1.理解確定圓的幾何要素，探索并掌握圓的標準方程與一般方程. 2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.圓的定義和圓的方程
2.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).
解析　(1)當a＝0時，x2＋y2＝0表示點(0，0)；當a≠0時，表示半徑為|a|的圓.
解析　法一　∵圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圓C的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
3.(2023·上海卷)已知圓C：x2＋y2－4y－m＝0的面積為π，則m＝________.
解析　由x2＋y2－4y－m＝0得x2＋(y－2)2＝m＋4，
∴π(m＋4)＝π，解得m＝－3.
4.(選修一P85T4改編)已知△AOB的三個頂點分別是點A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，則△AOB的外接圓的標準方程是______________________.
KAODIANJUJIAOTUPO
例1 (1)已知圓的圓心為點(2，－3)，一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是(　　)A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析　設(shè)兩端點分別為(a，0)和(0，b)，則a＋0＝2×2，0＋b＝2×(－3)，即a＝4，b＝－6，
(2)(2022·全國甲卷)設(shè)點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3，0)和(0，1)均在⊙M上，則⊙M的方程為_______________________.
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析　法一　設(shè)⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二　設(shè)⊙M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
∴⊙M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法三　設(shè)A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半徑為r，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量.確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)：①圓心在過切點且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，標準方程或一般方程，用待定系數(shù)法求系數(shù).
訓(xùn)練1 (1)(2024·邯鄲模擬)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為____________________.
(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
解析　到兩直線3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，
又兩平行線間的距離為2，所以圓M的半徑為1，從而圓M的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
(2)(2022·全國乙卷)過四點(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三點的一個圓的方程為______________________________________________________________________________________ (寫出一個即可).
解析　依題意設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.①若圓過(0，0)，(4，0)，(－1，1)三點，
所以圓的方程為x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
所以圓的方程為x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；③若圓過(0，0)，(4，2)，(－1，1)三點，
考點二　與圓有關(guān)的軌跡問題
例2 已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角頂點C的軌跡方程；
解　法一　設(shè)C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.因為AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1.
化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
法二　設(shè)AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1，0)，
由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點)，所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.
解　設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3，0)，M是線段BC的中點，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式.
所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)，所以x2＋(y－2)2＝8為點M的軌跡方程.
(2)若長為10的線段的兩個端點A，B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點M的軌跡方程為______________.
解析　設(shè)M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，
得4x2＋4y2＝100，即點M的軌跡方程為x2＋y2＝25.
考點三　與圓有關(guān)的最值問題
(2)x＋y的最大值和最小值；
解　設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距.
解析　P是x軸上任意一點，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對稱點C1′(2，－3)，
由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
解析　將方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化為(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圓心為(2，1)，半徑為3的圓.設(shè)z＝x－y，數(shù)形結(jié)合知，只有當直線x－y－z＝0與圓相切時，z才能取到最大值，
(2)(2024·福州質(zhì)檢)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1關(guān)于直線ax＋2y＋1＝0對稱的圓記為⊙O2，點E，F(xiàn)分別為⊙O1，⊙O2上的動點，EF長度的最小值為4，則a＝________.
因為⊙O1和⊙O2關(guān)于直線ax＋2y＋1＝0對稱，所以|O1O2|＝2d，則EF長度的最小值為||O1O2|－2r|＝|2d－4|，又EF長度的最小值為4，所以|2d－4|＝4，易知d>0，所以d＝4，
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.下列各點中，在圓(x－1)2＋(y＋2)2＝25的內(nèi)部的是(　　)A.(0，2)B.(3，3)C.(－2，2)D.(4，2)
解析　由(0－1)2＋(2＋2)225知(3，3)在圓外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圓上，由(4－1)2＋(2＋2)2＝25知(4，2)在圓上.
2.圓心為(1，1)且過原點的圓的方程是(　　)A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析　因為圓心為(1，1)且過原點，
3.圓C：x2＋y2－2x－3＝0關(guān)于直線l：y＝x對稱的圓的方程為(　　)A.x2＋y2－2y－3＝0B.x2＋y2－2y－15＝0C.x2＋y2＋2y－3＝0D.x2＋y2＋2y－15＝0
解析　由題意，得圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為(1，0)，半徑為2.故其關(guān)于直線l：y＝x對稱的圓的圓心為(0，1)，半徑為2，故對稱圓的方程為x2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2y－3＝0.
解析　設(shè)△ABC的外接圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
所以△ABC的外接圓M的方程為x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.
因為直線x＋y＝0不經(jīng)過圓M的圓心(1，3)，所以圓M不關(guān)于直線x＋y＝0對稱.因為(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故點(2，3)在圓M內(nèi).
5.設(shè)P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　)A.6B.25C.26D.36
解析　(x－5)2＋(y＋4)2表示點P(x，y)到(5，－4)的距離的平方，∵P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為圓心(2，0)到(5，－4)的距離與半徑之和的平方，
解析　圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圓心為(－1，－2)，依題意，點(－1，－2)在直線ax＋by＋1＝0上，因此－a－2b＋1＝0，即a＋2b＝1(a>0，b>0)，
8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是____________，半徑是________.
解析　依據(jù)圓的方程特征，得a2＝a＋2，解得a＝－1或2.當a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，則圓心為(－2，－4)，半徑是5；當a＝2時，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，
9.已知等腰△ABC，其中頂點A的坐標為(0，0)，底邊的一個端點B的坐標為(1，1)，則另一個端點C的軌跡方程為_______________________________________.
x2＋y2＝2(除去點(1，1)和點(－1，－1))
解析　設(shè)C(x，y)，根據(jù)在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考慮到A，B，C三點要構(gòu)成三角形，因此點C不能為(1，1)和(－1，－1).所以點C的軌跡方程為x2＋y2＝2(除去點(1，1)和點(－1，－1)).
10.(2024·德州聯(lián)考)已知A(0，2)，點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________.
解析　因為圓C：x2＋y2－4x－2y＝0，
解得b＝1，所以外接圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.
(2)若線段MN的端點N的坐標為(5，2)，端點M在圓E上運動，求線段MN的中點P的軌跡方程.
解　設(shè)P(x，y)，由于P是MN中點，由中點坐標公式，得M(2x－5，2y－2)，代入x2＋(y－1)2＝10，
12.已知M(m，n)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點.求：(1)m＋2n的最大值；
設(shè)m＋2n＝t，將m＋2n＝t看成直線方程，因為該直線與圓有公共點，
設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.
13.(多選)設(shè)有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列說法正確的是(　　　)A.不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上B.所有圓Ck均不經(jīng)過點(3，0)C.經(jīng)過點(2，2)的圓Ck有且只有一個D.所有圓的面積均為4π
解析　圓心坐標為(k，k)，在直線y＝x上，A正確；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化簡得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0無實數(shù)根， B正確；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化簡得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有兩個不相等實根，∴經(jīng)過點(2，2)的圓Ck有兩個，C錯誤；由圓的半徑為2，得圓的面積為4π，D正確.
14.已知點P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點.(1)求M的軌跡方程；
解　圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0，4)，半徑為4.
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于點P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積.
故O在線段PM的垂直平分線上，點P(2，2)適合圓N的方程，易知P在圓N上，從而ON⊥PM.

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