一、選擇題
1. （2024福建省）在同一平面內(nèi)，將直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如圖方式擺放，若，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)，由，可得，即可求解．
∵，
∴，
∵，則，
∴，
故選：A．
2. （2024黑龍江齊齊哈爾）將一個(gè)含角的三角尺和直尺如圖放置，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)對頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理，即可求解．
如圖所示，
由題意得，，，
∴，
故選：B．
3. （2024內(nèi)蒙古赤峰）等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長為（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長，由方程可得，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為，腰長為，進(jìn)而即可求出三角形的周長，掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底邊長為，腰長為，
∴這個(gè)三角形的周長為，
故選：．
4. （2024云南?。┮阎堑妊走吷系母?，若點(diǎn)到直線的距離為3，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
由等腰三角形“三線合一”得到平分，再角平分線的性質(zhì)定理即可求解．
如圖，
∵是等腰底邊上的高，
∴平分，
∴點(diǎn)F到直線，的距離相等，
∵點(diǎn)到直線的距離為3，
∴點(diǎn)到直線的距離為3．
故選：C．
5. （2024安徽省）在凸五邊形中，，，F(xiàn)是的中點(diǎn)．下列條件中，不能推出與一定垂直的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定的方法是解題的關(guān)鍵．
利用全等三角形的判定及性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行判定，結(jié)合根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可證得結(jié)論．
【詳解】解：A、連接，

∵，，，
∴，
∴
又∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)
∴，故不符合題意；
B、連接，

∵，，，
∴，
∴，
又∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
∴，故不符合題意；
C、連接，

∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴，
∴， ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故不符合題意；
D、，無法得出題干結(jié)論，符合題意；
故選：D．
6. （2024四川廣安）如圖，在中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了三角形中位線定理、平行線性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．先證明，可得，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案.
【詳解】∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選D
二、填空題
1. （2024湖南省）一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角為，則它的頂角的度數(shù)是________度．
【答案】
【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，解答時(shí)根據(jù)等腰三角形兩底角相等，求出頂角度數(shù)即可．
【詳解】因?yàn)槠涞捉菫?0°，所以其頂角．
故答案為：100．
2. （2024重慶市B）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)．若，則的長度為________．
【答案】2
【解析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出，再由角平分線的定義得到，進(jìn)而可證明，即可推出．
【詳解】∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案為：2．
3. （2024四川涼山）如圖，中，是邊上的高，是的平分線，則的度數(shù)是______．
【答案】##100度
【解析】本題考查了三角形內(nèi)角和以及外角性質(zhì)、角平分線的定義．先求出，結(jié)合高的定義，得，因?yàn)榻瞧椒志€的定義得，運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)，即可作答．
【詳解】∵，
∴，
∵是邊上的高，
∴，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴．
故答案為：．
4. （2024四川內(nèi)江）如圖，在中，，，，則的度數(shù)為________；

【答案】##100度
【解析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，角的和差．
根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，根據(jù)，得到，，從而，根據(jù)角的和差有，即可解答．
【詳解】∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴．
故答案為：
5. （2024黑龍江綏化）如圖，，，．則______．
【答案】66
【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
6. （2024四川成都市）如圖，，若，，則的度數(shù)為______．
【答案】##100度
【解析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，先利用全等三角形的性質(zhì)，求出，再利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)即可．
【詳解】由，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：
三、解答題
1. （2024云南?。┤鐖D，在和中，，，．
求證：．
【答案】見解析
【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．利用“”證明，即可解決問題．
【詳解】證明：，
，即，
在和中，
，
．
2. （2024四川樂山）知：如圖，平分，．求證：．
【答案】見解析
【解析】利用證明，即可證明．
平分，
，
在和中，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握、、、等全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
3. （2024江蘇連云港）如圖，與相交于點(diǎn)，，．
（1）求證：；
（2）用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：求作菱形，使得點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上．（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，結(jié)合，利用即可證明；
（2）作的垂直平分線，分別交于點(diǎn)，連接即可．
【小問1詳解】
證明：，
，．
在和中，，
；
【小問2詳解】
解：是的垂直平分線，
，
由（1）的結(jié)論可知，,
又∵,
則,
∴
，
是的垂直平分線，
，
，
四邊形是菱形，
如圖所示，菱形為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的作法，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定，菱形的判定，熟練掌握垂直平分線的作法及三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．
4. （2024江蘇蘇州） 如圖，中，，分別以B，C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接，，，與交于點(diǎn)E．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是：
（1）直接利用證明即可；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)可求出，利用三線合一性質(zhì)得出，，在中，利用正弦定義求出，即可求解．
【小問1詳解】
證明：由作圖知：．
在和中，
．
【小問2詳解】
解：，，
．
又，
，．
，
，
．
5. （2024江蘇鹽城）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，，．
若________，則．
請從①；②；③這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號），使結(jié)論成立，并說明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析
【解析】【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合圖形即可證明；②得不出相應(yīng)的結(jié)論；③根據(jù)全等三角形的判定得出，結(jié)合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：選擇①；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
選擇②；
無法證明，
無法得出；
選擇③；
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，即；
故答案為：①或③（答案不唯一）
6. （2024四川南充）如圖，在中，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：．
（2）若，求證：
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)：
（1）由中點(diǎn)，得到，由，得到，即可得證；
（2）由全等三角形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而推出垂直平分，即可得證．
【小問1詳解】
證明：為的中點(diǎn)，
．
；
在和中，
；
【小問2詳解】
證明：
垂直平分，
．
7. （2024四川自貢）如圖，在中，，．
（1）求證：；
（2）若，平分，請直接寫出的形狀．
【答案】（1）見解析 （2）是等腰直角三角形．
【解析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定．
（1）由平行證明，由等量代換得到，利用平行線的判定“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”證明，即可證明；
（2）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義求得，，據(jù)此即可得到是等腰直角三角形．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
8. （2024四川宜賓）如圖，點(diǎn)D、E分別是等邊三角形邊、上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．求證：．
【答案】見解析
【解析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．
【詳解】證明∶∵是等邊三角形，
∴，，
又，
∴，
∴．
9. （2024四川內(nèi)江）如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，
（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練地掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.
（1）先證明，再結(jié)合已知條件可得結(jié)論；
（2）證明，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論.
【小問1詳解】
證明：∵
∴，即
∵，
∴
【小問2詳解】
∵，，
∴，
∵，
∴

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