
1.了解基本不等式的證明過(guò)程.2.能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.3.掌握基本不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用.
ZHISHIZHENDUANZICE
3.利用基本不等式求最值
1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
3.(必修一P58T5改編)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,則ab的最小值為_(kāi)_____.
4.若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地,則矩形場(chǎng)地的最大面積是________m2.
解析 設(shè)矩形的一邊為x m,面積為y m2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=10-x,即x=5時(shí),等號(hào)成立,所以ymax=25,即矩形場(chǎng)地的最大面積是25 m2.
KAODIANJUJIAOTUPO
考點(diǎn)一 利用基本不等式求最值
解析 由a>0,b>0,a+b=9,
解析 由00,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為_(kāi)_______.
解析 法一(換元消元法)
當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=1時(shí)取等號(hào).即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,令x+3y=t,則t>0且t2+12t-108≥0,得t≥6,即x+3y的最小值為6.
即x=4,y=8時(shí),等號(hào)成立,則2x+y的最小值為16.
解析 因?yàn)閤>-1,則x+1>0,
所以函數(shù)的最小值為9.
考點(diǎn)二 利用基本不等式求參數(shù)的值或范圍
(2)(2024·佛山模擬)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+y-xy=0,且不等式xy≥m2-6m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
解析 因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,y滿足4x+y-xy=0,
當(dāng)且僅當(dāng)y=4x時(shí)等號(hào)成立,由xy≥m2-6m恒成立,可得16≥m2-6m,解得-2≤m≤8.
對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題可利用分離參數(shù)法,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值.
即8+2a=10,故a=1.
解析 因?yàn)閤>0,y≥0,且x+2y=1,
即x=1,y=0時(shí)等號(hào)成立,
即m2-5m+4≤0,解得1≤m≤4,所以整數(shù)m可取1,2,3,4,共4個(gè),故選C.
考點(diǎn)三 利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題
例5 為了美化校園環(huán)境,園藝師在花園中規(guī)劃出一個(gè)平行四邊形,建成一個(gè)小花圃,如圖,計(jì)劃以相距6米的M,N兩點(diǎn)為?AMBN一組相對(duì)的頂點(diǎn),當(dāng)?AMBN的周長(zhǎng)恒為20米時(shí),小花圃占地面積(單位:平方米)最大為( )
解析 設(shè)AM=x,AN=y(tǒng),則由已知可得x+y=10,在△MAN中,MN=6,
A.6 B.12 C.18 D.24
此時(shí)四邊形AMBN是邊長(zhǎng)為5米的菱形.
利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的思路(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后,只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時(shí),一定要在定義域(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.
訓(xùn)練3 某公司購(gòu)買(mǎi)一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場(chǎng)分析,每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位:年)的關(guān)系式為y=-x2+18x-25(x∈N*),則每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的最大年平均利潤(rùn)是________萬(wàn)元.
當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤(rùn)最大,最大為8萬(wàn)元.
微點(diǎn)突破 基本不等式鏈
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.已知a>0,b>0,若2a+b=4,則ab的最大值為( )
∴ab≤2,當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=2時(shí),等號(hào)成立,∴ab的最大值為2.
解析 ∵a2+b2=13,
又ab>0,所以a>0,b>0,
4.(2023·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)質(zhì)檢)已知x>0,y>0,且x+y=7,則(1+x)(2+y)的最大值為( )A.36 B.25 C.16 D.9
解析 由x+y=7,得(x+1)+(y+2)=10,
當(dāng)且僅當(dāng)1+x=2+y,即x=4,y=3時(shí)等號(hào)成立,所以(1+x)(2+y)的最大值為25.
解析 ∵x<,∴3x-2<0,
6.(2024·巴蜀中學(xué)模擬)已知x>0,y>0,且xy+x-2y=4,則2x+y的最小值是( )A.4 B.5 C.7 D.9
解析 法一 因?yàn)閤y+x-2y=4,所以(y+1)x=4+2y,
法二 由xy+x-2y=4,得(x-2)·(y+1)=2,因?yàn)閥+1>0,所以x-2>0,
當(dāng)且僅當(dāng)2(x-2)=y(tǒng)+1,即y=1,x=3時(shí)等號(hào)成立.
7.(多選)(2023·廈門(mén)質(zhì)檢)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=1,則( )
解析 因?yàn)閤,y為正實(shí)數(shù),且x+y=1,所以y=1-x,x∈(0,1),
9.某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸,每次都購(gòu)買(mǎi)x噸,運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x=________噸.
11.已知x>0,y>0,且2x+8y=xy,求:(1)xy的最小值;
當(dāng)且僅當(dāng)2x=8y,即x=16,y=4時(shí),等號(hào)成立,∴xy的最小值為64.
(2)x+y的最小值.
即x=12,y=6時(shí)等號(hào)成立,所以x+y的最小值為18.
設(shè)t=a+2,t∈(1,4),則a=t-2.
法二 因?yàn)椋?0,且(1+a)+(2-a)=3,
由題意,得16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m對(duì)任意的x恒成立,又x2-4x-2=(x-2)2-6≥-6,所以-6≥-m,即m≥6.
14.某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙(記為矩形ABCD,如圖)上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的宣傳欄(欄面分別為一個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角梯形),宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1 440 cm2.為了美觀,要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2 cm.當(dāng)直角梯形的高為多少(cm)時(shí),用紙量最少(即矩形ABCD的面積最小)?
解 設(shè)直角梯形的高為x cm,∵宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1 440 cm2,且海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2 cm,
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