【備戰(zhàn)2025年中考】一輪復(fù)習(xí) 初中數(shù)學(xué) 真題分項(xiàng)匯編專題28 概率（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題
1. （2024武漢市）小美和小好同學(xué)做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時出相同的手勢，這個事件是（）
A. 隨機(jī)事件B. 不可能事件C. 必然事件D. 確定性事件
【答案】A
【解析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
兩人同時出相同的手勢，，這個事件是隨機(jī)事件，
故選：A．
2. （2024湖北?。┫铝懈魇录牵潜厝皇录氖牵? ）
A. 擲一枚正方體骰子，正面朝上恰好是3B. 某同學(xué)投籃球，一定投不中
C. 經(jīng)過紅綠燈路口時，一定是紅燈D. 畫一個三角形，其內(nèi)角和為
【答案】D
【解析】本題考查了隨機(jī)事件和必然事件，解題的關(guān)鍵是掌握一定會發(fā)生的是必然事件，有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的是隨機(jī)事件，據(jù)此逐個判斷即可．
【詳解】A、擲一枚正方體骰子，正面朝上恰好是3，是隨機(jī)事件，不符合題意；
B、某同學(xué)投籃球，一定投不中，是隨機(jī)事件，不符合題意；
C、經(jīng)過紅綠燈路口時，一定是紅燈，是隨機(jī)事件，不符合題意；
D、畫一個三角形，其內(nèi)角和為，是必然事件，符合題意；
故選：D．
3. （2024四川內(nèi)江）下列事件是必然事件的是（）
A. 打開電視機(jī)，中央臺正在播放“嫦娥六號完成人類首次背月采樣”的新聞
B 從兩個班級中任選三名學(xué)生擔(dān)任學(xué)校安全督查員，至少有兩名學(xué)生來自同一個班級
C. 小明在內(nèi)江平臺一定能搶到龍舟節(jié)開幕式門票
D. 從《西游記》《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》這四本書中隨機(jī)抽取一本是《三國演義》
【答案】B
【解析】本題考查了事件的分類，熟記必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念是解題關(guān)鍵．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)定義，對每個選項(xiàng)逐一判斷．
【詳解】A、是隨機(jī)事件，不符合題意，選項(xiàng)錯誤；
B、是必然事件，符合題意，選項(xiàng)正確；
C、是隨機(jī)事件，不符合題意，選項(xiàng)錯誤；
D、是隨機(jī)事件，不符合題意，選項(xiàng)錯誤；
故選：B．
4. （2024江蘇連云港）下列說法正確的是（）
A. 10張票中有1張獎票，10人去摸，先摸的人摸到獎票的概率較大
B. 從1，2，3，4，5中隨機(jī)抽取一個數(shù)，取得偶數(shù)的可能性較大
C. 小強(qiáng)一次擲出3顆質(zhì)地均勻骰子，3顆全是6點(diǎn)朝上是隨機(jī)事件
D. 拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為，連續(xù)拋此硬幣2次必有1次正面朝上
【答案】C
【解析】本題考查事件發(fā)生的可能性與概率．由題意根據(jù)事件的可能性以及事件發(fā)生的概率對各選項(xiàng)進(jìn)行依次判斷即可．
A、“10張票中有1張獎票，10人去摸，先摸的人摸到獎票的概率一樣”，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
B、從1，2，3，4，5中隨機(jī)抽取一個數(shù)，奇數(shù)有3個，偶數(shù)有2個，取得奇數(shù)的可能性較大，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
C、 “小強(qiáng)一次擲出3顆質(zhì)地均勻的骰子，3顆全是6點(diǎn)朝上是隨機(jī)事件”，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
D、拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為，連續(xù)拋此硬幣2次有可能有1次正面朝上，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
故選：C．
5. （2024貴州?。┬⌒峭瑢W(xué)通過大量重復(fù)的定點(diǎn)投籃練習(xí)，用頻率估計他投中的概率為0.4，下列說法正確的是（）
A. 小星定點(diǎn)投籃1次，不一定能投中B. 小星定點(diǎn)投籃1次，一定可以投中
C. 小星定點(diǎn)投籃10次，一定投中4次D. 小星定點(diǎn)投籃4次，一定投中1次
【答案】A
【解析】本題主要考查了概率的意義，概率是反映事件發(fā)生機(jī)會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機(jī)會的大小，機(jī)會大也不一定發(fā)生，據(jù)此求解即可．
小星同學(xué)通過大量重復(fù)的定點(diǎn)投籃練習(xí)，用頻率估計他投中的概率為0.4，則由概率的意義可知，小星定點(diǎn)投籃1次，不一定能投中，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯誤；
小星定點(diǎn)投籃10次，不一定投中4次，故選項(xiàng)C錯誤；
小星定點(diǎn)投籃4次，不一定投中1次，故選項(xiàng)D錯誤
故選；A．
6. （2024深圳）二十四節(jié)氣，它基本概括了一年中四季交替的準(zhǔn)確時間以及大自然中一些物候等自然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，二十四個節(jié)氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個節(jié)氣中選一個節(jié)氣，則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了概率公式．根據(jù)概率公式直接得出答案．
二十四個節(jié)氣中選一個節(jié)氣，抽到的節(jié)氣在夏季的有六個，
則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為，
故選：D．
7. （2024廣西）不透明袋子中裝有白球2個，紅球1個，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個球，取出白球的概率是（）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查求概率，直接利用概率公式進(jìn)行計算即可．
【詳解】從袋子中隨機(jī)取出1個球，有種等可能的結(jié)果，其中取出白球的情況有2種，
∴；
故選D．
8. （2024武漢市）經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，這三種可能性大小相同．若兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口，則至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查的是運(yùn)用樹狀圖求概率，運(yùn)用樹狀圖法確定所有情況數(shù)和符合題意情況數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．
運(yùn)用樹狀圖法確定所有情況數(shù)和符合題意情況數(shù)，然后用概率公式解答即可．
【詳解】列樹狀圖如圖所示，
共有9種情況，至少一輛車向右轉(zhuǎn)有5種，
∴至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率是，
故選：D．
9. （2024河南省）豫劇是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，因其雅俗共賞，深受大眾喜愛．正面印有豫劇經(jīng)典劇目人物的三張卡片如圖所示，它們除正面外完全相同．把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，放回洗勻后，再從中隨機(jī)抽取一張，兩次抽取的卡片正面相同的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了樹狀圖法或列表法求概率，解題的關(guān)鍵是正確畫出樹狀圖得到所有的等可能的結(jié)果數(shù)．根據(jù)題意，利用樹狀圖法將所有結(jié)果都列舉出來，然后根據(jù)概率公式計算解決即可．
【詳解】把3張卡片分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次抽取的卡片正面相同的結(jié)果有3種，
∴兩次抽取的卡片圖案相同的概率為．
故選∶D．
10. （2024黑龍江齊齊哈爾）六月份，在“陽光大課間”活動中，某校設(shè)計了“籃球、足球、排球、羽毛球”四種球類運(yùn)動項(xiàng)目，且每名學(xué)生在一個大課間只能選擇參加一種運(yùn)動項(xiàng)目，則甲、乙兩名學(xué)生在一個大課間參加同種球類運(yùn)動項(xiàng)目的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，分別用A、B、C、D表示籃球、足球、排球、羽毛球，根據(jù)題意畫樹狀圖求解即可．
【詳解】分別用A、B、C、D表示籃球、足球、排球、羽毛球，
列樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有種等可能情況，其中甲、乙兩名學(xué)生在一個大課間參加同種球類運(yùn)動項(xiàng)目的情況有種，
即甲、乙兩名學(xué)生在一個大課間參加同種球類運(yùn)動項(xiàng)目的概率是，
故選：C．
11. （2024北京市）不透明的袋子中裝有一個紅色小球和一個白色小球，除顏色外兩個小球無其他差別．從中隨機(jī)取出一個小球后，放回并搖勻，再從中隨機(jī)取出一個小球，則兩次都取到白色小球的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了畫樹狀圖或列表法求概率，依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率即可．
【詳解】畫樹狀圖如下：
共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次都取到白色小球的結(jié)果有1種，
兩次都取到白色小球的概率為．
故選：D．
12. （2024福建?。└绲掳秃仗岢觥懊總€大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，根據(jù)題意畫出樹狀圖，求和后利用概率公式計算即可．
畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有6種不同情況，和是偶數(shù)的共有2種情況，故和是偶數(shù)的概率是
，
故選：B
13. （2024山東威海）如圖，在扇形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影部分的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查的是求不規(guī)則圖形的面積，幾何概率，根據(jù)陰影部分面積等于扇形的面積，即可求解．
∵，，
∴四邊形是矩形，
∴
∴
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)
∴
∴
∴
∴，，
點(diǎn)落在陰影部分的概率是
故選：B．
二、填空題
1. （2024湖北?。┲袊糯艹龅臄?shù)學(xué)家祖沖之、劉徽、趙爽、秦九韶、楊輝，從中任選一個，恰好是趙爽的概率是______．
【答案】
【解析】本題主要考查運(yùn)用概率公式求概率，根據(jù)概率公式即可得出答案．
共有5位數(shù)學(xué)家，趙爽是其中一位，
所以，從中任選一個，恰好是趙爽概率是，
故答案為：
2. （2024天津市）不透明袋子中裝有10個球，其中有3個綠球、4個黑球、3個紅球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是綠球的概率為______．
【答案】##0.3
【解析】本題考查了概率公式的應(yīng)用，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．用綠球的個數(shù)除以球的總數(shù)即可．
【詳解】解：∵不透明袋子中裝有10個球，其中有3個綠球、4個黑球、3個紅球，這些球除顏色外無其他差別，
∴從袋子中隨機(jī)取出1個球，它是綠球的概率為，
故答案為：．
3. （2024重慶市B）甲、乙兩人分別從A、B、C三個景區(qū)中隨機(jī)選取一個景區(qū)前往游覽，則他們恰好選擇同一景區(qū)的概率為________．
【答案】
【解析】本題考查了列表法與樹狀圖法：畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出甲、乙恰好游玩同一景點(diǎn)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
由圖可知，共有9種等可能的情況，他們選擇同一個景點(diǎn)有3種，
故他們選擇同一個景點(diǎn)的概率是：，
故答案為：．
4. （2024湖南?。┯兴拿恫馁|(zhì)、大小、背面圖案完全相同的中國象棋棋子“”“”“”“”，將它們背面朝上任意放置，從中隨機(jī)翻開一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．
【答案】
【解析】本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解本題的關(guān)鍵．概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
根據(jù)概率公式計算即可．
【詳解】∵共有4枚棋子，
∴從中任意摸出一張，恰好翻到棋子“”的概率是．
故答案為：
5. （2024四川達(dá)州）“四大名著”《紅樓夢》《水滸傳》《三國演義》《西游記》是中國優(yōu)秀文化的重要組成部分．某校七年級準(zhǔn)備從這四部名著中隨機(jī)抽取兩本（先隨機(jī)抽取一本，不放回，再隨機(jī)抽取另一本）開展“名著共讀”活動，則該年級的學(xué)生恰好抽取到《三國演義》和《西游記》的概率是______．
【答案】
【解析】本題考查畫樹狀圖法求等可能事件的概率；畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩本恰好是《水滸傳》和《西游記》的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【詳解】把《紅樓夢》《水滸傳》《三國演義》《西游記》四本書分別記為A，B，C，D，根據(jù)題意，畫出如下的樹狀圖：
由樹狀圖可知看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．
兩本是《三國演義》和《西游記》的結(jié)果有2種，
所以P（兩本是《三國演義》和《西游記》）．
故答案為：．
6. （2024四川瀘州）在一個不透明的盒子中裝有6個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機(jī)摸出一個球是白球的概率是，則黃球的個數(shù)為______．
【答案】3
【解析】此題考查了分式方程的應(yīng)用，以及概率公式的應(yīng)用．設(shè)黃球的個數(shù)為x個，然后根據(jù)概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案．
【詳解】設(shè)黃球的個數(shù)為x個，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，
∴黃球的個數(shù)為3個．
故答案為：3．
7. （2024上海市）一個袋子中有若干個白球和綠球，它們除了顏色外都相同隨機(jī)從中摸一個球，恰好摸到綠球的概率是，則袋子中至少有___________個綠球．
【答案】3
【解析】本題主要考查了已知概率求數(shù)量，一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)袋子中綠球有個，則根據(jù)概率計算公式得到球的總數(shù)為個，則白球的數(shù)量為個，再由每種球的個數(shù)為正整數(shù)，列出不等式求解即可．
【詳解】設(shè)袋子中綠球有個，
∵摸到綠球的概率是，
∴球的總數(shù)為個，
∴白球的數(shù)量為個，
∵每種球的個數(shù)為正整數(shù)，
∴，且x為正整數(shù)，
∴，且x正整數(shù)，
∴x的最小值為1，
∴綠球的個數(shù)的最小值為3，
∴袋子中至少有3個綠球，
故答案為：3．
8. （2024四川成都市）盒中有枚黑棋和枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別．從盒中隨機(jī)取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，則的值為______．
【答案】
【解析】本題考查簡單的概率計算、比例性質(zhì)，根據(jù)隨機(jī)取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，進(jìn)而利用比例性質(zhì)求解即可．
∵隨機(jī)取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，
∴，則，
故答案為：．
9. （2024江蘇蘇州）如圖，正八邊形轉(zhuǎn)盤被分成八個面積相等的三角形，任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在陰影部分的概率是______．
【答案】
【解析】首先確定在圖中陰影區(qū)域的面積在整個面積中占的比例，根據(jù)這個比例即可求出指針指向陰影區(qū)域的概率．
本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A），然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率．
【詳解】∵轉(zhuǎn)盤被分成八個面積相等的三角形，其中陰影部分占3份，
∴指針落在陰影區(qū)域的概率為，
故答案為：．
10. （2024江蘇揚(yáng)州）某學(xué)習(xí)小組做拋擲一枚瓶蓋的實(shí)驗(yàn)，整理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表：
隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近于__________（精確到0.01）．
【答案】0.53
【解析】本題考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關(guān)鍵是能夠仔細(xì)觀察表格并了解：現(xiàn)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)附近，可用這個常數(shù)表示概率．根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)解答本題即可．
【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)可得：隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53，
故答案：0.53
三、解答題
1. （2024吉林省）吉林省以“綠水青山就是金山銀山，冰天雪地也是金山銀山”為指引，不斷加大冰雪旅游的宣傳力度，推出各種優(yōu)惠活動，“小土豆”“小砂糖橘”等成為一道靚麗的風(fēng)景線，某滑雪場為吸引游客，每天抽取一定數(shù)量的幸運(yùn)游客，每名幸運(yùn)游客可以從“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個項(xiàng)目中隨機(jī)抽取一個免費(fèi)游玩．若三個項(xiàng)目被抽中的可能性相等，用畫樹狀圖或列表的方法，求幸運(yùn)游客小明與小亮恰好抽中同一個項(xiàng)目的概率．
【答案】
【解析】本題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫出樹狀圖，可知共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，小明與小亮恰好抽中同一個項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)有3種，再由概率公式求解即可．
【詳解】將“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個項(xiàng)目分別記為事件A、B、C，可畫樹狀圖為：
由樹狀圖可知共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，小明與小亮恰好抽中同一個項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)有3種，
∴幸運(yùn)游客小明與小亮恰好抽中同一個項(xiàng)目概率．
2. （2024河北?。┘?、乙、丙三張卡片正面分別寫有，除正面的代數(shù)式不同外，其余均相同．
（1）將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，當(dāng)時，求取出的卡片上代數(shù)式的值為負(fù)數(shù)的概率；
（2）將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，放回后重新洗勻，再隨機(jī)抽取一張．請在表格中補(bǔ)全兩次取出的卡片上代數(shù)式之和的所有可能結(jié)果（化為最簡），并求出和為單項(xiàng)式的概率．
【答案】（1）（2）填表見解析，
【解析】【分析】（1）先分別求解三個代數(shù)式當(dāng)時的值，再利用概率公式計算即可；
（2）先把表格補(bǔ)充完整，結(jié)合所有可能的結(jié)果數(shù)與符合條件的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計算即可．
【小問1詳解】
解：當(dāng)時，
，，，
∴取出的卡片上代數(shù)式的值為負(fù)數(shù)的概率為：；
【小問2詳解】
解：補(bǔ)全表格如下：
∴所有等可能的結(jié)果數(shù)有種，和為單項(xiàng)式的結(jié)果數(shù)有種，
∴和為單項(xiàng)式的概率為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是代數(shù)式的值，正負(fù)數(shù)的含義，多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的概念，利用列表法求解簡單隨機(jī)事件的概率，掌握基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．
3. （2024江蘇蘇州）一個不透明的盒子里裝有4張書簽，分別描繪“春”，“夏”，“秋”，“冬”四個季節(jié)，書簽除圖案外都相同，并將4張書簽充分?jǐn)噭颍?br>（1）若從盒子中任意抽取1張書簽，恰好抽到“夏”的概率為______；
（2）若從盒子中任意抽取2張書簽（先抽取1張書簽，且這張書簽不放回，再抽取1張書簽），求抽取的書簽恰好1張為“春”，1張為“秋”的概率．（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）
【答案】（1）（2）
【解析】本題考查了利用畫樹狀圖或列表的方法求兩次事件的概率，解題的關(guān)鍵是：
（1）用標(biāo)有“夏”書簽的張數(shù)除以書簽的總張數(shù)即得結(jié)果；
（2）利用樹狀圖畫出所有出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，再找出1張為“春”，1張為“秋”的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式計算即可．
小問1詳解】
解：∵有4張書簽，分別描繪“春”，“夏”，“秋”，“冬”四個季節(jié)，
∴恰好抽到“夏”的概率為，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：用樹狀圖列出所有等可的結(jié)果：
等可能的結(jié)果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）．
在12個等可能的結(jié)果中，抽取的書簽1張為“春”，1張為“秋”出現(xiàn)了2次，
P（抽取的書簽價好1張為“春”，1張為“秋”）．
4. （2024甘肅威武）在一只不透明的布袋中，裝有質(zhì)地、大小均相同的四個小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．甲乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則為：兩人同時從袋中隨機(jī)各摸出1個小球，若兩球上的數(shù)字之和為奇數(shù)，則甲勝；若兩球上的數(shù)字之和為偶數(shù)，則乙勝．
（1）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲獲勝的概率．
（2）這個游戲規(guī)則對甲乙雙方公平嗎？請說明理由．
【答案】（1）
（2）這個游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平，理由見解析
【解析】【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，游戲的公平性：
（1）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到兩球上的數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)，最后利用概率計算公式求解即可；
（2）同（1）求出乙獲勝的概率即可得到結(jié)論．
【小問1詳解】
解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中兩球上的數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)有8種，
∴甲獲勝的概率為；
【小問2詳解】
解：這個游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平，理由如下：
由（1）中的樹狀圖可知，兩球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)有4種，
∴乙獲勝的概率為，
∵，
∴甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率，
∴這個游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平．
5. （2024甘肅臨夏）物理變化和化學(xué)變化的區(qū)別在于是否有新物質(zhì)的生成．某學(xué)習(xí)小組在延時課上制作了，，，四張卡片，四張卡片除圖片內(nèi)容不同外，其他沒有區(qū)別，放置于暗箱中搖勻．
（1）小臨從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽中卡片的概率是______；
（2）小夏從四張卡片中隨機(jī)抽取兩張，用列表法或畫樹狀圖法求小夏抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學(xué)變化的概率．
【答案】（1）（2）
【解析】本題考查簡單的概率計算，列表法或畫樹狀圖法求概率，掌握概率公式和正確的列出表格或畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵．
（1）直接利用概率公式計算即可；
（2）根據(jù)題意列出表格或畫出樹狀圖表示出所有等可能的結(jié)果，再找出抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學(xué)變化的結(jié)果，最后根據(jù)概率公式計算即可．
【小問1詳解】
解：小臨從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽中卡片的概率是．
故答案為：；
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意可列表格如下，
根據(jù)表格可知共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學(xué)變化的結(jié)果有2種，
∴抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學(xué)變化的概率為．
6. （2024貴州?。└鶕?jù)《國家體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定，七年級男生、女生50米短跑時間分別不超過7.7秒、8.3秒為優(yōu)秀等次．某校在七年級學(xué)生中挑選男生、女生各5人進(jìn)行集訓(xùn)，經(jīng)多次測試得到10名學(xué)生的平均成績（單位：秒）記錄如下：
男生成績：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38
女生成績：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）男生成績眾數(shù)為______，女生成績的中位數(shù)為______；
（2）判斷下列兩位同學(xué)的說法是否正確．
（3）教練從成績最好的3名男生（設(shè)為甲，乙，丙）中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生代表學(xué)校參加比賽，請用畫樹狀圖或列表的方法求甲被抽中的概率．
【答案】（1）7.38，8.26 （2）小星的說法正確，小紅的說法錯誤（3）
【解析】【分析】本題考查用樹狀圖或列表法求概率，眾數(shù)和中位數(shù)的定義，掌握列表法或樹狀圖求概率是解題的關(guān)鍵．
（1）利用中位數(shù)和眾數(shù)的定義解題即可；
（2）根據(jù)優(yōu)秀等次的要求進(jìn)行比較解題即可；
（3）列表格得到所有可能的結(jié)果數(shù)，找出符合要求的數(shù)量，根據(jù)概率公式計算即可．
【小問1詳解】
解：男生成績7.38出現(xiàn)的次數(shù)最多，即眾數(shù)為7.38，
女生成績排列為：8.16，8.23，8.26，8.27，8.32，居于中間的數(shù)為8.26，故中位數(shù)為8.26，
故答案為：7.38，8.26；
【小問2詳解】
解：∵用時越少，成績越好，
∴7.38是男生中成績最好的，故小星的說法正確；
∵女生8.3秒為優(yōu)秀成績，，
∴有一人成績達(dá)不到優(yōu)秀，故小紅的說法錯誤；
【小問3詳解】
列表為：
由表格可知共有6種等可能結(jié)果，其中抽中甲的有4種，
故甲被抽中的概率為．
7. （2024黑龍江綏化）為了落實(shí)國家“雙減”政策，某中學(xué)在課后服務(wù)時間里，開展了音樂、體操、誦讀、書法四項(xiàng)社團(tuán)活動．為了了解七年級學(xué)生對社團(tuán)活動的喜愛情況，該校從七年級全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行“你最喜歡哪一項(xiàng)社團(tuán)活動”的問卷調(diào)查，每人必須選擇一項(xiàng)社團(tuán)活動（且只能選擇一項(xiàng)）．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖．

請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息，解答下列問題：
（1）參加本次問卷調(diào)查的學(xué)生共有______人．
（2）在扇形統(tǒng)計圖中，A組所占的百分比是______，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖．
（3）端午節(jié)前夕，學(xué)校計劃進(jìn)行課后服務(wù)成果展示，準(zhǔn)備從這4個社團(tuán)中隨機(jī)抽取2個社團(tuán)匯報展示．請用樹狀圖法或列表法，求選中的2個社團(tuán)恰好是B和C的概率．
【答案】（1）（2），作圖見解析（3）
【解析】【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)，列表法或畫樹狀圖法求概率；
（1）根據(jù)組的人數(shù)除以占比得出總?cè)藬?shù)；
（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)求得組的人數(shù)，進(jìn)而求得占比，以及補(bǔ)全統(tǒng)計圖；
（3）根據(jù)列表法或畫樹狀圖法求概率，即可求解．
【小問1詳解】
解：參加本次問卷調(diào)查的學(xué)生共有（人）；
【小問2詳解】
解：A組人數(shù)為人
A組所占的百分比為：
補(bǔ)全統(tǒng)計圖如圖所示，

【小問3詳解】
畫樹狀圖法如下圖

列表法如下圖
由樹狀圖法或列表法可以看出共有12種結(jié)果，它們出現(xiàn)的可能性相等，選中的2個社團(tuán)恰好是B和C的情況有兩種．
∴P（選中的2個社團(tuán)恰好是B和C）．
8. （2024江蘇鹽城）在“重走建軍路，致敬新四軍”紅色研學(xué)活動中，學(xué)校建議間學(xué)們利用周末時間自主到以下三個基地開展研學(xué)活動．
A．新四軍紀(jì)念館（主館區(qū)）；
B．新四軍重建軍部舊址（泰山廟）：
C．新四軍重建軍部紀(jì)念塔（大銅馬），
小明和小麗各自隨機(jī)選擇一個基地作為本次研學(xué)活動的第一站．
（1）小明選擇基地A的概率為________：
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小麗選擇相同基地的概率．
【答案】（1）（2）
【解析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明和小麗選擇相同基地的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【小問1詳解】
解：由題意得，小明選擇基地A的概率為；
故答案為：
【小問2詳解】
解：列表如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小麗選擇到相同基地的結(jié)果有3種，
∴小明和小麗選擇相同基地的概率為．
9. （2024內(nèi)蒙古赤峰）某校田徑隊(duì)為了調(diào)動隊(duì)員體育訓(xùn)練的積極性，計劃根據(jù)成績情況對隊(duì)員進(jìn)行獎勵．為確定一個適當(dāng)?shù)某煽兡繕?biāo)，進(jìn)行了體育成績測試，統(tǒng)計了每個隊(duì)員的成績，數(shù)據(jù)如下：
整理、描述數(shù)據(jù)
分析數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下表：
解決問題
（1）表格中的______；______；______；
（2）分析平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個數(shù)據(jù)，如果想讓一半左右的隊(duì)員都能達(dá)到成績目標(biāo)，你認(rèn)為成績目標(biāo)應(yīng)定為______分，如果想確定一個較高的成績目標(biāo)，這個成績目標(biāo)應(yīng)定為______分；
（3）學(xué)校要從91分的A，B，C，D四名隊(duì)員中，隨機(jī)抽取兩名隊(duì)員去市里參加系統(tǒng)培訓(xùn)．請利用畫樹狀圖法或列表法，求A，B兩名隊(duì)員恰好同時被選中的概率．
【答案】（1）5；2；75
（2）78；80 （3）A，B兩名隊(duì)員恰好同時被選中的概率為．
【解析】【分析】本題主要考查畫樹狀圖或列表法求隨機(jī)事件的概率，統(tǒng)計表，眾數(shù)和中位數(shù)的意義．
（1）根據(jù)統(tǒng)計表直接寫出a和b的值，根據(jù)眾數(shù)的意義可求解c的值；
（2）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的意義即可求解；
（3）畫樹狀圖或列表法把所有等可能結(jié)果表示出來，再運(yùn)用概率公式即可求解．
【小問1詳解】
解：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)知；；
出現(xiàn)最多的是75分，有5人，眾數(shù)為75分，則；
故答案為：5；2；75；
【小問2詳解】
解：∵由統(tǒng)計圖可知中位數(shù)為78分，
∴如果想讓一半左右的隊(duì)員都能達(dá)到成績目標(biāo)，成績目標(biāo)應(yīng)定為78分，
如果想確定一個較高的目標(biāo)，成績目標(biāo)應(yīng)定為80分，
因?yàn)樵跇颖镜谋姅?shù)，中位數(shù)和平均數(shù)中，平均數(shù)最大，
可以估計，如果成績目標(biāo)定為80分，努力一下都能達(dá)到成績目標(biāo)．
故答案為：78；80；
【小問3詳解】
解：畫樹狀圖表示所有等可能結(jié)果如圖所示，
共有種等可能結(jié)果，A，B兩名隊(duì)員恰好同時被選中的情況有種，
∴A，B兩名隊(duì)員恰好同時被選中的概率為，
答：A，B兩名隊(duì)員恰好同時被選中的概率為．
10. （2024山東煙臺）“山海同行，艦回?zé)熍_”．2024年4月23日，煙臺艦與家鄉(xiāng)人民共慶人民海軍成立75周年．值此，某學(xué)校開展了“奮進(jìn)萬億新征程，共筑強(qiáng)國強(qiáng)軍夢”的主題研學(xué)活動，為了解學(xué)生參與情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生對研學(xué)活動時長（用t表示，單位：h）進(jìn)行調(diào)查．經(jīng)過整理，將數(shù)據(jù)分成四組（A組：；B組：；C組：；D組：），并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．
（1）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（2）扇形統(tǒng)計圖中，a的值為_____，D組對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為______；
（3）D組中有男、女生各兩人，現(xiàn)從這四人中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行研學(xué)宣講，請用樹狀圖或表格求所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）圖見解析（2）（3）
【解析】【分析】本題考查條形圖和扇形圖的綜合應(yīng)用，列表法或樹狀圖法求概率：
（1）組人數(shù)除以所占的比例，求出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出組人數(shù)，補(bǔ)全條形圖即可；
（2）用組人數(shù)除以總數(shù)，求出的值，組人數(shù)所占的比例乘以360度求出圓心角的度數(shù)；
（3）列出表格，再利用概率公式進(jìn)行計算即可．
【小問1詳解】
解：，
∴組人數(shù)為：；
補(bǔ)全條形圖如圖：
【小問2詳解】
，
∴，
D組對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為；
故答案為：；
【小問3詳解】
列表如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中一男一女的結(jié)果有8種，
∴．
11. （2024四川達(dá)州）2024年4月21日，達(dá)州馬拉松暨“跑遍四川”達(dá)州站馬拉松賽鳴槍開跑．本次賽事以“相約巴人故里，樂跑紅色達(dá)州”為主題．旨在增強(qiáng)全市民眾科學(xué)健身意識．推動全民健身活動，本屆賽事共設(shè)置馬拉松，半程馬拉松和歡樂跑三個項(xiàng)目賽后隨機(jī)抽樣了部分參賽選手對本次賽事組織進(jìn)行滿意度評分調(diào)查，整理后得到下列不完整的圖表：
請根據(jù)表中提供的信息．解答下列問題：
（1）此次調(diào)查共抽取了______名選手，______，______；
（2）扇形統(tǒng)計圖中，等級所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是______度；
（3）賽后若在三個項(xiàng)目的冠軍中隨機(jī)抽取兩人訪談，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的概率．
【答案】（1），，（2）（3）
【解析】本題考查了列表法求概率，頻數(shù)分布表以及扇形統(tǒng)計圖；
（1）根據(jù)等級的人數(shù)除以占比得出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求得的值；
（2）根據(jù)等級的占比乘以，即可求解；
（3）設(shè)三個項(xiàng)目的冠軍分別為，根據(jù)列表法求概率，即可求解．
【小問1詳解】
解：依題意，名選手，，
∴
故答案為：，，．
【小問2詳解】
扇形統(tǒng)計圖中，等級所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是，
故答案為：．
【小問3詳解】
解：設(shè)三個項(xiàng)目的冠軍分別為，列表如下，
共有6種等可能結(jié)果，其中恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的有2種情形，
∴恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的概率為
12. （2024四川眉山）為響應(yīng)國家政策，保障耕地面積，提高糧食產(chǎn)量，確保糧食安全，我市開展高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田改造建設(shè)，調(diào)查統(tǒng)計了其中四臺不同型號挖掘機(jī)（分別為型，型，型，型）一個月內(nèi)改造建設(shè)高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田的面積（畝），并繪制成如圖不完整的統(tǒng)計圖表：
改造農(nóng)田面積統(tǒng)計表

利用圖中的信息，解決下列問題：
（1）①______；
②扇形統(tǒng)計圖中的度數(shù)為______．
（2）若這四臺不同型號的挖掘機(jī)共改造建設(shè)了960畝高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田，估計其中型挖掘機(jī)改造建設(shè)了多少畝？
（3）若從這四臺不同型號的挖掘機(jī)中隨機(jī)抽調(diào)兩臺挖掘機(jī)參加其它任務(wù)，請用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好同時抽到，兩種型號挖掘機(jī)的概率．
【答案】（1）①32，② （2）240畝（3）
【解析】本題考查的是統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用，求扇形統(tǒng)計圖圓心角度數(shù)，用樣本估計總體，畫樹狀圖求概率．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．
（1）利用型建設(shè)高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田面積除以其所占比得到總數(shù)，再利用總數(shù)減去型，型，型的面積，即可得到型的建設(shè)面積，利用乘以型建設(shè)面積所占比，即可解題；
（2）利用總數(shù)乘以型所占比，即可解題；
（3）根據(jù)題意畫出樹狀圖得到總的情況數(shù)，再得到抽到，兩種型號挖掘機(jī)的情況數(shù)，利用概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：①（畝），
；
②扇形統(tǒng)計圖中的度數(shù)為；
故答案為：32，；
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意得：（畝），
答：估計其中型挖掘機(jī)改造建設(shè)了240畝；
【小問3詳解】
解：畫樹狀圖得：

共有12種等可能的結(jié)果，同時抽到，兩種型號挖掘機(jī)的有2種情況，
同時抽到，兩種型號挖掘機(jī)的概率為：．
累計拋擲次數(shù)
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
蓋面朝上次數(shù)
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
蓋面朝上頻率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.530
A
B
C
D
A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，D
D
D，A
D，B
D，C
甲
乙
丙
甲
甲，乙
甲，丙
乙
乙，甲
乙，丙
丙
丙，甲
丙，乙
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
A
B
C
收集數(shù)據(jù)
77
78
76
72
84
75
91
85
78
79
82
78
76
79
91
91
76
74
75
85
75
91
80
77
75
75
87
85
76
77
成績/分
72
74
75
76
77
78
79
80
82
84
85
87
91
人數(shù)/人
1
1
a
4
3
3
b
1
1
1
3
1
4
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
80
c
78
男1
男2
女1
女2
男1
男1，男2
男1，女1
男1，女2
男2
男2，男1
男2，女1
男2，女2
女1
女1，男1
女1，男2
女1，女2
女2
女2，男1
女2，男2
女2，女1
等級
分?jǐn)?shù)段
頻數(shù)
m
型號
畝數(shù)
16
20
12

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