镾3，S9，S6成等差數(shù)列，所以有，
即，化簡得，因?yàn)椋?br>所以解得，因?yàn)閍2+a5=6，所以，
因此，
故
15. 若的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)取最小值時，，使得，則的取值范圍是______.
【正確答案】
【分析】
直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)的定義域的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】解：∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
，，當(dāng)取最小值是，
，∵，∴，
，即的取值范圍是.
故
本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
16. 在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，，，，則四面體的體積為______.
【正確答案】
【分析】
推導(dǎo)出，分別取、的中點(diǎn)、，連結(jié)、、，則，，，推導(dǎo)出，從而平面，進(jìn)而四面體的體積為，由此能求出結(jié)果．
【詳解】解：在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，
，，，
，，
分別取、的中點(diǎn)、，連結(jié)、、，
則，，，
且，，，
，，
，平面，平面，平面，
四面體的體積為：
．
故．
本題考查四面體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
三、解答題(共7題，每題12分，共84分)
17. 已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求角C的值；
（2）若2a+b=6，且的面積為，求的周長.
【正確答案】（1）
（2）6或
【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合，代換整理得，再結(jié)合倍角公式整理；（2）根據(jù)面積公式代入整理得，結(jié)合題意可得或，分情況討論處理．
【小問1詳解】
∵，則
∵
∴，即
∵，則
∴
【小問2詳解】
∵△ABC的面積為，則
∴
根據(jù)題意得，則或
若，則△ABC為等邊三角形，的周長為6；
若，則，即，的周長為
∴的周長為6或
18. 如圖，三棱柱中，側(cè)面BB1C1C是菱形，其對角線的交點(diǎn)為O，且AB=AC1，AB⊥B1C．
（1）求證：AO⊥平面BB1C1C；
（2）設(shè)∠B1BC=60°，若直線A1B1與平面BB1C1C所成的角為45°，求二面角的余弦值．
【正確答案】（1）見解析 （2）
【分析】（1）證明B1C⊥平面ABC1，可得AO⊥BC1，再證明AO⊥BC1，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；
（2）易得直線AB與平面BB1C1C所成的角即∠ABO，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法即可得出答案.
【小問1詳解】
證明：∵四邊形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，
∵AB⊥B1C，AB∩BC1=B，平面ABC1，
∴B1C⊥平面ABC1，
又平面ABC1，∴B1C⊥AO，
∵AB=AC1，O是BC1的中點(diǎn)，∴AO⊥BC1，
又B1C∩BC1=O，平面BB1C1C，
∴AO⊥平面BB1C1C；
【小問2詳解】
解：∵AB∥A1B1，
∴直線A1B1與平面BB1C1C所成的角等于直線AB與平面BB1C1C所成的角，
∵AO⊥平面BB1C1C，∴直線AB與平面BB1C1C所成的角即∠ABO，
∴∠ABO=45°，
不妨設(shè)菱形BB1C1C的邊長為2，則在等邊三角形BB1C中，BO=，CO=B1O=1，
在Rt△ABO中，AO=BO=，
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OB1，OA所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面A1B1C1的法向量為，
則有，可取，
因?yàn)锳O⊥平面BB1C1C，
所以即為平面BB1C1C的一個法向量，
則，
由圖可知二面角為鈍二面角，
所以二面角的余弦值為．
19. 已知橢圓C1:=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)與拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)重合，橢圓C1的離心率為，過橢圓C1的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截拋物線所得弦的長度為4.
（1）求橢圓C1和拋物線C2的方程.
（2）過點(diǎn)A(-4，0)的直線l與橢圓C1交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為E.當(dāng)直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時，直線EN是否經(jīng)過一定點(diǎn)?請判斷并證明你的結(jié)論.
【正確答案】（1）橢圓C1的方程為=1，拋物線C2的方程為y2=8x；
（2）直線EN恒過一定點(diǎn)Q(-1，0)，證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合橢圓的對稱性、直線斜率公式進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓C1的半焦距為c.依題意，可得a=，則C2:y2=4ax，
代入x=c，得y2=4ac，即y=±2，所以4=4，
則有，所以a=2，b=，
所以橢圓C1的方程為=1，拋物線C2的方程為y2=8x.
【小問2詳解】
依題意，當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)其方程為x=ty-4，
由，得(3t2+4)y2-24ty+36=0.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則E(x1，-y1).由Δ>0，得t2，
且y1+y2=，y1y2=.
根據(jù)橢圓的對稱性可知，若直線EN過定點(diǎn)，此定點(diǎn)必在x軸上，設(shè)此定點(diǎn)為Q(m，0).
因?yàn)閗NQ=kEQ，所以，(x1-m)y2+(x2-m)y1=0，
即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0，2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0，
即2t·-(m+4)·=0，得(3-m-4)t=(-m-1)t=0，
由t是大于2或小于-2的任意實(shí)數(shù)知m=-1，所以直線EN過定點(diǎn)Q(-1，0).
當(dāng)直線l的斜率為0時，直線EN的方程為y=0，也經(jīng)過點(diǎn)Q(-1，0)，
所以當(dāng)直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時，直線EN恒過一定點(diǎn)Q(-1，0).
關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和橢圓性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
20. 某市有一家大型共享汽車公司，在市場上分別投放了黃、藍(lán)兩種顏色的汽車，已知黃、藍(lán)兩種顏色的汽車的投放比例為.監(jiān)管部門為了了解這兩種顏色汽車的質(zhì)量，決定從投放到市場上的汽車中隨機(jī)抽取5輛汽車進(jìn)行試駕體驗(yàn)，假設(shè)每輛汽車被抽取的時能性相同.
（1）求抽取的5輛汽車中恰有2輛是藍(lán)色汽車的概率；
（2）在試駕體驗(yàn)過程中，發(fā)現(xiàn)藍(lán)色汽車存在一定質(zhì)量問題，監(jiān)管部門決定從投放的汽車中隨機(jī)地抽取一輛送技術(shù)部門作進(jìn)一步抽樣檢測，并規(guī)定：若抽取的是黃色汽車.則將其放回市場，并繼續(xù)隨機(jī)地抽取下一輛汽車；若抽到的是藍(lán)色汽車，則抽樣結(jié)束；并規(guī)定抽樣的次數(shù)不超過次，在抽樣結(jié)束時，若已取到的黃色汽車數(shù)以表示，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【正確答案】（1）；（2）分布列見解析，.
【分析】
（1）任取1輛汽車取到藍(lán)色汽車的概率為，從投放到市場上的汽車中隨機(jī)抽取5輛汽車進(jìn)行試駕體驗(yàn)，取到藍(lán)色汽車的數(shù)量，由此能求出抽取的5輛汽車中恰有2輛是藍(lán)色汽車的概率．
（2）的可能取值為0，1，2，，，，，，，，，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【詳解】解：（1）因?yàn)殡S機(jī)地抽取一輛汽車是藍(lán)色汽車的概率為，
用表示“抽取的5輛汽車中藍(lán)顏色汽車的個數(shù)”，則服從二項(xiàng)分布，即，
所以抽取的5輛汽車中有2輛是藍(lán)顏色汽車的概率.
（2）的可能取值為：0，1，2，…，.
，，，……，
，.
所以的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望為：
， （1）
. （2）
（1）-（2）得：
，
.
所以.
本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
21. 已知函數(shù)，既存在極大值，又存在極小值.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時，、分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）由已知可得，分析可知方程有兩個不等的實(shí)根，解方程，可得出關(guān)于的不等式，即可得解；
（2）求得，，可得出，，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，分、兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，驗(yàn)證不等式對任意的是否恒成立，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
解：由可得
，
因?yàn)楹瘮?shù)既存在極大值，又存在極小值，則必有兩個不等的實(shí)根，則，
由可得，，所以，，解得且.
因此，實(shí)數(shù)取值范圍是.
【小問2詳解】
解：，則.
由可得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
由可得或，則函數(shù)的增區(qū)間為和，
所以，，，則，，
由題意可得對任意的恒成立，
由于此時，則，
所以，，則，
構(gòu)造函數(shù)，其中，
則，
令，則.
①當(dāng)時，，所以，在上單調(diào)遞增，
所以，即，符合題意；
②當(dāng)時，，設(shè)方程的兩根分別為、，
則，，設(shè)，
則當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，即，不合題意.
綜上所述，的取值范圍是.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，在求解時注意根據(jù)函數(shù)值符號判斷出參數(shù)的符號，進(jìn)而對參數(shù)進(jìn)行分類討論求解.
[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).設(shè)直線與的交點(diǎn)為P，當(dāng)變化時點(diǎn)P的軌跡為曲線.
（1）求出曲線的普通方程;
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值.
【正確答案】（1）
（2）.
【分析】（1）消參得兩直線的普通方程，兩式相乘可得，再由，可得；（2）直線的直角坐標(biāo)方程與的參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)，代入點(diǎn)到直線的距離公式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值.
【小問1詳解】
分別消去，的參數(shù)方程中的參數(shù)，得，的普通方程為
，，兩式相乘消去可得，
因?yàn)椋?，所以曲線的普通方程為
【小問2詳解】
因?yàn)椋?，所以直線的直角坐標(biāo)方程為.結(jié)合（1）知曲線與直線無公共點(diǎn)，
曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，，)，
所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離
，
所以當(dāng)時，取得最大值，為.
[選修4-5:不等式選講]
23. 已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）若函數(shù)的最小值為，正數(shù)，滿足，求證.
【正確答案】（1）或；（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)，可得或或，然后解不等式組即可得到解集；
（2）先利用絕對值三角不等式求出的最小值，再利用基本不等式求出的最小值即可．
【詳解】解：（1）當(dāng)時，得，∴；
當(dāng)時，得，∴無解；
當(dāng)時，得；
綜上，不等式的解集為或.
（2）∵，∴，即，
又由均值不等式有：，，
兩式相加得，∴.
本題考查了絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式和基本不等式，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬于中檔題．
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